湖南省永州市2021-2022学年高三上学期数学第二次适应性考试试卷

试卷更新日期：2022-02-23 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 复数 $\frac{1 + i}{1 - i}$ 的虚部是（）

A、1 B、 $i$ C、-1 D、 $- i$

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2. 已知全集 $U = {- 2 ， - 1 ， 1 ， 4}$ ，集合 $A = {- 2 ， 1}$ ， $B = {1 ， 4}$ ，则 $A ∪ (∁_{U} B) =$ （）

A、 ${- 2}$ B、 ${- 2 ， - 1}$ C、 ${- 2 ， - 1 ， 1}$ D、 ${- 1 ， 1 ， 4}$

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3. 已知向量 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = \sqrt{3}$ ， $\vec{a} \cdot \vec{b} = - 3$ ，若 $(λ \vec{a} - \vec{b}) ⊥ \vec{a}$ ，则 $λ =$ （）

A、1 B、-1 C、2 D、-2

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4. 已知 $△ A B C$ 的三个内角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 满足 $\frac{5}{s i n A} = \frac{7}{s i n B} = \frac{8}{s i n C}$ ，则 $B =$ （）

A、30° B、45° C、60° D、90°

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5. 已知函数 $y = f (x)$ 的部分图象如图所示，则 $y = f (x)$ 的解析式可能是（）

A、 $y = - x c o s x$ B、 $y = \frac{1 - c o s x}{e^{x} + e^{- x}}$ C、 $y = \frac{l n | x |}{x}$ D、 $y = s i n x + x c o s x$

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6. 在流行病学中，基本传染数是指每名感染者平均可传染的人数.假设某种传染病的基本传染数为 $R_{0}$ ， 1个感染者在每个传染期会接触到 $N$ 个新人，这 $N$ 个人中有 $V$ 个人接种过疫苗（ $\frac{V}{N}$ 称为接种率），那么1个感染者传染人数为 $\frac{R_{0}}{N} (N - V)$ .已知某种传染病在某地的基本传染数 $R_{0} = 4$ ，为了使1个感染者传染人数不超过1，则该地疫苗的接种率至少为（）

A、45% B、55% C、65% D、75%

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7. 设抛物线 $C ： y^{2} = 4 x$ 的焦点为 $F$ ， $M$ 为抛物线上的点，且 $M F$ 与 $x$ 轴不垂直， $M$ 在直线 $x = - 2$ 上的射影为 $N$ ，若 $△ M N F$ 的垂心在抛物线 $C$ 上，则 $| M F | =$ （）

A、9 B、10 C、11 D、12

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8. 若函数 $y = a x^{2}$ 与 $y = l n x$ 存在两条公切线，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(0 ， \frac{1}{e})$ B、 $(0 ， \frac{1}{2 e})$ C、 $(\frac{1}{e} ， + \infty)$ D、 $(\frac{1}{2 e} ， + \infty)$

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二、多选题

9. 已知随机变量 $X$ 服从正态分布 $N (2 ， 9)$ （参考数据：若 $X ∼ N (μ ， σ^{2})$ ，则 $P (| X - μ | < σ) \approx 0.6826$ ），则（）

A、 $X$ 的方差为 $3$ B、 $P (X \leq 2) = 0.5$ C、 $P (3 \leq X < 4) < P (4 \leq X < 5)$ D、 $P (X ≤ - 1) = 0.1587$

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10. 已知定义在 $R$ 的偶函数 $f (x)$ ，其周期为4，当 $x \in [0 ， 2]$ 时， $f (x) = 2^{x} - 2$ ，则（）

A、 $f (l o g_{2} 3) = 1$ B、 $f (x)$ 的值域为 $[- 1 ， 2]$ C、 $f (x)$ 在 $[4 ， 6]$ 上为减函数 D、 $f (x)$ 在 $[- 6 ， 6]$ 上有8个零点

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11. 画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：椭圆的两条切线互相垂直，则两切线的交点位于一个与椭圆同中心的圆上，称此圆为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ， $F_{1}$ 、 $F_{2}$ 分别为椭圆的左、右焦点，点 $A$ 在椭圆上，直线 $l ： b x + a y - a^{2} - b^{2} = 0$ ，则（）

A、直线 $l$ 与蒙日圆相切 B、 $C$ 的蒙日圆的方程为 $x^{2} + y^{2} = 2 a^{2}$ C、记点 $A$ 到直线 $l$ 的距离为 $d$ ，则 $d - | A F_{2} |$ 的最小值为 $\frac{(4 \sqrt{3} - 6 \sqrt{2}) b}{3}$ D、若矩形 $M N G H$ 的四条边均与 $C$ 相切，则矩形 $M N G H$ 的面积的最大值为 $8 b^{2}$

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12. 在圆锥 $S O$ 中， $C$ 是母线 $S A$ 上靠近点 $S$ 的三等分点， $S A = l$ ，底面圆的半径为 $r$ ，圆锥 $S O$ 的侧面积为 $3 π$ ，则（）

A、当 $l = 3$ 时，从点 $A$ 到点 $C$ 绕圆锥侧面一周的最小长度为 $\sqrt{13}$ B、当 $r = \frac{3}{2}$ 时，过顶点 $S$ 和两母线的截面三角形的最大面积为 $\frac{3 \sqrt{7}}{4}$ C、当 $l = 3$ 时，圆锥 $S O$ 的外接球表面积为 $\frac{81 π}{8}$ D、当 $l = 3$ 时，棱长为 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ 的正四面体在圆锥 $S O$ 内可以任意转动

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三、填空题

13. ${(\sqrt{x} + \frac{2}{x})}^{6}$ 的展开式中，常数项为.(用数字作答)

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14. 已知角 $α$ 的终边经过点 $(- \frac{1}{2} ， \frac{\sqrt{3}}{2})$ ，则 $c o s 2 α =$ .

