湖南省邵阳市2021-2022学年高三上学期数学第一次联考试卷

试卷更新日期：2022-02-23 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知全集 $U = R$ ，集合 $A = {x | 1 < x < 3} ， B = {x | 2^{x} > 4}$ ，则 $(∁_{U} B) ∩ A$ 等于（）

A、 $(1 ， 2)$ B、 $(1 ， 2]$ C、 $(1 ， 3)$ D、 $(- \infty ， 2]$

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2. 已知 $i$ 为虚数单位，复数 $z$ 满足 $z (1 + 2 i) = | 4 + 3 i |$ ，则 $z$ 的共轭复数 $\bar{z} =$ （）

A、 $1 - 2 i$ B、 $1 + 2 i$ C、 $2 - i$ D、 $2 + i$

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3. “哥德巴赫猜想”是近代三大数学难题之一，其内容是：任意一个大于2的偶数都可以写成两个素数（质数）之和，也就是我们所谓的“1+1”问题．它是1742年由数学家哥德巴赫提出的，我国数学家潘承洞、王元、陈景润等在哥德巴赫猜想的证明中都取得了相当好的成绩．若将14拆成两个正整数的和，则拆成的和式中，加数全部为素数的概率为（）

A、 $\frac{3}{13}$ B、 $\frac{5}{13}$ C、 $\frac{2}{7}$ D、 $\frac{3}{7}$

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4. 已知函数 $f (x) = m^{x} + n^{x} (m > 0 ， n > 0 ， m \neq 1 ， n \neq 1)$ 是偶函数，则 $m + 2 n$ 的最小值是（）

A、6 B、 $4 \sqrt{2}$ C、8 D、 $2 \sqrt{2}$

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5. 在平行四边形ABCD中， $\vec{A C} = (1 ， 2) ， \vec{B D} = (3 ， 4)$ ，则 $\vec{A B} \cdot \vec{A D} =$ （）

A、-5 B、-4 C、-3 D、-2

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6. 国庆长假过后学生返校，某学校为了做好防疫工作组织了6个志愿服务小组，分配到4个大门进行行李搬运志愿服务，若每个大门至少分配1个志愿服务小组，每个志愿服务小组只能在1个大门进行服务，则不同的分配方法种数为（）

A、65 B、125 C、780 D、1560

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7. 双曲线 $C ： x^{2} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ ，左右焦点分别为 $F_{1} ， F_{2}$ ，过 $F_{2}$ 作垂直于 $x$ 轴的直线交双曲线于 $A ， B$ 两点， $△ A F_{1} F_{2}$ 的内切圆圆心为 $O_{1}$ ， $△ B F_{1} F_{2}$ 的内切圆圆心为 $O_{2}$ ，则四边形 $F_{1} O_{1} F_{2} O_{2}$ 的面积是（）

A、8 B、6 C、4 D、2

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8. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号.设 $x \in R$ ，用 $[x]$ 表示不超过x的最大整数，则 $f (x) = [x]$ 称为高斯函数.已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{2} = 2$ ，且 $(n + 1) a_{n + 1} - n a_{n} = 2 n + 1$ ，若 $b_{n} = [l g a_{n}]$ 数列 ${b_{n}}$ 的前n项和为 $T_{n}$ ，则 $T_{2021} =$ （）

A、4950 B、4953 C、4956 D、4959

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二、多选题

9. 给出下列命题，其中正确的命题有（）

A、“ $α = β$ ”是“ $s i n α = s i n β$ ”的必要不充分条件 B、已知命题 $P$ ：“ $\exists x_{0} \in R$ ， $e^{x_{0}} < x_{0} + 1$ ”，则 $\neg P$ ：“ $\forall x \in R$ ， $e^{x} \geq x + 1$ ” C、若随机变量 $ξ ∼ B (2 ， \frac{1}{3})$ ，则 $E (ξ) = \frac{2}{3}$ D、已知随机变量 $X ∼ N (3 ， σ^{2})$ ，且 $P (X > 2 a - 1) = P (X < a + 3)$ ，则 $a = \frac{4}{3}$

