河南省郑州市2021-2022学年高三上学期理数第一次质量预测试卷

试卷更新日期：2022-02-23 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $P = {x \in N ∣ 1 < x ⩽ 4}$ ，集合 $Q = {x ∣ x^{2} - x - 6 ⩽ 0}$ ，则 $P ∩ Q =$ （）

A、 $(1 ， 3]$ B、{2，3} C、{1，2，3} D、 $(1 ， 4]$

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2. 已知i虚数单位，若z=1+ $i$ ，则 $\frac{z}{2 i + z} =$ （）

A、 $\frac{1 + 2 i}{5}$ B、 $\frac{1 - 2 i}{5}$ C、 $\frac{- 1 - 2 i}{5}$ D、 $\frac{- 1 + 2 i}{5}$

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3. 已知命题 $p ： \exists x_{0} \in R ， 3 s i n x_{0} + 4 c o s x_{0} = 4 \sqrt{2}$ ，命题 $q ： \forall x \in R ， {(\frac{1}{e})}^{| x |} ⩽ 1$ ，则下列命题中为真命题的是（）

A、 $p \land q$ B、 $\neg p \land q$ C、 $p \lor \neg q$ D、 $\neg (p \lor q)$

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4. 若实数x､y满足 ${\begin{array}{l} x + 2 y - 1 ⩾ 0 \\ x - y - 1 ⩽ 0 \\ 4 x - 2 y + 1 ⩾ 0 \end{array}$ ，则z=x+3y的最小值为（）

A、-9 B、1 C、 $\frac{3}{2}$ D、2

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5. 若函数 $f (x)$ 满足 $f (2 - x) + f (x) = - 2$ ，则下列函数中为奇函数的是（）

A、 $f (x - 1) - 1$ B、 $f (x - 1) + 1$ C、 $f (x + 1) - 1$ D、 $f (x + 1) + 1$

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6. 为了落实五育并举，全面发展学生素质，学校准备组建书法､音乐､美术､体育社团，现将5名同学分配到这4个社团进行培训，每名同学只分配到1个社团，每个社团至少分配1名同学，则不同的分配方案共有（）

A、60种 B、120种 C、240种 D、480种

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7. 已知函数 $f (x) = s i n (2 x - \frac{π}{6})$ ，为了得到函数 $g (x) = c o s (2 x + \frac{π}{3})$ 的图象只需将y=f（x）的图象（）

A、向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位 B、向右平移 $\frac{5 π}{6}$ 个单位 C、向左平移 $\frac{π}{2}$ 个单位 D、向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位

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8. 数学家阿基米德建立了这样的理论：“任何由直线与抛物线所围成的弓形，其面积都是其同底同高的三角形面积的三分之四，如图，直线x=1与抛物线y²=2x交于A，B两点，A，B两点在y轴上的射影分别为M，N，从长方形ABNM内任取一点，则该点落在阴影部分的概率为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{3}{4}$

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9. 魏晋南北朝时期，中国数学的测量学取得了长足进展.刘徽提出重差术，应用中国传统的出入相补原理，因其第一题为测量海岛的高度和距离，故题为《海岛算经》.受此题启发，某同学依照此法测量郑州市二七纪念塔的高度.如图，点D，G，F在水平线DH上，CD和EF是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”测得以下数据（单位：米）：前表却行DG=1，表高CD=EF=2，后表却行FH=3，表距DF=61.则塔高AB=（）

A、60米 B、61米 C、62米 D、63米

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10. 在圆 ${(x - 3)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = r^{2} (r > 0)$ 上总存在点 $P$ ，使得过点 $P$ 能作椭圆 $\frac{x^{2}}{3} + y^{2} = 1$ 的两条相互垂直的切线，则 $r$ 的取值范围是（）

A、 $(3 ， 7)$ B、 $[3 ， 7]$ C、 $(1 ， 9)$ D、 $[1 ， 9]$

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11. 已知一圆柱的轴截面为正方形，母线长为 $\sqrt{6}$ ，在该圆柱内放置一个棱长为 $a$ 的正四面体，并且正四面体在该圆柱内可以任意转动，则 $a$ 的最大值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、1 C、 $\sqrt{3}$ D、2

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12. 已知a>0，函数 $f (x) = 2 l n (a x) - x$ ，若函数 $F (x) = f (f (x)) - x$ 恰有两个零点，则实数a的取值范围是（）

A、 $(\frac{1}{e} ， + \infty)$ B、 $[\frac{1}{e} ， + \infty)$ C、 $(e ， + \infty)$ D、 $[e ， + ∞)$

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二、填空题

13. 已知 $\vec{a} = (1 ， 2) ， \vec{b} = (λ ， 3) ， (2 \vec{a} - \vec{b}) ⊥ \vec{a}$ ，则 $λ =$ .

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14. 已知 ${(\sqrt{x} - \frac{1}{2 \sqrt{x}})}^{n} (n \in N^{*})$ 的展开式中所有二项式系数之和是64，则它展开式中x²的系数.

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15. 双曲线C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 与抛物线y²=8x有共同的焦点 $F_{2}$ ，双曲线左焦点为 $F_{1}$ ，点P是双曲线右支一点，过 $F_{1}$ 向 $∠ F_{1} P F_{2}$ 的角平分线做垂线，垂足为N， $| O N | =$ 1，则双曲线的离心率是.

