湖南省株洲市2022届高三上学期数学教学质量统一检测试卷（一）

试卷更新日期：2022-02-23 类型：高考模拟

进入出卷网下载

一、单选题

1. 已知集合 $M = {- 1 ， 0 ， 1}$ ， $N = {- 3 ， 0 ， 3}$ ， $T = {- 3 ， - 1 ， 1 ， 3}$ ，则（）

A、 $M ∩ N = \emptyset$ B、 $M ∪ N = T$ C、 $(M ∩ N) ∪ T = T$ D、 $(M ∪ N) ∩ T = T$

查看试题解析
2. 已知 $\frac{\sqrt{3} + m i}{i} = 1 + n i$ ，其中m， $n \in R$ ， i是虚数单位，若复数 $z = m + n i$ ，则复数z为（）

A、 $1 - \sqrt{3} i$ B、 $1 + \sqrt{3} i$ C、 $- \sqrt{3} + i$ D、 $\sqrt{3} + i$

查看试题解析
3. 某工厂有甲乙两条生产线生产同一型号的机械零件，产品的尺寸分别记为X，Y，已知X，Y均服从正态分布， $X ∼ N (μ_{1} ， σ_{1}^{2})$ ， $Y ∼ N (μ_{2} ， σ_{2}^{2})$ ，其正态分布密度曲线如图所示，则下列结论中正确的是（）

A、甲生产线产品的稳定性高于乙生产线产品的稳定性 B、甲生产线产品的稳定性低于乙生产线产品的稳定性 C、甲生产线的产品尺寸平均值大于乙生产线的产品尺寸平均值 D、甲生产线的产品尺寸平均值小于乙生产线的产品尺寸平均值

查看试题解析
4. “ $x ≥ a$ ”是“ $x \geq 2$ ”的必要不充分条件，则a的取值范围为（）

A、 $(3 ， + \infty)$ B、 $(- \infty ， 2)$ C、 $(- \infty ， 2]$ D、 $[0 ， + ∞)$

查看试题解析
5. 已知 $θ \in (0 ， \frac{π}{2})$ ， $s i n (θ - \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{5}}{5}$ ，则 $t a n θ =$ （）

A、2 B、 $\frac{1}{2}$ C、3 D、 $\frac{1}{3}$

查看试题解析
6. $(1 - 2 x^{2}) {(x - \frac{1}{x})}^{6}$ 的展开式中的常数项为（）

A、10 B、-20 C、-30 D、-50

查看试题解析
7. 《周髀算经》是中国古代重要的数学著作，其记载的“日月历法”曰：“阴阳之数，日月之法，十九岁为一章，四章为一部，部七十六岁，二十部为一遂，遂一千五百二十岁， $\cdot \cdot \cdot$ ．生数皆终，万物复苏，天以更元作纪历”．某老年公寓住有19位老人与1位义工，老人与义工的年龄（都为正整数）之和恰好为一遂，其中义工年龄不满24岁，老人的年龄依次相差1岁，则义工的年龄为（）

A、18岁 B、19岁 C、20岁 D、21岁

查看试题解析
8. 已知О为坐标原点，双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的右焦点为 $F (c ， 0)$ ，直线 $x = c$ 与双曲线C的渐近线交于A、B两点，其中M为线段OB的中点．O、A、F、M四点共圆，则双曲线C的离心率为（）

A、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、2

查看试题解析

二、多选题

9. 甲罐中有5个红球，5个白球，乙罐中有3个红球，7个白球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，再从乙罐中随机取出一球． $A_{1}$ 表示事件“从甲罐取出的球是红球”， $A_{2}$ 表示事件“从甲罐取出的球是白球”，B表示事件“从乙罐取出的球是红球”．则下列结论正确的是（）

A、 $A_{1}$ 、 $A_{2}$ 为对立事件 B、 $P (B | A_{1}) = \frac{4}{11}$ C、 $P (B) = \frac{3}{10}$ D、 $P (B | A_{1}) + P (B | A_{2}) = 1$

查看试题解析
10. 设 $α$ 是给定的平面， $A ， B$ 是不在 $α$ 内的任意不同的两点，则（）

A、在 $α$ 内存在直线与直线AB平行 B、在 $α$ 内存在直线与直线AB垂直 C、存在过直线AB的平面与 $α$ 平行 D、存在过直线AB的平面与 $α$ 垂直

查看试题解析
11. 若 $x = \frac{π}{6}$ 是函数 $f (x) = a s i n x + b c o s x (a b \neq 0)$ 图象的一条对称轴，则下列说法正确的是（）

A、 $b = \sqrt{3} a$ B、 $x = - \frac{5 π}{6}$ 是函数 $f (x)$ 图象的一条对称轴 C、点 $(\frac{2 π}{3} ， 0)$ 是函数 $f (x)$ 图象的一个对称中心 D、函数 $f (x)$ 在 $(\frac{π}{6} ， \frac{7 π}{6})$ 上单调递减

