江西省上饶市2022届高三理数一模试卷

试卷更新日期：2022-02-23 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x \in Z | - 2 < x \leq 2}$ ， $B = {x | x^{2} - 2 x + 3 \geq 0}$ ，求 $A ∩ B =$ （）

A、 ${x | - 2 < x \leq 2}$ B、 ${- 1 ， 0 ， 1 ， 2}$ C、 ${- 2 ， - 1 ， 1 ， 2}$ D、 $R$

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2. 已知复数 $z = \frac{5 + 3 i}{1 + i}$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $z$ 的虚部为-1 B、z的共轭复数为 $4 - i$ C、 $| z | = 5$ D、z在复平面内对应的点在第二象限

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3. 已知命题 $p$ ： $\exists x \in R$ ， $4^{x} < 2^{x}$ ，命题 $q$ ： $\forall x \in R$ ， $l n x > 0$ ，则下列命题是真命题的为（）

A、 $p \land q$ B、 $(\neg p) \land q$ C、 $p \land (\neg q)$ D、 $(\neg p) \land (\neg q)$

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4. 已知 $x > 0$ ， $y > 0$ ， $x + 2 y = 1$ ，则 $\frac{1}{x} + \frac{1}{y}$ 的最小值为（）

A、 $3 + 2 \sqrt{2}$ B、12 C、 $8 + 4 \sqrt{3}$ D、6

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5. 已知函数 $f (x) = s i n x + x^{3} + \frac{1}{x} + 3$ ，若 $f (a) = 1$ ，则 $f (- a) =$ （）

A、1 B、3 C、4 D、5

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6. 设 $f (x)$ 为可导函数，且 $\underset{△ x \to 0}{l i m} \frac{f (1) - f (1 - 2 △ x)}{△ x} = - 1$ ，则曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线斜率为（）

A、2 B、-1 C、1 D、 $- \frac{1}{2}$

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7. 如图是一个无盖的正方体盒子展开图， $A ， B ， C ， D$ 是展开图上的四点，则在正方体盒子中， $A C$ 与平面 $A B D$ 所成角的余弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$

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8. 如图，在 $△ A B M$ 中， $B M = 3 C M$ ， $\vec{A N} = \frac{2}{7} \vec{A M}$ ，若 $\vec{A N} = λ \vec{A B} + μ \vec{A C}$ ，则 $λ + μ =$ （）

A、 $- \frac{1}{7}$ B、 $\frac{1}{7}$ C、 $- \frac{2}{7}$ D、 $\frac{2}{7}$

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9. 算盘是中国传统的计算工具，是中国人在长期使用算筹的基础上发明的，是中国古代一项伟大的､重要的发明，在阿拉伯数字出现前是全世界广为使用的计算工具.“珠算”一词最早见于东汉徐岳所撰的《数术记遗》，其中有云：“珠算控带四时，经纬三才.”北周甄鸾为此作注，大意是：把木板刻为3部分，上､下两部分是停游珠用的，中间一部分是作定位用的.下图是一把算盘的初始状态，自右向左，分别是个位､十位､百位､……，上面一粒珠（简称上珠）代表5，下面一粒珠（简称下珠）是1，即五粒下珠的大小等于同组一粒上珠的大小.现从个位､十位､百位和千位这四组中随机拨动2粒珠（上珠只能往下拨且每位至多拨1粒上珠，下珠只能往上拨），则算盘表示的整数能够被5整除的概率是（）

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $\frac{3}{8}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{1}{2}$

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10. $△ A B C$ 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知下列条件：① $b = 3$ ， $c = 4$ ， $B = 30 °$ ；② $a = 5$ ， $b = 4$ ， $A = 30 °$ ；③ $c = 2$ ， $b = \sqrt{3}$ ， $B = 60 °$ ；④ $c = 12$ ， $b = 12$ ， $C = 120 °$ .其中满足上述条件的三角形有唯一解的是（）

A、①④ B、①② C、②③ D、③④

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11. 已知 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别为双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左､右焦点，以 $F_{1} F_{2}$ 为直径的圆与双曲线在第一象限和第三象限的交点分别为M，N，设四边形 $F_{1} N F_{2} M$ 的周长C与面积S满足 $S = \frac{a}{2} C$ 则该双曲线的离心率的平方为（）

A、 $2 + \sqrt{2}$ B、 $8 + 4 \sqrt{2}$ C、 $2 + 2 \sqrt{2}$ D、 $2 + \sqrt{3}$

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12. 设 $a = \frac{1}{50}$ ， $b = \frac{l n 7}{100}$ ， $c = 2 l n \frac{51}{50}$ ，则 $a ， b ， c$ 的大小关系正确的是（）

A、 $a < b < c$ B、 $b < c < a$ C、 $c < a < b$ D、 $b < a < c$

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二、填空题

13. 已知实数 $x$ ， $y$ 满足约束条件 ${\begin{array}{l} x + y - 3 \leq 0 \\ x - 2 y - 3 \leq 0 ， \\ x \geq m \end{array}$ ，若目标函数 $z = y - 2 x$ 的最大值是7，则实数 $m$ 的值为.