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10. 已知函数 $f (x) = s i n (ω x + φ) (ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的零点按照由小到大的顺序依次构成一个公差为 $\frac{π}{2}$ 的等差数列，函数 $g (x) = f (x) + \frac{1}{2} f (x)$ 的图像关于原点对称，则（）

A、 $f (x)$ 在 $(0 ， \frac{π}{2})$ 在单调递增 B、 $\forall x_{1} ， x_{2} \in R$ ， $| f (x_{1}) - g (x_{2}) | \leq 1 + \sqrt{2}$ C、把 $g (x)$ 的图像向右平移 $\frac{π}{8}$ 个单位即可得到 $f (x)$ 的图像 D、若 $f (x)$ 在 $[0 ， a)$ 上有且仅有两个极值点，则 $a$ 的取值范围为 $(\frac{7}{8} π ， \frac{11}{8} π]$

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11. 双曲函数在实际生活中有着非常重要的应用，比如悬链桥．在数学中，双曲函数是一类与三角函数类似的函数，最基础的是双曲正弦函数 $s i n h x = \frac{e^{x} - e^{- x}}{2}$ 和双曲余弦函数 $c o s h x = \frac{e^{x} + e^{- x}}{2}$ ．下列结论正确的是（）

A、 $c o s h x + s i n h x \geq x + 1$ B、 $s i n h (x + y) = s i n h x c o s h y + c o s h x s i n h y$ C、若 $y = m$ 与双曲余弦函数 $C_{1}$ 和双曲正弦函数 $C_{2}$ 共有三个交点，分别为 $x_{1} ， x_{2} ， x_{3}$ ，则 $x_{1} + x_{2} + x_{3} \geq 1 + \sqrt{2}$ D、 $y = c o s h x$ 是一个偶函数，且存在最小值

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12. 如图，点 $P$ 是棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的表面上一个动点，则（）

A、当 $P$ 在平面 $B C C_{1} B_{1}$ 上运动时，四棱锥 $P - A A_{1} D_{1} D$ 的体积不变 B、当 $P$ 在线段 $A C$ 上运动时， $D_{1} P$ 与 $A_{1} C_{1}$ 所成角的取值范围是 $[\frac{π}{6} ， \frac{π}{2}]$ C、当直线 $A P$ 与平面ABCD所成的角为45°时，点 $P$ 的轨迹长度为 $π + 4 \sqrt{2}$ D、若 $F$ 是 $A_{1} B_{1}$ 的中点，当 $P$ 在底面ABCD上运动，且满足 $P F ∥$ 平面 $B_{1} C D_{1}$ 时，PF长度的最小值是 $\sqrt{5}$

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三、填空题

13. 已知 $α \in (π ， \frac{3 π}{2})$ ， $t a n (α - \frac{π}{4}) = \frac{1}{2}$ ，则 $c o s α =$ ．

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14. $(1 + 2 x) {(1 - x)}^{6}$ 的展开式中 $x^{3}$ 项的系数为．

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15. 已知 $O$ 为坐标原点，过点 $M (a ， 0) (a \neq 0)$ 的直线与抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 交于 $A ， B$ 两点，设直线 $O A ， O B$ 的斜率分别为 $k_{1} ， k_{2}$ ，若 $k_{1} k_{2} = - 2 p$ ，则 $a$ 的值为．

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16. 已知 $\vec{a} ， \vec{b} ， \vec{c}$ 是平面向量， $\vec{a}$ 与 $\vec{c}$ 是单位向量，且 $⟨ \vec{a} ， \vec{c} ⟩ = \frac{π}{2}$ ，若 ${\vec{b}}^{2} - 8 \vec{b} \cdot \vec{c} + 15 = 0$ ，则 $| \vec{a} - \vec{b} |$ 的最小值为．

