吉林省五校联考2021-2022学年高三上学期理数联合模拟考试试卷

试卷更新日期：2022-02-23 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | x^{2} < 3 ， x \in N}$ ，则 $A$ 的真子集共有（）个

A、3 B、4 C、6 D、7

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2. 已知 $i$ 为虚数单位，复数 $z = \frac{i}{3 + i}$ ，则复数 $\bar{z}$ 在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第三象限 C、直线 $3 x - y = 0$ 上 D、直线 $3 x + y = 0$ 上

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3. 在二项式 ${(^{} - \frac{1}{x})}^{5}$ 的展开式中，含 $x$ 的项的系数是（）

A、-10 B、-5 C、10 D、20

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4. 数列 ${a_{n}}$ 为等差数列，且 $a_{2020} + a_{2022} = \frac{4}{π} \int_{0}^{2} \sqrt{4 - x^{2}} d x$ ，则 $a_{2021} (a_{2019} + a_{2021} + a_{2023}) =$ （）

A、1 B、3 C、6 D、12

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5. 长春54路有轨电车建成于上个世纪30年代，大概是现存最美的电车路线了，见证着这座城市的历史与发展.学生甲和学生乙同时在长影站上了开往西安大路方向的电车，甲将在创业大街站之前任何一站下车，乙将在景阳大路站之前任何一站下车，他们都至少坐一站再下车，则甲比乙后下车的概率为（）

A、 $\frac{3}{10}$ B、 $\frac{5}{18}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{3}{5}$

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6. 已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = 2$ ， $| \vec{b} | = \sqrt{3}$ ，且 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{6}$ ，则 $(\vec{a} + \vec{b}) \cdot (2 \vec{a} - \vec{b}) =$ （）

A、6 B、8 C、10 D、12

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7. 哥特式建筑是1140年左右产生于法国的欧洲建筑风格，它的特点是尖塔高耸､尖形拱门､大窗户及绘有故事的花窗玻璃，如图所示的几何图形，在哥特式建筑的尖形拱门与大窗户中较为常见，它是由线段 $A B$ 和两个圆弧 $A C$ ，弧 $B C$ 围成，其中一个圆弧的圆心为 $A$ ，另一个圆弧的圆心为 $B$ ，圆 $O$ 与线段 $A B$ 及两个圆弧均相切，则 $t a n ∠ A O B$ 的值是（）

A、 $- \frac{4}{3}$ B、 $- \frac{12}{5}$ C、 $- \frac{24}{7}$ D、 $- \frac{3}{4}$

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8. 从某个角度观察篮球（如图甲），可以得到一个对称的平面图形，如图乙所示，篮球的外轮廓为圆 $O$ ，将篮球你表面的粘合线视为坐标轴和双曲线，若坐标轴和双曲线与圆 $O$ 的交点将圆的周长八等分，且 $A B = B O = O C = C D$ ，则该双曲线的渐近线的斜率为（）

A、±1 B、 $\pm \sqrt{2}$ C、±2 D、 $\pm \sqrt{3}$

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9. 已知线段 $M N$ 是圆 $C ： {(x - 1)}^{2} + y^{2} = 8$ 的一条动弦，且 $| M N | = 2 \sqrt{3}$ ，若点 $P$ 为直线 $2 x - y + 6 = 0$ 上的任意一点，则 $| \vec{P M} + \vec{P N} |$ 的最小值为（）

A、 $\frac{8 \sqrt{5}}{5} - 2$ B、 $\frac{8 \sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{6 \sqrt{5}}{5} - 2$ D、 $\frac{6 \sqrt{5}}{5}$

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10. 把方程 $\frac{x | x |}{9} + \frac{y | y |}{4} = - 1$ 表示的曲线作为函数 $y = f (x)$ 的图象，则下列结论正确的是（）
① $f (x)$ 在 $R$ 上单调递减；② $y = f (x)$ 的图像关于原点对称；③函数 $g (x) = 3 f (x) + 2 x$ 不存在零点；④ $y = f (x)$ 的图象上的点到坐标原点的距离的最小值为2；

A、①②③ B、①②④ C、①③④ D、②③④

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11. 已知数列 ${a_{n}}$ 的首项是 $a_{1} = 1$ ，前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{n + 1} = 2 S_{n} + 3 n + 1 (n \in N^{*})$ ，设 $c_{n} = l o g_{2} (a_{n} + 3)$ ，若存在常数 $k$ ，使不等式 $k \geq \frac{c_{n} - 1}{(n + 16) c_{n}} (n \in N^{*})$ 恒成立，则 $k$ 的取值范围为（）

A、 $[\frac{1}{9} ， + \infty)$ B、 $[\frac{1}{16} ， + \infty)$ C、 $[\frac{1}{25} ， + \infty)$ D、 $[\frac{1}{36} ， + \infty)$

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12. 已知三棱锥 $P - A B C$ 三条侧棱 $P A$ ， $P B$ ， $P C$ 两两互相垂直，且 $P A = P B = P C = 6$ ， $M$ ､ $N$ 分别为该三棱锥的内切球和外接球上的动点，则线段 $M N$ 的长度的最小值为（）

A、 $2 \sqrt{3} - 3$ B、 $4 \sqrt{3} - 6$ C、 $6 - 2 \sqrt{3}$ D、 $2 \sqrt{3}$

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二、填空题

13. 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为.

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14. 若将函数 $g (x)$ 图象上所有的点向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度得到函数 $f (x)$ 的图象，已知函数 $f (x) = A s i n (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，则 $g (x)$ 的解析式为.