查看试题解析
12. 设函数 $y = f (x)$ 的定义域为R，如果存在常数 $T (T \neq 0)$ ，对于任意 $x \in R$ ，都有 $f (x + T) = T \cdot f (x)$ ，则称函数 $y = f (x)$ 是“类周期函数”，T为函数 $y = f (x)$ 的“类周期”．现有下面四个命题，正确的是（）

A、函数 $f (x) = 3^{- x}$ 是“类周期函数” B、函数 $f (x) = x^{3}$ 是“类周期函数” C、如果函数 $f (x) = c o s ω x$ 是“类周期函数”，那么“ $ω = k π$ ， $k \in Z$ ” D、如果“类周期函数” $y = f (x)$ 的“类周期”为-1，那么它是周期为2的周期函数

查看试题解析

三、填空题

13. 如图所示，一个物体被两根轻质细绳拉住，且处于平衡状态.已知两条绳上的拉力分别是 $\vec{F_{1}} ， \vec{F_{2}}$ ，且 $\vec{F_{1}} ， \vec{F_{2}}$ 与水平夹角均为 $45 °$ ， $\vec{| F_{1} |} = \vec{| F_{2} |} = 10 \sqrt{2} N$ ，则物体的重力大小为N.

查看试题解析
14. 已知 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ 是椭圆 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的两个焦点，M为椭圆上一点，若 $Δ M F_{1} F_{2}$ 为直角三角形，则 $S_{Δ M F_{1} F_{2}} =$ ．

查看试题解析
15. 若函数 $f (x) = a^{x} - x^{2} (a > 1)$ 恰有两个零点，则a的值为．

查看试题解析
16. 已知三棱锥 $A - B C D$ 的各棱长均为1，且其四个顶点都在球O的球面上．若过球心О的一个截面如图所示，则该截面中三角形（阴影部分）的面积为．

查看试题解析

四、解答题

17. 已知数列 ${a_{n}}$ 为等比数列，其前n项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{n + 1} - a_{n} = 2 \cdot 3^{n}$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的公比q和 $a_{4}$ 的值；

(2)、求证： $- a_{1}$ ， $S_{n}$ ， $a_{n + 1}$ 成等差数列．

查看试题解析
18. 如图，在四边形ABCD中， $∠ D = 2 ∠ B$ ，且 $A D = 1 ， C D = 3$ ， $c o s B = \frac{\sqrt{3}}{3}$ ．

(1)、求 $A C$ 的长；

(2)、若_______，求 $△ A B C$ 的面积．
从① $∠ B C A = \frac{π}{3}$ ， ② $B C = \sqrt{6}$ ，这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．

查看试题解析
19. $M_{1}$ 、 $M_{2}$ 是治疗同一种疾病的两种新药，某研发公司用若干试验组进行对比试验．每个试验组由4只小白鼠组成，其中2只服用 $M_{1}$ ，另2只服用 $M_{2}$ ，然后观察疗效．若在一个试验组中，服用 $M_{1}$ 有效的小白鼠的只数比服用 $M_{2}$ 有效的多，就称该试验组为优类组．设每只小白鼠服用 $M_{1}$ 有效的概率为 $\frac{1}{2}$ ，服用 $M_{2}$ 有效的概率为 $\frac{1}{3}$ ．

(1)、求一个试验组为优类组的概率；

(2)、观察3个试验组，用 $ξ$ 表示这3个试验组中优类组的个数，求 $ξ$ 的分布列和数学期望．

查看试题解析
20. 如图所示，四棱锥 $P - A B C D$ 的底面是边长为2的正方形，E、F、G分别为棱AB、BC、PD的中点．设三点A、E、G所确定的平面为 $α$ ， $P C \cap α = M$ ， $P F \cap α = N$ ．

(1)、求证：点M是棱PC的中点；

(2)、若 $P A ⊥$ 底面ABCD，且二面角 $P - C D - A$ 的大小为45°．
①求直线EF与平面 $α$ 所成角的大小；
②求线段PN的长度．

查看试题解析
21. 在平面直角坐标系中，已知定点 $F (1 ， 0)$ ，动点M满足：以MF为直径的圆与y轴相切，记动点M的轨迹为曲线E．

(1)、求曲线E的方程；

(2)、过定点 $Q (2 ， 0)$ 作两条互相垂直的直线 $l_{1}$ 、 $l_{2}$ ，直线 $l_{1}$ 、 $l_{2}$ 与曲线E分别交于两点A、C与两点B、D，求四边形ABCD面积的最小值．

查看试题解析
22. 设函数 $f (x) = a l n x + \frac{1}{x} - 1 (a \in R)$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、当 $x \in (0 ， 1)$ 时，证明： $x^{2} + x - \frac{1}{x} - 1 < e^{x} l n x$ ．

查看试题解析