福建省泉州市惠安县2021年中考数学质检试卷

试卷更新日期：2022-02-22 类型：中考模拟

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一、单选题

1. 计算 ${(- 2)}^{3}$ ，正确结果是（）．

A、-6 B、-8 C、6 D、8

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2. 下列运算正确的是（）

A、 $2 a^{3} - a^{2} = a$ B、 $a^{2} + 2 a^{2} = 2 a^{2}$ C、 ${(a + 2)}^{2} = a^{2} + 4$ D、 $- 3 a^{2} b \div (a b) = - 3 a$

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3. 在新冠肺炎防控期间，要了解某学校以下情况，其中适合用普查的有（）
①了解学校口罩、洗手液、消毒片的储备情况；

②了解全体师生在寒假期间的离锡情况；

③了解全体师生入校时的体温情况；

④了解全体师生对“七步洗手法”的运用情况.

A、1个 B、2个 C、3个 D、4

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4. 实数 $a ， b ， c$ 在数轴上的对应点的位置如图所示，若 $| a | = | b |$ ，则下列结论中错误的是（）

A、 $a + b > 0$ B、 $a + c > 0$ C、 $b + c > 0$ D、 $a c < 0$

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5. 下图所示的几何体的左视图是（）

A、 B、 C、 D、

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6. 如图，将正方形ABCD沿直线DF折叠，使得点C落在对角线BD上的点 $E$ 处，则 $∠ D E C$ 的度数是（）

A、 $65.5 °$ B、 $67.5 °$ C、 $70 °$ D、 $72.5 °$

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7. 如图，在 $Δ A B C$ 中，BD， $C E$ 分别是 $A C$ ，AB边上的中线，且BD与CE相交于点C，则 $\frac{S_{Δ B O C}}{S_{Δ A B C}}$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{6}$ D、 $\frac{2}{5}$

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8. 我国古代《四元玉鉴》中记载“二果问价”问题，其内容如下：九百九十九文钱，甜果苦果买一千，甜果九个十一文，苦果七个四文钱，试问甜苦果几个，又问各该几个钱？其意思为：九百九十九文钱买了甜果和苦果共一千个.已知十一文钱可买九个甜果，四文钱可买七个苦果，那么甜果、苦果各买了多少个？买甜果和苦果各需要多少文钱？若设买甜果x个，买苦果y个，则下列关于 $x$ 、 $y$ 的二元一次方程组中符合题意的是（）

A、 ${\begin{array}{l} x + y = 999 \\ \frac{9}{11} x + \frac{7}{4} y = 1000 \end{array}$ B、 ${\begin{array}{l} x + y = 999 \\ \frac{11}{9} x + \frac{4}{7} y = 1000 \end{array}$ C、 ${\begin{array}{l} x + y = 1000 \\ \frac{9}{11} x + \frac{7}{4} y = 999 \end{array}$ D、 ${\begin{array}{l} x + y = 1000 \\ \frac{11}{9} x + \frac{4}{7} y = 999 \end{array}$

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9. 如图，已知 $Δ A B C$ 内接于 $⊙ O$ ，BC是 $⊙ O$ 的直径，AD平分 $∠ B A C$ ，交 $⊙ O$ 于D，若 $B C = 4$ ，则CD的长为（）

A、2 B、 $2 \sqrt{2}$ C、3 D、 $3 \sqrt{2}$

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10. 已知点 $P (m ， n)$ 在抛物线 $y = a x^{2} - 10 a x + 25 a + 9 (a \neq 0)$ 上，当 $3 < m < 4$ 时，总有 $n > 1$ ；当 $7 < m < 8$ 时，总有 $n < 1$ ，则 $a$ 的值可以是（）

A、1 B、-1 C、2 D、-2

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二、填空题

11. 分解因式： $a^{4} - a^{2} b^{2} =$ ．

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12. 新华社北京5月11日电11日发布的第七次全国人口普查结果显示，全国人口共141178万人，与2010年第六次全国人口普查数据相比，增加7206万人，增长 $5.38 %$ ，年平均增长率为0.53%.数据表明，我国人口10年来继续保持低速增长态势.用科学记数法将数据“7206万”表示为 .

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13. 某家庭记录使用节水龙头50天的日用水量数据（单位：

m^{3})

，得到频数分布表如下：

日用水量 $x$	$0 ⩽ x < 0.1$	$0.1 ⩽ x < 0.2$	$0.2 ⩽ x < 0.3$	$0.3 ⩽ x < 0.4$	$0.4 ⩽ x < 0.5$	$0.5 ⩽ x < 0.6$
频数	1	5	13	10	16	5

估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于 $0.3 m^{3}$ 的概率为.

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14. 如图，矩形 $A B C D$ 的边长 $A B = 1$ ， $B C = 2$ .把BC绕B逆时针旋转，使C恰好落在AD上的点 $E$ 处，则 $\overset{⌢}{C E}$ 的长是（结果保留 $π$ ）.

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15. 如图，正六边形ABCDEF的面积是 $24 \sqrt{3}$ ，则对角线 $A D$ 的长是.

