广西玉林市、贵港市2022届高三理数12月模拟考试试卷

试卷更新日期：2022-02-22 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 设集合 $A = {x | x^{2} - 4 x < 0} ， B = {x \in Z | x \geq 1}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 ${x | 1 \leq x < 4}$ B、 ${x | 0 < x < 4}$ C、 ${1 ， 2 ， 3}$ D、 ${1 ， 2 ， 3 ， 4}$

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2. 若 $z (1 - i) = 2$ ，则 $z =$ （）

A、 $1 - i$ B、 $1 + i$ C、 $- 1 - i$ D、 $- 1 + i$

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3. 我国在2020年开展了第七次全国人口普查，并于2021年5月11日公布了结果．自新中国成立以来，我国共进行了七次全国人口普查，下图为我国历次全国人口普查人口性别构成及总人口性别比（以女性为100，男性相对女性的比例）统计图，则下列说法错误的是（）

A、近三次全国人口普查总人口性别比呈递减趋势 B、我国历次全国人口普查总人口数呈逐次递增 C、第五次全国人口普查时，我国总人口数不足12亿 D、第七次人口普查时，我国总人口性别比最低

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4. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的一条渐近线与直线 $2 x + y + 3 = 0$ 垂直，则该双曲线的离心率是（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $\sqrt{5}$

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5. 为了给地球减负，提高资源利用率，2020年全国掀起了垃圾分类的热潮，垃圾分类已经成为新时尚．假设某市2020年全年用于垃圾分类的资金为2000万元，在此基础上，以后每年投入的资金比上一年增长20%，则该市全年用于垃圾分类的资金开始超过1亿元的年份是（参考数据： $l n 6 \approx 1.79$ ， $l n 5 \approx 1.61$ ）（）

A、2030年 B、2029年 C、2028年 D、2027年

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6. 二项式 $(1 + 3 x) (1 - 2 x)^{5}$ 的展开式中的 $x^{4}$ 项的系数为（）

A、240 B、80 C、-160 D、-80

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7. 某几何组合体的三视图如图所示，则该几何组合体的体积为（）

A、 $8 π + 8$ B、 $8 π + 4$ C、 $2 π + 8$ D、 $2 π + 4$

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8. 设等比数列 ${a_{n}}$ 的公比为q， $b_{n} = a_{n}^{2}$ ，则“ $q > 1$ ”是“ ${b_{n}}$ 为递增数列”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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9. 若 $s i n (α - \frac{π}{12}) + c o s (α - \frac{π}{12}) = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ ，则 $c o s (2 α + \frac{π}{3}) =$ （）

A、 $- \frac{7}{9}$ B、 $\frac{7}{9}$ C、 $- \frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{3}$

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10. 长方体的长，宽，高之比为 $3 ： 2 ： 1$ ，它的外接球的表面积为 $7 π$ ，则此长方体的表面积为（）

A、7 B、11 C、14 D、22

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11. 已知函数 $f (x) = 2 s i n (ω x + φ) (ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ ，其图象与直线 $y = 1$ 的相邻两个交点的距离分别为 $\frac{π}{3}$ 和 $\frac{2 π}{3}$ ，若将函数 $f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度得到的函数 $g (x)$ 为奇函数，则 $ϕ$ 的值为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $- \frac{π}{6}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $- \frac{π}{3}$

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12. 已知 $a > 0$ ，不等式 $x e^{x} - x^{a} l n x^{a} \geq 0$ 对任意的实数 $x > 1$ 恒成立，则实数a的最大值为（）

A、 $\frac{1}{2 e}$ B、 $2 e$ C、 $\frac{1}{e}$ D、e

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二、填空题

13. 若实数x，y满足约束条件 ${\begin{array}{l} x - y \leq 4 ， \\ x + y \geq 2 ， \\ y \geq 1 ， \end{array}$ 则 $z = 2 x - 3 y$ 的最大值为.

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14. 已知向量 $\vec{a} = (1 ， m) ， \vec{b} = (n ， 2) ， n < 0$ ，若 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ ， $\vec{a} \cdot \vec{b} = - 4$ ，则 $m + n =$ .