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15. 已知函数 $f (x) = x^{3} + 2 x - 2 s i n x$ ，则不等式 $f (6 - 5 x) + f (x^{2}) \leq 0$ 的解集为.

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16. 已知点 $P$ 是曲线 $x^{2} = 4 y$ 上任意一点，过点 $P$ 向 $x$ 轴引垂线，垂足为 $H$ ，点 $Q$ 是曲线 $y = l n x$ 上任意一点，则 $| P H | + | P Q |$ 的最小值为.

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三、解答题

17. 如图，正方形 $A D E F$ 与梯形 $A B C D$ 所在的平面互相垂直， $A D ⊥ C D$ ， $A B$ $/ /$ $C D$ ， $| A B | = | A D | = 2$ ， $| C D | = 4$ ， $M$ 为 $C E$ 的中点.

(1)、求证：平面 $B D E ⊥$ 平面 $B C E$ ；

(2)、求二面角 $M - D B - A$ 的正弦值.

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18. 在我国抗疫期间，为了保证高中数学的正常进行，通过“钉钉､腾讯会议”等软件进行了线上教学，为抗疫起到了积极的作用，但一个优秀的视频除了需要有很好的素材外，更要有制作上的技术要求，小明同学学习利用“VB”等软件将已拍摄的素材进行制作，每次制作分三个环节来进行，其中每个环节制作合格的概率分别为 $\frac{3}{5}$ ， $\frac{2}{3}$ ， $\frac{3}{4}$ ，只有当每个环节制作都合格才为一次成功制作，该视频视为合格作品.
（参考答案 $b = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}$ ， $a = \bar{y} - b \bar{x}$ ，参考数据： $\sum_{i = 1}^{7} t_{i} y_{i} = 163$ ）.

(1)、求小明同学进行3次制作，恰有一次合格作品的概率；

(2)、若小明同学制作15次，其中合格作品数为 $X$ ，求 $X$ 的数学期望与方差；

(3)、随着制作技术的不断提高，小明同学制作的小视频被某高校看中，聘其为单位制作教学软件，决定试用一段时间，每天制作小视频（注：每天可提供素材制作个数至多40个），其中前7天制作合格作品数 $y$ 与时间 $t$ 如下表：（第 $t$ 天用数字 $t$ 表示）
时间 $(t)$
1
2
3
4
5
6
7
合格作品数 $(y)$
3
4
3
4
7
6
8
其中合格作品数 $(y)$ 与时间 $(t)$ 具有线性相关关系，求 $y$ 关于 $t$ 的线性回归方程（精确到0.01），并估算第15天能制作多少个合格作品（四舍五入取整）？

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19. △ $A B C$ 中， $A C = 4$ ， $B C = 4 \sqrt{3}$ ， $A C ⊥ B C$ ，点 $M$ ， $N$ 是线段 $A B$ 上两点（包括端点）， $∠ M C N = 30 °$ .

(1)、当 $A M = 2$ 时，求△ $M N C$ 的周长；

(2)、设 $∠ A C M = θ$ ，当△ $M N C$ 的面积为 $2 \sqrt{3}$ 时，求 $θ$ 的值.

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20. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率与等轴双曲线的离心率互为倒数关系，直线 $l ： x - y + \sqrt{2} = 0$ 与以原点为圆心，以椭圆 $C$ 的短半轴长为半径的圆相切.

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、设 $M$ 是椭圆的上顶点，过点 $M$ 分别作直线 $M A$ ， $M B$ 交椭圆于 $A$ ， $B$ 两点，设两直线的斜率分别为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ，且 $k_{1} + k_{2} = 5$ ，求证：直线 $A B$ 过定点.

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21. 已知函数 $f (x) = x^{2} + (\frac{2}{m} - 3) (x - 1) + l n (1 + m x)$ ， $g (x) = x^{2} + 2 x + \frac{a}{x} + (1 - a) l n x - 4$ .

(1)、当 $m = 2$ 时，求 $f (x)$ 在 $(0 ， + \infty)$ 的单调区间；

(2)、当 $a \leq 8$ 时，若对任意 $m \in (0 ， + \infty)$ ，总存在 $x_{0} \in [1 ， 2]$ ，使得不等式 $f (x_{0}) < g (m + 1)$ 成立，求实数 $a$ 的取值范围.（ $l n 2 \approx 0.7$ ）

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22. 在直角坐标系 $x O y$ 中，已知曲线 $C$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = 2 \sqrt{3} c o s φ \\ y = 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} s i n φ \end{array}$ （ $ϕ$ 为参数），直线 $l$ 的方程为 $\sqrt{3} x + y - 8 \sqrt{3} = 0$ .以坐标原点 $O$ 为极点， $x$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.

(1)、求曲线 $C$ 和直线 $l$ 的极坐标方程；

(2)、若点 $A (x ， y)$ 在直线 $l$ 上，且 $y > 0$ ，射线 $O A$ 与曲线 $C$ 相交于异于 $O$ 点的点 $B$ .求 $\frac{| O A |}{| O B |}$ 的最小值.

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23. 已知 $f (x) = | x - 1 | + | x + 2 |$ 的最小值为 $M$ .

(1)、解关于 $x$ 的不等式 $f (x) < M + | x - 1 |$ ；

(2)、若正实数 $a$ ， $b$ 满足 $\frac{4}{a} + \frac{M}{b} = 2$ ，求 $a + 12 b$ 取最小值时a-b的值.

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时间 $(t)$	1	2	3	4	5	6	7
合格作品数 $(y)$	3	4	3	4	7	6	8