湖南省岳阳市2022届高三上学期数学教学质量监测试卷（一）

试卷更新日期：2022-02-23 类型：高考模拟

进入出卷网下载

一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | - 2 < x < 1}$ ，集合 $B = {x | 1 - x^{2} \geq 0}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 $(- 2 ， - 1]$ B、 $(- 2 ， 1]$ C、 $[- 1 ， 1)$ D、 $[- 1 ， 1]$

查看试题解析
2. 已知复数z满足 $z (1 + i) = 2 i$ ，则复数z在平面内对应点所在象限是（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

查看试题解析
3. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{2} = 4$ ， $a_{3} + a_{5} = 4 (a_{4} - 1)$ ，则数列 ${a_{n}}$ 的前5项和为（）

A、10 B、15 C、20 D、30

查看试题解析
4. 已知圆锥的侧面积是底面积的 $\frac{5}{4}$ 倍，则该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角大小为（）

A、 $\frac{4 π}{5}$ B、 $\frac{6 π}{5}$ C、 $\frac{8 π}{5}$ D、 $\frac{9 π}{5}$

查看试题解析
5. 已知向量 $\vec{a} = (\sqrt{3} ， 1)$ ，向量 $\vec{a} - \vec{b} = (\sqrt{3} + 1 ， \sqrt{3} + 1)$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角大小为（）

A、30° B、60° C、120° D、150°

查看试题解析
6. 已知椭圆长轴AB的长为4，N为椭圆上一点，满足 $| N A | = 1$ ， $∠ N A B = 60 °$ ，则椭圆的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{2 \sqrt{7}}{7}$ D、 $\frac{3 \sqrt{7}}{7}$

查看试题解析
7. 已知函数 $f (x) = A s i n (ω x + φ)$ ，其中 $ω > 0$ ， $A > 0$ ，函数 $f (x)$ 的周期为 $π$ ，且 $x = \frac{π}{3}$ 时， $f (x)$ 取得极值，则下列说法正确的是（）

A、 $ω = \frac{1}{2}$ B、 $f (\frac{π}{3}) = A$ C、函数 $f (x)$ 在 $(\frac{π}{3} ， \frac{5 π}{6})$ 单调递增 D、函数 $f (x)$ 图象关于点 $(\frac{π}{12} ， 0)$ 对称

查看试题解析
8. 已知a， $b$ 为正实数，直线 $y = x - 2 a$ 与曲线 $y = l n (x + b)$ 相切，则 $\frac{1}{a} + \frac{2}{b}$ 的最小值是（）

A、6 B、 $4 \sqrt{2}$ C、8 D、 $2 \sqrt{2}$

查看试题解析

二、多选题

9. 下列叙述正确的是（）

A、命题“ $\forall x \in [2 ， + \infty)$ ， $x^{2} \geq 4$ ”的否定是“ $\exists x_{0} \in [2 ， + \infty)$ ， $x_{0}^{2} < 4$ ” B、“ $a > b$ ”是“ $l n a > l n b$ ”的充要条件 C、 ${(1 - x)}^{5}$ 的展开式中 $x^{3}$ 的系数为-10 D、在空间中，已知直线 $a ， b ， c$ 满足 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ， $a ⊥ c$ ，则 $b ∥ c$

查看试题解析
10. 若随机变量X服从两点分布，其中 $P (X = 0) = \frac{1}{3}$ ， E（X）、D（X）分别为随机变量X均值与方差，则下列结论正确的是（）

A、P（X＝1）＝E（X） B、E（3X+2）＝4 C、D（3X+2）＝4 D、 $D (X) = \frac{4}{9}$

查看试题解析
11. 已知函数 $g (x) = l o g_{a} (x + k)$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）的图象如下所示．函数 $f (x) = (k - 1) a^{x} - a^{- x}$ 的图象上有两个不同的点 $A (x_{1} ， y_{1})$ ， $B (x_{2} ， y_{2})$ ，则（）

A、 $a > 1$ ， $k > 2$ B、 $f (x)$ 在 $R$ 上是奇函数 C、 $f (x)$ 在 $R$ 上是单调递增函数 D、当 $x \geq 0$ 时， $2 f (x) \leq f (2 x)$

查看试题解析
12. 已知圆 $C ： x^{2} + (y - \frac{1}{2})^{2} = 1$ 上两点A、B满足 $| A B | \geq \sqrt{2}$ ，点 $M (x_{0} ， 0)$ 满足 $| M A | = | M B |$ ，则不正确的是（）

