广西桂林市2022届高三上学期理数校本模拟考试试卷

试卷更新日期：2022-02-22 类型：高考模拟

进入出卷网下载

一、单选题

1. 设 $A = {x | x^{2} + 2 x - 3 > 0}$ ， $B = {- 1 ， 0 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6}$ ，则 $A ∩ B =$ （）．

A、 ${2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6}$ B、 ${3 ， 4 ， 5 ， 6}$ C、{6} D、2，3，4，5，6

查看试题解析
2. 已知 $i$ 为虚数单位，复数 $(a^{2} - a - 2) + (a + 1) i$ 是纯虚数，则实数a的值为（）

A、1或2 B、2 C、-1或2 D、1

查看试题解析
3. 将一个质地均匀的正方体骰子（每个面上分别写有数字1，2，3，4，5，6）先后抛掷2次，观察向上的点数，则2次抛掷的点数之积是12的概率是（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{6}$ C、 $\frac{1}{9}$ D、 $\frac{1}{12}$

查看试题解析
4. 航天之父､俄罗斯科学家齐奥科夫斯基（K.E.Tsiolkovsky）于1903年给出火箭最大速度的计算公式 $v = V_{0} \ln (1 + \frac{M}{m_{0}})$ .其中， $V_{0}$ 是燃料相对于火箭的喷射速度， $M$ 是燃料的质量， $m_{0}$ 是火箭（除去燃料）的质量，v是火箭将燃料喷射完之后达到的速度.已知 $V_{0} = 2 km / s$ ，则当火箭的最大速度 $v$ 可达到 $10 km / s$ 时，火箭的总质量（含燃料）至少是火箭（除去燃料）的质量的（）倍.

A、 $e^{5}$ B、 $e^{5} - 1$ C、 $e^{6}$ D、 $e^{6} - 1$

查看试题解析
5. 在 $△ A B C$ 中，“ $A < B$ ”是“ $A - B < \cos B - \cos A$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

查看试题解析
6. 设 $f (x)$ 是函数 $f (x)$ 的导函数，若 $f (x) > 0$ ，且对 $\forall x_{1} ， x_{2} \in R$ ，且 $x_{1} \neq x_{2}$ 总有 $\frac{f (x_{1}) + f (x_{2})}{2} < f (\frac{x_{1} + x_{2}}{2})$ ，则下列选项正确的是（）

A、 $f (π) < f (e) < f (2)$ B、 $f (2) < f (e) < f (π)$ C、 $f (1) < f (2) - f (1) < f (2)$ D、 $f (2) < f (2) - f (1) < f (1)$

查看试题解析
7. 抛物线 $y^{2} = 4 x$ 的焦点为F，A，B是抛物线上两点，且 $| \vec{A F} | = 2 | \vec{B F} |$ ，且 $A B$ 中点到准线的距离为3，则线段 $A F$ 的中点到准线的距离为（）

A、1 B、2 C、 $\frac{5}{2}$ D、3

查看试题解析
8. 已知点 $P$ 在椭圆 $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 上运动，点 $Q$ 在圆 $(x - 1)^{2} + y^{2} = \frac{5}{8}$ 上运动，则 $| P Q |$ 的最小值为（）

A、2 B、 $\frac{\sqrt{10}}{2}$ C、 $2 - \frac{\sqrt{10}}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{10}}{4}$

查看试题解析
9. 已知 $a = (2 ， 1 ， - 3)$ ， $b = (- 1 ， 2 ， 3)$ ， $c = (7 ， 6 ， λ)$ ，若 $a$ ， $b$ ， $c$ 共面，则λ等于（）

A、-3 B、3 C、-9 D、9

查看试题解析
10. 已知直线 $l$ 的方向向量是 $\vec{a} = (3 ， 2 ， 1)$ ，平面 $α$ 的法向量是 $\vec{u} = (- 1 ， 2 ， - 1)$ ，则 $l$ 与 $α$ 的位置关系是（）

A、 $l ⊥ α$ B、 $l / / α$ C、 $l$ 与 $α$ 相交但不垂直 D、 $l / / α$ 或 $l \subset α$

查看试题解析
11. 我国古代数学名著《算法统宗》是明代数学家程大位（1533-1606年）所著．程少年时，读书极为广博，对书法和数学颇感兴趣.20岁起便在长江中下游一带经商，因商业计算的需要，他随时留心数学，遍访名师，搜集很多数学书籍，刻苦钻研，时有心得，终于在他60岁时，完成了《算法统宗》这本著作．该书中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？"根据诗词的意思，可得塔的最底层共有灯（）