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15. 已知数列 ${a_{n}}$ 、 ${b_{n}}$ 满足 $a_{1} = \frac{1}{2}$ ， $a_{n} + b_{n} = 1$ ， $a_{n + 1} (1 - b_{n}^{2}) = a_{n}$ ，则 $a_{n} b_{n} =$ .

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16. 已知不等式 $a l n x - \frac{1}{x} + e^{\frac{1}{x}} - x^{a} \geq 0$ 在 $[\frac{1}{e^{3}} ， \frac{1}{e^{2}}]$ 上恒成立，则实数 $a$ 的最小值为.

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四、解答题

17. 已知函数 $f (x) = A s i n (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示.

(1)、求 $f (x)$ ；

(2)、将函数 $y = f (x)$ 图象向左平移 $\frac{π}{12}$ 个单位，得到函数 $y = g (x)$ 的图象，求 $g (x)$ 在 $[0 ， \frac{π}{3}]$ 上的最小值.

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18. 已知数列 ${a_{n}}$ ， $T_{n} = a_{1} a_{2} \cdot \cdot \cdot a_{n}$ ，且 $T_{2} = 2$ ， $T_{3} = 8$ .

(1)、若 ${T_{n}}$ 为等比数列，求 $a_{n}$ ；

(2)、若 ${a_{n}}$ 为等比数列，求 $T_{n}$ .

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19. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $B C ∥$ 平面 $P A D$ ， $A D = C D = 2 B C = 4$ ， $∠ B C D = 60 °$ ，点 $G$ 为 $A D$ 的中点.

(1)、证明： $C D ∥$ 平面 $P B G$ ；

(2)、若平面 $P B D ⊥$ 平面 $A B C D$ ，且 $P B = P D = 2$ ，求直线 $P A$ 与平面 $P C D$ 所成角的正弦值.

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20. 第24届冬季奥运会将于2022年2月4日在北京开幕，本次冬季奥运会共设7个大项，15个分项，109个小项.为调查学生对冬季奥运会项目的了解情况，某大学进行了一次抽样调查，若被调查的男女生人数均为 $10 n (n \in N^{*})$ ，统计得到以下 $2 \times 2$ 列联表，经过计算可得 $K^{2} \approx 4.040$ .

男生
女生
合计
了解
$6 n$
不了解
$5 n$
合计
$10 n$
$10 n$
附： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ .

(1)、求 $n$ 的值，并判断有多大的把握认为该校学生对冬季奥运会项目的了解情况与性别有关；

(2)、①为弄清学生不了解冬季奥运会项目的原因，采用分层抽样的方法从抽取的不理解冬季奥运会项目的学生中随机抽取9人，再从这9人中抽取 $3$ 人进行面对面交流，“至少抽到一名女生”的概率；
②将频率视为概率，用样本估计总体，从该校全体学生中随机抽取10人，记其中对冬季奥运会项目了解的人数为 $X$ ，求 $X$ 的数学期望.
附表：
$P (K^{2} \geq k_{0})$
0.10
0.05
0.025
0.010
0.001
$k_{0}$
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828

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21. 设双曲线 $C ： x^{2} - \frac{y^{2}}{2} = 1$ ，点 $A$ ， $B$ 为双曲线的左､右顶点，点 $P$ 为双曲线上异于顶点的一点，设直线 $P A$ ， $P B$ 的斜率分别为 $k_{P A}$ ， $k_{P B}$ .

(1)、证明： $k_{P A} \cdot k_{P B} = 2$ ；

(2)、若过点 $Q (t ， 0)$ 作不与 $x$ 轴重合的直线 $l$ 与双曲线 $C$ 交于不同两点 $M$ ， $N$ ，设直线 $A M$ ， $B N$ 的斜率分别为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ .是否存在常数 $t$ 使 $k_{1} = - \frac{1}{2} k_{2}$ ？若存在，求出 $t$ 的值，若不存在，请说明理由.

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22. 已知函数 $f (x) = e^{x} + a x^{2} - a s i n x - 1$ .

(1)、当 $a = - 1$ 时，讨论 $f (x)$ 在 $(- ∞ ， 0)$ 上单调性；

(2)、若 $f (x) \geq 0$ ，求 $a$ 的取值构成的集合.

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	男生	女生	合计
了解	$6 n$
不了解		$5 n$
合计	$10 n$	$10 n$

$P (K^{2} \geq k_{0})$	0.10	0.05	0.025	0.010	0.001
$k_{0}$	2.706	3.841	5.024	6.635	10.828