辽宁省沈阳市2022届高三上学期数学一模试卷

试卷更新日期：2022-02-23 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 集合 $A = {x | - 2 < x \leq 2}$ ， $B = {- 2 ， - 1 ， 0 ， 1}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 ${- 1 ， 1 ， 2}$ B、 ${- 2 ， - 1 ， 0 ， 1}$ C、 ${- 1 ， 0 ， 1}$ D、 ${- 2 ， - 1 ， 0 ， 1 ， 2}$

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2. 已知 $i$ 为虚数单位，若复数 $z = \frac{3 - i}{1 + i}$ ，则 $| z | =$ （）

A、1 B、2 C、 $\sqrt{2}$ D、 $\sqrt{5}$

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3. 关于双曲线 $C_{1} ： x^{2} - y^{2} = 2$ 与 $C_{2} ： y^{2} - x^{2} = 2$ ，下列说法中错误的是（）

A、它们的焦距相等 B、它们的顶点相同 C、它们的离心率相等 D、它们的渐近线相同

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4. 夏季里，每天甲、乙两地下雨的概率分别为 $\frac{1}{3}$ 和 $\frac{1}{4}$ ，且两地同时下雨的概率为 $\frac{1}{6}$ ，则夏季的一天里，在乙地下雨的条件下，甲地也下雨的概率为（）

A、 $\frac{1}{12}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{3}{4}$

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5. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的公差为2，且 $a_{2}$ ， $a_{3}$ ， $a_{5}$ 成等比数列，则 ${a_{n}}$ 的前n项和 $S_{n} =$ （）

A、 $n (n - 2)$ B、 $n (n - 1)$ C、 $n (n + 1)$ D、 $n (n + 2)$

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6. 如图，在直角梯形 $A B C D$ 中， $A D // B C$ ， $A B ⊥ B C$ ， $A D = 1$ ， $B C = 2$ ， $P$ 是线段 $A B$ 上的动点，则 $| \vec{P C} + 4 \vec{P D} |$ 的最小值为（）

A、 $3 \sqrt{5}$ B、6 C、 $2 \sqrt{5}$ D、4

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7. 已知 $a = l o g_{3} 2$ ， $b = l o g_{4} 3$ ， $c = \frac{2}{3}$ ，则（）

A、 $a < c < b$ B、 $c < a < b$ C、 $b < a < c$ D、 $b < c < a$

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8. 若函数 $f (x) = e^{x} + x^{3} - 2 x^{2} - a x$ ，则 $a > e$ 是 $f (x)$ 在 $(0 ， + ∞)$ 有两个不同零点的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分且必要条件 D、既不充分也不必要条件

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二、多选题

9. 某团队共有20人，他们的年龄分布如下表所示，

年龄	28	29	30	32	36	40	45
人数	1	3	3	5	4	3	1

有关这20人年龄的众数、极差、百分位数说法正确的有（）

A、众数是32 B、众数是5 C、极差是17 D、25%分位数是30

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10. 已知函数 $f (x) = s i n^{2} x + s i n x c o s x (x \in R)$ ，则（）

A、 $f (x)$ 的最小值为0 B、 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ C、 $f (x)$ 的图象关于点 $(\frac{π}{8} ， 0)$ 中心对称 D、 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = - \frac{π}{8}$ 轴对称

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11. 已知圆 $O ： x^{2} + y^{2} = 2$ ，直线 $l ： x + y - 4 = 0$ ， $P$ 为直线 $l$ 上一动点，过点 $P$ 作圆 $O$ 的两条切线 $P A ， P B ， A ， B$ 为切点，则（）

A、点 $P$ 到圆心的最小距离为 $2 \sqrt{2}$ B、线段 $P A$ 长度的最小值为 $2 \sqrt{2}$ C、 $\vec{P A} \cdot \vec{P B}$ 的最小值为3 D、存在点 $P$ ，使得 $△ P A B$ 的面积为3

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12. 若 $6^{a} = 2$ ， $6^{b} = 3$ ，则下列不等关系正确的有（）

A、 $\frac{b}{a} > 1$ B、 $a b < \frac{1}{4}$ C、 $a^{2} + b^{2} < \frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{a} (b + \frac{1}{3 b}) > 2$

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三、填空题

13. 函数 $f (x) = 2 c o s x - c o s 2 x$ 的最大值为．

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14. 若 ${(2 x - \frac{1}{x^{2}})}^{n}$ 展开式的二项式系数之和为64，则展开式中 $x^{3}$ 项的系数为．（用数字作答）