A、当 $| A B | = \sqrt{2}$ 时， $x_{0} = \frac{1}{2}$ B、当 $x_{0} = 0$ 时，过M点的圆C的最短弦长是 $2 \sqrt{3}$ C、线段AB的中点纵坐标最小值是 $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ D、过M点作圆C的切线且切线为A，B，则 $x_{0}$ 的取值范围是 $(- \infty ， - \frac{\sqrt{7}}{2}] \cup [\frac{\sqrt{7}}{2} ， + \infty)$

查看试题解析

三、填空题

13. 在平面直角坐标系中，角 $α$ 的顶点在坐标原点，始边在x轴的非负半轴，终边过点 $(- 2 ， y)$ 且 $t a n (π - α) = 2$ ，则 $s i n α =$ ．

查看试题解析
14. 已知抛物线 $y = \frac{1}{4} x^{2}$ 的焦点为F，P为抛物线上一动点，点 $Q (1 ， 1)$ ，当 $△ P Q F$ 的周长最小时，点P的坐标为．

查看试题解析
15. 有唱歌、跳舞、小品、杂技、相声五个节目制成一个节目单，其中小品、相声不相邻且相声、跳舞相邻的节目单有种．（结果用数字作答）

查看试题解析
16. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} l o g_{2} (x + 1) ， x > 3 \\ \frac{1}{3} | x + 3 | ， - 9 \leq x \leq 3 \end{array}$ ，若 $x_{1} < x_{2}$ 且 $f (x_{1}) = f (x_{2})$ ， $f (x_{1}) + f (x_{3}) = 4$ ，则 $\frac{x_{3}}{x_{1} + x_{2}}$ 的取值范围是．

查看试题解析

四、解答题

17. 数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1$ ， $S_{n + 1} = 4 a_{n} + 3$ ．

(1)、求证：数列 ${a_{n + 1} - 2 a_{n}}$ 是等比数列；

(2)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式．

查看试题解析
18. D为 $△ A B C$ 边 $A B$ 上一点，满足 $A D = 2$ ， $D B = 8$ ，记 $∠ A B C = α$ ， $∠ C A B = β$ ．

(1)、当 $C D ⊥ A B$ 时，且 $β = 2 α$ ，求CD的值；

(2)、若 $α + β = \frac{π}{4}$ ，求 $△ A C D$ 面积的最大值．

查看试题解析
19. 高压钠灯使用时发出金白色光，具有发光效率高、耗电少、寿命长、透雾能力强和不锈蚀等优点，广泛应用于机场、码头、船坞、车站、广场、街道交汇处等地方，现在某公园中心树立有一灯杆，杆上装有6盏高压钠灯，每盏灯各使用灯泡一只，且型号相同，假定每盏灯能否正常照明只与灯泡的寿命有关，该型号的灯泡寿命为1年以上的概率为 $p_{1}$ ，寿命为2年以上的概率为 $p_{2}$ ．从使用之日起每满1年进行一次灯泡更换工作，只更换已坏的灯泡，平时不换．

(1)、在第一次灯泡更换工作中，求：
①不需要换灯泡的概率；
②更换2只灯泡的概率；

(2)、当 $p_{1} = 0.8$ ， $p_{2} = 0.3$ 时，求在第二次灯泡更换工作，至少需要更换5只灯泡的概率（结果保留两个有效数字）．

查看试题解析
20. 如图，在三棱锥 $S - A B C$ 中， $S A = S B = S C$ ， $B C ⊥ A C$ ．

(1)、证明：平面SAB⊥平面ABC；

(2)、若 $B C = S C$ ， $S C ⊥ S A$ ，试问在线段SC上是否存在点D，使直线BD与平面SAB所成的角为60°，若存在，请求出D点的位置；若不存在，请说明理由．

查看试题解析
21. 已知双曲线的对称中心在直角坐标系的坐标原点，焦点在坐标轴上，双曲线的一条渐近线的方程为 $y = \sqrt{3} x$ ，且双曲线经过点 $(4 ， 6)$ ，过双曲线上的一点P（P在第一象限）作斜率不为 $\pm \sqrt{3}$ 的直线l，l与直线 $x = 1$ 交于点Q且l与双曲线有且只有一个交点．

(1)、求双曲线的标准方程；

(2)、以PQ为直径的圆是否经过一个定点？若经过定点，求出定点的坐标；若不经过定点，请说明理由．

查看试题解析
22. 已知函数 $f (x) = (t - x) e^{x} - 2$ ， $g (x) = (t - x) l n (t - x) + x + t$ ，其中t为实数．

(1)、当 $x > 0$ 时，讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、当 $t > 1$ 时，若 $f (x) < g (x)$ 恒成立，求最大的整数t．

查看试题解析