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16. 如图，矩形OABC的顶点 $A$ ， $C$ 分别在 $x$ 轴， $y$ 轴正半轴上，反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k > 0 ， x > 0)$ 的图象分别与矩形OABC两边AB，BC交于点D，E，沿直线DE将 $Δ D B E$ 翻折得到 $Δ D F E$ ，且点F恰好落在直线 $O A$ 上.下列四个结论：① $C E = A D$ ；② $\frac{C E}{B E} = \frac{A D}{B D}$ ；③ $\tan ∠ F E D = \frac{A F}{A B}$ ；④ $O E = E F$ .其中结论正确的有.（仅填代号即可）

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三、解答题

17. 解不等式组： ${\begin{array}{l} \frac{3 x - 4}{2} + 1 ⩽ x \\ 1 - \frac{x}{2} > - 2 x \end{array}$ ，并把它的解集在数轴上表示出来.

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18. 如图，在菱形 $A B C D$ 中，点 $E$ 、 $F$ 分别在 $A B$ 、 $C D$ 上，且 $A E = C F$ ．求证： $∠ D A F = ∠ D C E$ ．

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19. 先化简，再求值： $\frac{3 a}{a^{2} - 9} \div (a - \frac{a^{2}}{a - 3})$ ，其中 $a = \sqrt{7} - 3$ .

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20. 某商场按定价销售某种商品时，每件可获利100元；按定价的八折销售该商品5件与将定价降低50元销售该商品6件所获利润相等.

(1)、该商品进价、定价分别是多少？

(2)、该商场用10000元的总金额购进该商品，并在五一节期间以定价的七折优惠全部售出，在每售出一件该商品时，均捐献 $m$ 元给社会福利事业，该商场为能获得不低于3000元的利润，求 $m$ 的最大值.

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21. 如图，矩形ABCD中，E为AD的中点.

(1)、在CD边上求作一点F，使得 $∠ C F B = 2 ∠ A B E$ ；

(2)、在（1）中，若 $A B = 9$ ， $B C = 6$ ，求BF的长.

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22. 如图，在 $Δ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $D$ 是边 $B C$ 的延长线上一点， $E$ 是边 $A C$ 上一点，且 $∠ E B C = ∠ D$ .

(1)、求证： $\frac{C E}{A B} = \frac{B C}{B D}$ ；

(2)、作 $E G ⊥ B C$ 于 $G$ 点，并连结DE.若 $B C = 4$ ， $\sin \frac{1}{2} ∠ B A C = \frac{1}{3}$ ，求 $Δ E B D$ 的面积.

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23. 甲、乙两家销售公司拟各招聘一名产品推销员，日工资方案如下：甲公司规定底薪80元，每销售一件产品提成1元；乙公司规定底薪120元，日销售量不超过45件没有提成，超过45件的部分按每件提成8元.

(1)、分别将甲、乙两家公司一名推销员的日工资y（单位：元）表示为日销售件数 $n$ 的函数关系式，并写出自变量 $n$ 的取值范围；

(2)、现从甲、乙两家公司各选取一名推销员，随机统计了100天的销售情况，得到如下条形图.若记甲公司推销员的日工资为 $a$ 元，乙公司推销员的日工资为 $b$ 元，将该频率视为概率，请回答下面问题：某位大学毕业生拟到甲、乙两家公司应聘产品推销员，如果仅从日均收入高的角度考虑，应选择哪家销售公司？请说明理由.

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24. 已知四边形 $A B C D$ 内接于 $⊙ O$ ， $A B = A D$ .

(1)、如图1，求证：点 $A$ 到 $∠ C$ 两边的距离相等；

(2)、如图2，已知BD与 $A C$ 相交于点E，BD为 $⊙ O$ 的直径.
①求证： $\tan ∠ C A D = \frac{D E}{B E}$ ；

②若 $∠ C B D = 30 °$ ， $A D = 3 \sqrt{2}$ ，求AE的长.

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25. 已知抛物线 $y = a x^{2} + b x + 2$ 与 $x$ 轴交于 $A (- 1 ， 0)$ 和 $B$ 两点，与 $y$ 轴交于 $C$ 点，且 $A B = 5$ .对于该抛物线上的任意两点 $P_{1} (x_{1}$ ， $y_{1})$ ， $P_{2} (x_{2}$ ， $y_{2})$ ，当 $x_{1} < x_{2} ⩽ - 1$ 时，总有 $y_{1} < y_{2}$ .

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、若过点 $A$ 的直线 $l ： y = k x + b_{1}$ 与该抛物线交于另一点E，与线段BC交于点 $F$ .作 $E G / / A C$ ，EG与BC交于 $G$ 点，求 $E G$ 的最大值，并求此时 $E$ 点的坐标；

(3)、若直线 $y = k_{1} x - 4 k_{1} - 3$ 与抛物线交于 $P$ ， $Q$ 两点 $(P$ ， $Q$ 不与 $A$ ， $B$ 重合），直线 $A P$ ， $A Q$ 分别与 $y$ 轴交于点 $M$ ， $N$ ，设 $M$ ， $N$ 两点的纵坐标分别为 $m$ ， $n$ ，试探究 $m$ 、 $n$ 之间的数量关系.

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