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16. 已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为 $2$ ， $P$ 是空间中任意一点.
①若点 $P$ 是正方体表面上的点，则满足 $| A P | = \frac{1}{2}$ 的动点轨迹长是 $\frac{3 π}{4}$ ；
②若点 $P$ 是线段 $A D_{1}$ 上的点，则异面直线 $B P$ 和 $B_{1} C$ 所成角的取值范围是 $[\frac{π}{3} ， \frac{π}{2}]$ ；
③若点 $P$ 是侧面 $B C C_{1} B_{1}$ 上的点， $P$ 到直线 $B C$ 的距离与到点 $C_{1}$ 的距离之和为2，则 $P$ 的轨迹是椭圆；
④过点 $P$ 的平面 $α$ 与正方体每条棱所成的角都相等，则平面 $α$ 截正方体所得截面的最大面积是 $3 \sqrt{3}$ .
以上说法正确的有.

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三、解答题

17. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的公差为 $d$ $(d \neq 0)$ ，前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，现给出下列三个条件：① $S_{1} ， S_{2} ， S_{4}$ 成等比数列；② $S_{4} = 16$ ；③ $S_{8} = 4 (a_{8} + 1)$ .请你从这三个条件中任选两个解答下列问题.

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} - b_{n - 1} = 4 a_{n} (n \geq 2)$ ，且 $b_{1} = 3$ 求数列 ${\frac{1}{b_{n}}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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18. 为深入贯彻党的十九大教育方针.中共中央办公厅､国务院办公厅印发《关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见》.郑州某中学数学建模小组随机抽查了我市2000名初二学生“双减”政策前后每天的运动时间，得到如下频数分布表：
表一：“双减”政策后
时间（分钟）
$[20 ， 30]$
$(30 ， 40]$
$(40 ， 50]$
$(50 ， 60]$
$(60 ， 70]$
$(70 ， 80]$
$(80 ， 90]$
人数
10
60
210
520
730
345
125
表二：“双减”政策前
时间（分钟）
$[20 ， 30]$
$(30 ， 40]$
$(40 ， 50]$
$(50 ， 60]$
$(60 ， 70]$
$(70 ， 80]$
$(80 ， 90]$
人数
40
245
560
610
403
130
12

(1)、用一个数字特征描述“双减”政策给学生的运动时间带来的变化（同一时间段的数据用该组区间中点值做代表）；

(2)、为给参加运动的学生提供方便，学校在球场边安装直饮水设备.该设备需同时装配两个一级滤芯才能正常工作，且两个滤芯互不影响，一级滤芯有两个品牌A､B：A品牌售价5百元，使用寿命7个月或8个月（概率均为0.5）；B品牌售价2百元，寿命3个月或4个月（概率均为0.5）.现有两种购置方案，方案甲：购置2个品牌A；方案乙：购置1个品牌A和2个品牌B.试从性价比（设备正常运行时间与购置一级滤芯的成本之比）角度考虑，选择哪一种方案更实惠.

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19. 在矩形ABCD中，AB=2，AD= $\sqrt{2}$ ， E是DC中点，连接AE，将△ADE沿AE折起，使得点D移动至点P，满足平面PAE⊥平面ABCE.

(1)、求证：AE⊥BP；

(2)、求二面角E-CP-B的余弦值.

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20. 设函数 $f (x) = l n (a - x) - x + e$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、当 $a = e$ 时，证明： $f (e - x) < e^{x} + \frac{x}{2 e}$ .

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21. 已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左焦点为 $F_{1}$ ，离心率为 $\frac{1}{2}$ ，过 $F_{1}$ 的直线与椭圆交于M，N两点，当MN⊥x轴时， $| M N | = 3$ .

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、设经过点H（0，-1）的直线l与椭圆C相交于P，Q两点，点P关于y轴的对称点为F，直线FQ与y轴交于点G，求△PQG面积的取值范围.

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22. 在直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $l$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = t c o s α ， \\ y = 1 + t s i n α ， \end{array}$ （ $t$ 为参数）．以坐标原点为极点， $x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C$ 的极坐标方程为 $ρ = \frac{2 t a n θ}{c o s θ}$ ．

(1)、若 $α = \frac{π}{6}$ ，求直线 $l$ 的普通方程和曲线 $C$ 的直角坐标方程；

(2)、设点 $P$ 的直角坐标系下的坐标为 $(0 ， 1)$ ，直线 $l$ 与曲线 $C$ 交于 $A ， B$ 两点，且 $| P A | \cdot | P B | = 4$ ，求直线 $l$ 的倾斜角．

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23. 已知 $a ， b ， c$ 均为正数，且满足 $2 a + 3 b + 4 c = 9$ ．

(1)、证明： $(a + 1) (b + 1) (c + 1) \leq 9$ ；

(2)、证明： $4 a^{2} + 9 b^{2} + 16 c^{2} \geq 27$ ．

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时间（分钟）	$[20 ， 30]$	$(30 ， 40]$	$(40 ， 50]$	$(50 ， 60]$	$(60 ， 70]$	$(70 ， 80]$	$(80 ， 90]$
人数	10	60	210	520	730	345	125