A、192盏 B、128盏 C、3盏 D、1盏

查看试题解析
12. 如图，四边形ABCD是平行四边形，E是BC的中点，点F在线段CD上，且 $C F = 2 D F$ ， AE与BF交于点P，若 $\vec{A P} = λ \vec{A E}$ ，则 $λ =$ （）

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $\frac{5}{8}$ C、 $\frac{3}{8}$ D、 $\frac{2}{3}$

查看试题解析

二、填空题

13. 已知函数 $f (x) = a x^{2}$ 与 $g (x) = l n x$ 的图象在公共点处有共同的切线，则实数 $a$ 的值为．

查看试题解析
14. 直线 $y = x - 1$ 过抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点F，且与C交于A，B两点，则 $| A B | =$ .

查看试题解析
15. 函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x - 4 x^{2} ， x > 0 ， \\ 2^{x - 1} + 1 ， x \leq 0 \end{array}$ 的值域为.

查看试题解析
16. 在一次去敬老院爱心活动中，甲、乙、丙、丁、戊5位同学参加，若将这五位同学分到三个不同的敬老院，且每个敬老院至少一名同学，则共有种不同的安排方法；若除这5位同学外还有一名带队老师参加这次活动，在活动中同学比老师先到，老师想知道他们到的先后顺序，甲说乙不是最早的，乙说甲不是最晚的，丙说他比乙先到.若他们说的都为实话，5人可能到的先后顺序的不同情况种数为种．

查看试题解析

三、解答题

17. 在 $△ A B C$ 中，已知 $A B = 3$ ， $A C = 5$ ， $A = \frac{2 π}{3}$ .

(1)、求 $B C$ ；

(2)、若点D在边 $B C$ 上，且满足 $A D = B D$ ，求 $\sin ∠ D A C$ .

查看试题解析
18. “五项管理”是“双减”工作的一项具体抓手，是促进学生身心健康､解决群众急难愁盼问题的重要举措．为了在“控量”的同时力求“增效”，提高作业质量，某学校计划设计差异化作业．因此该校对初三年级的400名学生每天完成作业所用时间进行统计，部分数据如下表：

男生
女生
总计
90分钟以上
80
x
180
90分钟以下
y
z
220
总计
160
240
400
附： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ．
$P (K^{2} \geq k)$
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828

(1)、求x，y，z的值，并根据题中的列联表，判断是否有95％的把握认为完成作业所需时间在90分钟以上与性别有关？

(2)、学校从完成作业所需时间在90分钟以上的学生中用分层抽样的方法抽取9人了解情况，甲老师再从这9人中选取3人进行访谈，求甲老师选取的3人中男生人数大于女生人数的概率．

查看试题解析
19. 等差数列 ${a_{n}}$ ， $S_{11} = - 11$ ，公差 $d = - 3$ ；

(1)、求通项公式和前 $n$ 项和公式；

(2)、当 $n$ 取何值时，前 $n$ 项和最大，最大值是多少.

查看试题解析
20. 在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是矩形， $P A ⊥$ 平面ABCD， $P A = A D = 4$ ， AB=2，线段 $A C$ 的中点为 $O$ ，点 $M$ 为PD上的点，且 $M O = \frac{1}{2} A C$ ．

(1)、求证：平面ABM⊥平面PCD；

(2)、求二面角 $B - A M - C$ 平面角的余弦值．

查看试题解析
21. 作斜率为 $- 1$ 的直线l与抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x$ 交于 $A ， B$ 两点（如图所示），点 $P (1 ， 2)$ 在抛物线C上且在直线l上方．

（Ⅰ）求C的方程并证明．直线 $P A$ 和 $P B$ 的倾斜角互补．

（Ⅱ）若直线 $P A$ 的倾斜角为 $θ (\frac{π}{4} < θ < \frac{π}{2})$ ，求 $△ P A B$ 的面积的最大值.

查看试题解析
22. 设函数 $f (x) = a^{x} - x^{a} (x > 0 ， a > 1)$ .

(1)、证明： $\forall x \in (0 ， + \infty)$ ，都有 $l n x < \sqrt{x}$ ；

(2)、若函数 $f (x)$ 有且只有一个零点，求 $f (x)$ 的极值.

查看试题解析

	男生	女生	总计
90分钟以上	80	x	180
90分钟以下	y	z	220
总计	160	240	400

$P (K^{2} \geq k)$	0.050	0.010	0.001
k	3.841	6.635	10.828