广西玉林市普通高中2022届高三文数1月统考试卷

试卷更新日期：2022-02-23 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 若集合 $M = {x | 1 < x^{2} < 2}$ ， $N = {x | x > 0}$ ，则 $M ∩ N =$ （）

A、 $(0 ， 1)$ B、 $(1 ， \sqrt{2})$ C、 $(0 ， \sqrt{2})$ D、 $(1 ， + ∞)$

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2. 已知 $i$ 是虚数单位，则 $(1 - i) (3 - i) =$ （）

A、 $2 - 4 i$ B、 $- 2 - 4 i$ C、 $- 2 + 4 i$ D、 $2 + 4 i$

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3. 现有一球形气球，在吹气球时，气球的体积V（单位：L）与直径d（单位： $d m$ ）的关系式为 $V = \frac{π d^{3}}{6}$ ，当 $d = 2 d m$ 时，气球体积的瞬时变化率为（）

A、2π B、π C、 $\frac{π}{2}$ D、 $\frac{π}{4}$

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4. 若点 $R (- 1 ， 2)$ 在圆 $C$ ： $x^{2} + y^{2} - 2 x - 2 y + a = 0$ 的外部，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $a < - 3$ B、 $a > - 3$ C、 $- 3 < a < 2$ D、 $- 2 < a < 3$

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5. 若 $t a n α = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ，则 $c o s 2 α =$ （）

A、 $\frac{2}{7}$ B、 $- \frac{3}{7}$ C、 $\frac{1}{7}$ D、 $\frac{4}{5}$

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6. 若实数x，y满足约束条件 ${\begin{array}{l} y \geq x ， \\ x + y \leq 6 ， \\ x \geq 1 ， \end{array}$ 则 $z = x + 3 y$ 的最大值是（）

A、16 B、12 C、10 D、15

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7. 满足 $s i n (x + \frac{π}{3}) < s i n x$ 的一个区间是（）

A、 $(0 ， \frac{π}{2})$ B、 $(\frac{π}{2} ， π)$ C、 $(π ， \frac{3 π}{2})$ D、 $(\frac{3 π}{2} ， 2 π)$

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8. 2021年7月20日郑州特大暴雨引发洪灾，各地志愿者积极赴郑州救灾.某志愿小组共6人，随机派两人去执行某次抢救任务，则甲乙两人没有同去的概率为（）

A、 $\frac{1}{15}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、 $\frac{14}{15}$ D、 $\frac{1}{3}$

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9. 若如图所示程序框图的输出结果是21，150，则判断框内可填的条件是（）

A、k>19？ B、k>20？ C、k>21？ D、k>22？

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10. 若如图所示程序框图的输出结果是21，150，则判断框内可填的条件是（）

A、k＞19？ B、k＞20？ C、k＞21？ D、k＞22？

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11. 在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，E为底面正方形对角线的交点，P为棱 $C C_{1}$ 上的动点（不包括端点），则下列说法不正确的是（）

A、 $B D ⊥$ 平面 $P C E$ B、 $| A_{1} E | = \sqrt{6}$ C、当 $A C_{1} / /$ 平面 $B D P$ 时，P为 $C C_{1}$ 的中点 D、 $∠ B P D$ 的取值范围为 $(\frac{π}{4} ， \frac{π}{2})$

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12. 抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点F到准线的距离为2，过点F的直线交抛物线于A，B两点，则 $| A F | \cdot | B F |$ 的最小值是（）

A、2 B、 $\sqrt{2}$ C、4 D、 $2 \sqrt{2}$

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13. 已知双曲线 $C ： x^{2} - \frac{y^{2}}{2} = 1$ 的左，右焦点为 $F_{1} ， F_{2}$ ， P为双曲线右支上的一点， $∠ P F_{1} F_{2} = 30 °$ ， I是 $△ P F_{1} F_{2}$ 的内心，则下列结论错误的是（）

A、 $△ P F_{1} F_{2}$ 是直角三角形 B、点I的横坐标为1 C、 $| P I | = 2 \sqrt{3} - 2$ D、 $△ P F_{1} F_{2}$ 的内切圆的面积为 $π$

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二、填空题

14. 已知 $| \vec{a} | = \sqrt{3} ， | \vec{b} | = 1 ， | \vec{a} - 2 \vec{b} | = \sqrt{6}$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} =$ .