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15. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知抛物线 $C ： y^{2} = 4 x$ 的焦点为 $F$ ，过点 $F$ 的直线 $l$ 与抛物线 $C$ 交于 $P$ ， $Q$ 两点，若 $\vec{F P} + 2 \vec{F Q} = 0$ ，则 $△ O P Q$ 的面积为．

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16. 如图，无人机在离地面的高 $A E = 200 m$ 的A处，观测到山顶M处的仰角为 $30 °$ ，山脚C处的俯角为 $45 °$ ，已知 $∠ M C N = 60 °$ ，则山的高度 $M N$ 为.

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三、解答题

17. 已知数列 ${a_{n}}$ 的各项均为正数，记 $S_{n}$ 为 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，____.从下面①②两个条件中任选一个，补充在上面的题目中，再解答下列问题.
① ${a_{n}}$ 是等比数列且 $a_{7} = a_{6} + 2 a_{5}$ ， $a_{3} = 8$ ；② $S_{n} = 2 a_{n} - 2$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $a_{2 n} b_{n} = 4$ ，记 $T_{n}$ 为 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和，证明： $T_{n} < \frac{4}{3}$ .

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18. 印刷行业的印刷任务是由印张数（单位：千张）来衡量的.某印刷企业有甲，乙两种印刷设备，每年的各单印刷任务在180~240千张；当一单任务的印张数不大于210千张时，由甲种印刷设备来完成，当一单任务的印张数大于210千张时，由乙种印刷设备来完成.资料显示1000单印制任务的印张数的频率分布直方图如图所示，现有4单印刷任务，印张数未知，只知道印张数在180~240千张，以相关印张数的频率视为相应事件发生的概率.

(1)、求a的值，并求这1000单印刷任务的印张数（单位：千张）的中位数；

(2)、用X､Y分别表示这4单印刷任务中由甲､乙两个印刷设备来完成的个数，记 $ξ = | X - Y |$ ，求随机变量 $ξ$ 的分布列与数学期望.

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19. 如图所示的四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为正方形，平面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D$ ， O､M，E分别是 $A D$ ､ $P C$ ， $B C$ 的中点， $P A = P D ， P O = A D = 2$ .

(1)、若点N在直线 $A D$ 上，求证： $M N ⊥ P E$ ；

(2)、求二面角 $A - P B - D$ 的余弦值.

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20. 设椭圆 $E ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 过 $M (1 ， \frac{\sqrt{3}}{2})$ ， $N (\sqrt{3} ， \frac{1}{2})$ 两点， $O$ 为坐标原点．

(1)、求椭圆 $E$ 的方程；

(2)、是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆 $E$ 恒有两个交点 $A$ ， $B$ ，且 $\vec{O A} ⊥ \vec{O B}$ ？若存在，写出该圆的方程，并求 $| A B |$ 的取值范围；若不存在，说明理由．

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21. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - a x ， a \in R$ .

(1)、求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、令 $a = 1$ ，记函数 $f (x)$ 图象上的极大值和极小值对应的点分别为M，N， $P (m ， f (m))$ 为位于M､N（不含M，N）之间的动点，若线段 $M P$ 与函 $f (x)$ 的图象存在异于M､P的公共点，求m的取值范围.

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22. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $l_{1}$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = t \\ y = k (t - 1) \end{array}$ （ $t$ 为参数），直线 $l_{2}$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = m - 1 \\ y = \frac{- m}{k} \end{array}$ （ $m$ 为参数）．若直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 的交点为 $A$ ，当 $k$ 变化时，点 $A$ 的轨迹是曲线 $C$ ．

(1)、求曲线 $C$ 的普通方程；

(2)、以坐标原点 $O$ 为极点， $x$ 轴正半轴为极轴，且取相同的单位长度建立极坐标系，直线 $l ： ρ s i n (θ + \frac{π}{4}) = \sqrt{2}$ ，已知点 $P$ 是曲线 $C$ 上的动点，求点 $P$ 到直线 $l$ 的最小值．

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23. 已知函数 $f (x) = | 2 x - 1 | - | x + 1 |$ ．

(1)、解不等式 $f (x) > 0$ ；

(2)、若不等式 $a^{2} - 2 | a | + | x + 1 | \leq f (x)$ 的解集非空，求实数 $a$ 的取值范围．

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