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14. 已知曲线 $C$ ： $y = \frac{1}{4} x^{2}$ ，焦点是F，P是抛物线上任意一点，则点P到焦点F和到点 $A (4 ， 1)$ 的距离之和的最小值是.

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15. 菱形ABCD中， $A B = 6$ ， $∠ D A B = 60 °$ ，将 $△ C B D$ 沿BD折起， $C$ 点变为E点，当四面体 $E - A B D$ 的体积最大时，四面体 $E - A B D$ 的外接球的表面积为.

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16. 为创建全国文明城市，上饶市政府决定对某小区内一个近似半圆形场地进行改造，场地如图，以O为圆心，半径为一个单位，现规划出以下三块场地，在扇形AOC区域铺设草坪， $△ O C D$ 区域种花， $△ O B D$ 区域养殖观赏鱼，若 $∠ A O C = ∠ C O D$ ，且使这三块场地面积之和最大，则 $c o s ∠ A O C =$ .

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三、解答题

17. 马家柚是上饶市广丰区的特色品牌，因其果大形美，瓤红汁多，果肉甘甜爽口，而深受大家的喜爱，该地区现有某果农从其果园的马家柚树上随机摘下了100个马家柚进行测重，其质量（单位：g）分别在[1500，1750），[1750，2000），[2000，2250），[2250，2500），[2500，2750），[2750，3000]中，其频率分布直方图如图所示.

(1)、根据频率直方图，估计这100个马家柚的质量的平均数与众数.

(2)、已知按分层随机抽样的方法从质量在[1500，1750），[2000，2250）的马家柚中抽取了5个，现从这5个马家柚中随机抽取3个，求这3个马家柚的质量不小于2000g的个数的分布列与期望.

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18. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = - 1$ ，且 $a_{n + 1} - a_{n} = a_{n} \cdot a_{n + 1}$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 通项；

(2)、记 $b_{n} = a_{n} a_{n + 2}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前n项和 $T_{n}$ .

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19. 在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = 1$ ， $B C = 2$ ， $A B ⊥ A C$ ， $B_{1} C ⊥$ 平面 $A B C$ ， $B_{1} B$ 与平面 $A B C$ 所成的角为45°.E，F分别是AC， $B_{1} C$ 的中点.

(1)、求证： $E F$ $∥$ 平面 $A B_{1} C_{1}$ ；

(2)、求二面角 $C - A B_{1} - C$ 的余弦值.

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20. 已知圆 $E$ ： ${(x + 2)}^{2} + y^{2} = 24$ ，动圆 $N$ 过点 $F (2 ， 0)$ 且与圆 $E$ 相切，记动圆圆心 $N$ 的轨迹为曲线C.

(1)、求曲线C的方程；

(2)、过点 $F (2 ， 0)$ 的直线m交椭圆C于点M､N，且满足 $t a n ∠ M E N = \frac{8 \sqrt{6}}{3 \vec{E M} \cdot \vec{E N}}$ （E为圆E的圆心），求直线m的方程.

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21. 已知函数 $f (x) = x l n (x + a - 1)$ ， $g (x) = e^{x} + c o s x - 1$ ，其中 $e = 2.718$ …为自然对数的底数.

(1)、当 $a = 1$ 时，若过点 $(m ， m)$ 与函数 $f (x)$ 相切的直线有两条，求 $m$ 的取值范围；

(2)、若 $x \in (0 ， + ∞)$ ， $0 \leq a \leq 1$ ，证明： $f (x) < g (x)$ .

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22. 在直角坐标系中，曲线 $C$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = 2 + 4 c o s φ \\ y = 4 s i n φ \end{array}$ （ $ϕ$ 为参数），以坐标原点为极点， $x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线 $l$ 的极坐标方程为 $ρ c o s (θ - \frac{π}{4}) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

(1)、分别求曲线 $C$ 的普通方程和直线 $l$ 的直角坐标方程；

(2)、定点 $P (1 ， - 2)$ ，直线 $l$ 与曲线 $C$ 交于 $A ， B$ 两点，弦 $A B$ 的中点为 $Q$ ，求 $\frac{| P Q |}{| P A | \cdot | P B |}$ 的值.

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23. 已知函数 $f (x) = 4 - | x + 2 a |$ ， $g (x) = | x - 1 | + | x + 1 |$ .

(1)、当 $a = \frac{1}{2}$ 时，求不等式 $f (x) \geq g (x)$ 的解集；

(2)、是否存在实数 $a$ ，使得不等式 $f (x) \geq g (x)$ 的解集包含 $[- 1 ， 1]$ ？若存在，求 $a$ 的取值范围；若不存在，请说明理由.

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