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15. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和记作 $S_{n}$ ， $S_{n} = n^{2} - 3 n + 2$ ，则 $a_{n} =$ ．

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16. 已知定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $f (x + 2) = f (x)$ ，当 $x \in [0 ， 1)$ 时， $f (x) = 4^{x} - 2$ ，则 $f (- l o g_{4} 80) =$ .

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17. 在 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足 $a c o s B - b c o s A = \frac{3}{4} c$ ，则 $\frac{t a n A}{t a n B} =$ .

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三、解答题

18. 在① $b_{3} = \frac{S_{7}}{a_{7}}$ ；② $b_{3} = S_{5} - S_{3}$ ；③ $a_{18} = S_{8} b_{2}$ ，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中.
已知 ${a_{n}}$ 是公差为1的等差数列， $S_{n}$ 为数列 ${a_{n}}$ 的前n项和， ${b_{n}}$ 是正项等比数列， $a_{1} = b_{1} = 1$ ， ______； $c_{n} = \frac{a_{n}}{b_{n}} (n \in N^{*})$ ，试比较 $c_{n}$ 与 $c_{n + 1}$ 的大小，并说明理由.

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19. 某超市记录了某农副产品5个月内的月平均销售价格，得到的统计数据如下表：
月份x
1
2
3
4
5
月平均销售价格（单位：元/千克）
12
10.5
10
8.5
9
参考公式： $a = \bar{y} - b \bar{x}$ .

(1)、若月平均销售价格y与月份x之间的回归直线方程为 $\hat{y} = b x + 12.4$ ，求 $\hat{b}$ 的值；

(2)、请根据（1）预测6月份该农副产品的月平均销售价格；

(3)、求该农副产品5个月内的月平均销售价格这组数据的方差.

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20. 如图所示，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B ⊥ B C$ ，设D为 $A C$ 的中点，且 $A B = B C = 2 ， A A_{1} = 3$ .

(1)、求证：平面 $A B_{1} C ⊥$ 平面 $B B_{1} D$ ；

(2)、求点 $B_{1}$ 到平面 $B C_{1} D$ 的距离.

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21. 已知 $A (\sqrt{3} ， \frac{\sqrt{3}}{2})$ 为椭圆 $C ：$ $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 上的一点， $F_{1} ， F_{2}$ 为椭圆C的左、右焦点，点 $F (\frac{1}{2} ， 0)$ ，直线 $A F$ 将 $△ A F_{1} F_{2}$ 的面积分为3∶1两部分．

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、已知直线 $l ： y = k x + m (m > 0)$ 与椭圆C相交于P，Q两点，M为 $P Q$ 的中点，O为坐标原点，且 $| O M | = 1$ ，求实数m的最小值．

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22. 已知函数 $f (x) = x l n x - 4 x ， g (x) = \frac{1}{2} x^{2} + 2 l n x + \frac{7}{2}$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的最小值；

(2)、证明：函数 $h (x) = f (x) + g (x)$ 仅有一个零点.

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23. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，曲线C的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = m^{2} \\ y = 2 m \end{array}$ （m为参数），以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为 $2 ρ c o s (θ + \frac{π}{6}) = 1$ ．

(1)、求直线l的直角坐标方程和曲线C的直角坐标方程；

(2)、已知点 $M (0 ， - 1)$ ，若直线l与曲线C相交于P，Q两点，求 $| M P | \cdot | M Q |$ 的值．

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24. 已知函数 $f (x) = | x - m | - 2 x + 1$ ．

(1)、当 $m = 2$ 时，求不等式 $f (x) > 0$ 的解集；

(2)、若对任意的 $x \in [- 3 ， 1]$ ，不等式 $f (x) \geq 0$ 恒成立，求实数m的取值范围．

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月份x	1	2	3	4	5
月平均销售价格（单位：元/千克）	12	10.5	10	8.5	9