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四、解答题

17. 在 $Δ A B C$ 中，若边 $a ， b ， c$ 对应的角分别为 $A ， B ， C$ ，且 $c = \sqrt{3} a s i n C - c c o s A$ ．

(1)、求角 $A$ 的大小；

(2)、若 $c = 3 ， b = 1$ ， $\vec{B D} = 2 \vec{D C}$ ，求AD的长度．

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18. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $a_{1} = 2$ ，且 $S_{n + 1} = 2 + 2 S_{n} (n \geq 1)$ ， ${b_{n}}$ 是公差不为0的等差数列，且 $b_{1} ， b_{2} ， b_{4}$ 成等比数列， $a_{2} ， b_{10} ， a_{4}$ 成等差数列．

(1)、求 ${a_{n}} ， {b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $c_{n} = {(- 1)}^{n + 1} \frac{2 n + 1}{(b_{n} + 1) l o g_{2} a_{n}}$ ，求 ${c_{n}}$ 的前 $2 n$ 项和 $T_{2 n}$ ．

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19. 如图，在空间几何体ABCDE中，已知 $△ A B C ， △ A C D ， △ B C E$ 均为边长为2的等边三角形，平面 $A C D$ 和平面BCE都与平面ABC垂直，B为AB的中点．

(1)、证明： $E D ∥$ 平面ABC；

(2)、求直线DH与平面ACE所成角的正弦值．

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20. 2021年东京奥运会，中国举重代表队共10人，其中主教练、教练各1人，参赛选手8人，赛后结果7金1银，在全世界面前展现了真正的中国力量；举重比赛根据体重进行分级，某次举重比赛中，男子举重按运动员体重分为下列十级：

级别	54公斤级	59公斤级	64公斤级	70公斤级	76公斤级
体重	$\leq 54$	$54.01 ∼ 59$	$59.01 ∼ 64$	$64.01 ∼ 70$	$70.01 ∼ 76$
级别	83公斤级	91公斤级	99公斤级	108公斤级	108公斤级以上
体重	$76.01 ∼ 83$	$83.01 ∼ 91$	$91.01 ∼ 99$	$99.01 ∼ 108$	$\geq 108$

每个级别的比赛分为抓举与挺举两个部分，最后综合两部分的成绩得出总成绩，所举重量最大者获胜，在该次举重比赛中，获得金牌的运动员的体重以及举重成绩如下表

体重	54	59	64	70	76	83	91	99	106
举重成绩	291	304	337	353	363	389	406	421	430

参考数据： $\sum_{i = 1}^{9} {(x_{i} - \bar{x})}^{2} = 2620 ， \sum_{i = 1}^{9} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y}) = 7076$ ；

参考公式： $b = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} ， a = \bar{y} - b x$ ．

(1)、根据表中的数据，求出运动员举重成绩

y

与运动员的体重

x

的回归直线方程（保留1位小数）；

(2)、某金牌运动员抓举成绩为180公斤，挺举成绩为218公斤，则该运动员最有可能是参加的哪个级别的举重？

(3)、凯旋回国后，中央一台记者从团队的10人中随机抽取3人进行访谈，用

ξ

表示抽取到的是金牌得主的人数，求

ξ

的概率分布列与数学期望．

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21. 已知圆 $M ： {(x + 1)}^{2} + y^{2} = 16$ ，点 $N (1 ， 0)$ ， P是圆M上一动点，若线段 $P N$ 的垂直平分线与线段PM相交于点E．

(1)、求点E的轨迹方程；

(2)、已知A、B、C为点 $E$ 的轨迹上三个点（A、B、C不在坐标轴上），且 $\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C} = \vec{0}$ ，求 $S_{△ A B C}$ 的值．

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22. 已知函数 $f (x) = x^{2} - a l n x ， (a \in R)$ ．

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的零点个数；

(2)、若函数 $f (x)$ 存在两个不同的零点 $x_{1} ， x_{2}$ ，证明： $x_{1} x_{2} > e$ ．

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