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15. 某次社会实践活动中，甲、乙两个班的同学共同在一社区进行民意调查．参加活动的甲、乙两班的人数之比为5：3，其中甲班中女生占 $\frac{3}{5}$ ，乙班中女生占 $\frac{1}{3}$ ．则该社区居民遇到一位进行民意调查的同学恰好是女生的概率是．

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16. 已知三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = A C = 1$ ， $A A_{1} = 2$ ， $∠ A_{1} A C = ∠ A_{1} A B = 60 °$ ， $∠ B A C = 90 °$ ，则四面体 $A_{1} B B_{1} C_{1}$ 的体积为．

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四、解答题

17. 从① $b s i n C = \sqrt{3} c c o s B$ ， ② $b^{2} + a c = a^{2} + c^{2}$ 这两个条件中任选一个，补充到下面已知条件中进行解答．
已知 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且____．（填写①或②，只可以选择一个标号，并依此条件进行解答．）

(1)、求B；

(2)、若 $b = 2$ ， $△ A B C$ 的面积为 $\sqrt{3}$ ，求a．

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18. 等差数列 ${a_{n}}$ 和等比数列 ${b_{n}}$ 满足 $a_{1} = b_{1} = 1$ ， $a_{2} + a_{4} = 14$ ， $b_{2} b_{4} = a_{6}$ ，且 $b_{n} > 0$ ．

(1)、求数列 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、已知：① $b_{n} < 1000$ ；② $\exists m \in N_{+}$ ，使 $a_{m} = b_{n}$ ．设S为数列 ${b_{n}}$ 中同时满足条件①和②的所有的项的和，求S的值．

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19. 现有一种需要两人参与的棋类游戏，规定在双方对局时，二人交替行棋．一部分该棋类游戏参与者认为，在对局中“先手”（即：先走第一步棋）具有优势，容易赢棋，而“后手”（即：对方走完第一步棋之后，本方再走第一步棋）不具有优势，容易输棋．

(1)、对某位该棋类游戏参与者的100场对局的输赢结果按照是否先手局进行统计，分数据如下表所示．请将表格补充完整，并判断是否有90%的把握认为赢棋与“先手局”有关？

先手局
后手局
合计
赢棋
45
输棋
45
合计
25
100

(2)、现有甲乙两人进行该棋类游戏的比赛，采用三局两胜制（即：比赛中任何一方赢得两局就获胜，同时比赛结束，比赛至多进行三局）．在甲先手局中，甲赢棋的概率为 $\frac{2}{3}$ ，乙赢棋的概率为 $\frac{1}{3}$ ；在乙先手局中，甲赢棋的概率为 $\frac{2}{5}$ ，乙赢棋的概率为 $\frac{3}{5}$ ．若比赛中“先手局”的顺序依次为：甲、乙、乙，设比赛共进行X局，求X的分布列和数学期望．
附： $x^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ， $n = a + b + c + d$ ．
$P (χ^{2} ≥ k)$
0.10
0.05
0.10
k
2.706
3.841
6.635

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20. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 平面ABCD，四边形ABCD是直角梯形， $B C / / A D$ ， $A B ⊥ A D$ ， $P A = A B = 2$ ， $A D = 2 B C = 2 \sqrt{2}$ ．

(1)、求证： $B D ⊥$ 平面PAC；

(2)、求二面角 $B - P C - D$ 的余弦值．

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21. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的短轴长为2，离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，点A是椭圆的左顶点，点E坐标为 $(1 ， 0)$ ，经过点E的直线l交椭圆于M，N两点，直线l斜率存在且不为0．

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、设直线AM，AN分别交直线 $x = 4$ 于点P，Q，线段PQ的中点为G，设直线l与直线EG的斜率分别为k， $k$ ，求证： $k \cdot k$ 为定值．

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22. 已知 $f (x) = e^{x - 1} - x$ ．

(1)、求证：对于 $\forall x \in R$ ， $f (x) \geq 0$ 恒成立；

(2)、若对于 $\forall x \in (0 ， + \infty)$ ，有 $f (x) \geq a (x^{2} - x - x l n x)$ 恒成立，求实数a的取值范围．

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	先手局	后手局	合计
赢棋	45
输棋			45
合计		25	100

$P (χ^{2} ≥ k)$	0.10	0.05	0.10
k	2.706	3.841	6.635