广西15所名校大联考2022届高三理数高考精准备考原创模拟卷（一）

试卷更新日期：2022-02-22 类型：高考模拟

进入出卷网下载

一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | x^{2} - 5 x + 4 < 0} ， B = {x | 1 < x \leq 5}$ ，则 $∁_{B} A =$ （）

A、 ${x | 1 < x < 4}$ B、 ${x | 1 < x < 5}$ C、 ${x | 4 < x < 5}$ D、 ${x | 4 \leq x \leq 5}$

查看试题解析
2. 若复数z满足 $z (1 + 2 i) = 2 i - (1 + i)^{3}$ ，则 $z =$ （）

A、 $\frac{2}{5} + \frac{4}{5} i$ B、 $\frac{2}{5} - \frac{4}{5} i$ C、 $- \frac{2}{5} + \frac{4}{5} i$ D、 $- \frac{2}{5} - \frac{4}{5} i$

查看试题解析
3. 《九章算术》是我国古代内容极其丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委菽依组内角，下周三丈，高七尺，问积及为菽几何？”其意思为：“靠墙壁堆放大豆成半圆锥形，大豆堆底面的弧长为3丈，高为7尺，问大豆堆体积和堆放的大豆有多少斛？”已知1斛大豆=243立方尺，1丈=10尺，圆周率约为3，估算出堆放的大豆有（）

A、140斛 B、142斛 C、144斛 D、146斛

查看试题解析
4. 甲､乙去同一家药店购买一种医用外科口罩，已知这家药店出售A，B，C三种医用外科口罩，甲､乙购买A，B，C三种医用口罩的概率分别如下：

购买A种医用口罩
购买B种医用口罩
购买C种医用口罩
甲
0.2
0.4
乙
0.3
0.3
则甲､乙购买的是同一种医用外科口罩的概率为（）

A、0.44 B、0.40 C、0.36 D、0.32

查看试题解析
5. 已知 $a = l o g_{4} 3 ， b = l o g_{3} 2 ， c = {(\frac{3}{2})}^{- 1}$ ，则（）

A、 $a < c < b$ B、 $b < a < c$ C、 $b < c < a$ D、 $a < b < c$

查看试题解析
6. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，点 $M (1 ， 4) ， N (m ， n) (m > 0 ， n > 0)$ ，且 $∠ M O N = \frac{π}{4}$ ，则 $\frac{n}{m} =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $\frac{3}{5}$

查看试题解析
7. 过圆 $x^{2} + y^{2} = 1$ 上一点A作圆 $(x - 4)^{2} + y^{2} = 4$ 的切线，切点为B，则 $| A B |$ 的最小值为（）

A、2 B、 $\sqrt{5}$ C、 $\sqrt{6}$ D、 $\sqrt{7}$

查看试题解析
8. $(x^{2} - 2 x - 1) {(x - \frac{2}{x})}^{6}$ 的展开式中 $x^{4}$ 的系数为（）

A、72 B、60 C、48 D、36

查看试题解析
9. 设函数 $f (x) = 2 c o s (ω x + φ) (ω > 0 ， 0 < φ < π)$ 的部分图象如图所示，则 $f (x)$ 的一条对称轴为（）

A、 $x = - \frac{π}{6}$ B、 $x = \frac{π}{6}$ C、 $x = \frac{5 π}{12}$ D、 $x = \frac{7 π}{24}$

查看试题解析
10. 已知A，B为双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左､右顶点，D为C上一点，且 $∠ A D B = ∠ D A B = 30 °$ ，则C的离心率为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\sqrt{2}$ C、2 D、 $\sqrt{5}$

查看试题解析
11. 某圆柱的高为2，其正视图如图所示，圆柱上下底面圆周及侧面上的点A，B，D，F，C在正视图中分别对应点A，B，E，F，C，且 $A F = 4 E F ， C F = B C$ ，异面直线 $A B ， C D$ 所成角的余弦值为 $\frac{3}{5}$ ，则该圆柱的外接球的表面积为（）

A、20π B、16π C、12π D、10π

查看试题解析
12. 已知 $f (x)$ 是定义在R上的偶函数，其导函数为 $f (x) ， f (- 1) = 4$ ，且 $3 f (x) + x f (x) > 3$ ，则不等式 $f (x) < 1 + \frac{3}{x^{3}}$ 的解集为（）

A、 $(- \infty ， - 1) \cup (1 ， + \infty)$ B、 $(- 1 ， 0) ∪ (0 ， 1)$ C、 $(0 ， 1)$ D、 $(1 ， + \infty)$

查看试题解析

二、填空题

13. 已知x，y满足约束条件 ${\begin{array}{l} x + y - 2 \leq 0 ， \\ x + 2 y - 2 \geq 0 \\ x + 4 \geq 0 ， \end{array}$ ，则 $z = - x + 3 y$ 的最大值为.

查看试题解析
14. 已知平面向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = \sqrt{2} ， (2 \vec{a} - \vec{b}) ⊥ \vec{b} ， | \vec{a} + \vec{b} | = 2$ ，则 $| \vec{b} | =$ .

查看试题解析
15. 已知抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为F，点A，B分别在C及其准线l上， $△ A B F$ 是面积为 $9 \sqrt{3}$ 的正三角形，则 $p =$ .

查看试题解析
16. 设 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 $a = 2 ， 6 c o s B = b (1 - 3 c o s A)$ ，则 $△ A B C$ 的面积的最大值为.

查看试题解析

三、解答题

17. 已知各项均为正数的数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1 ， a_{n + 1}^{2} - 2 a_{n}^{2} = a_{n} a_{n + 1}$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $a_{n} ， b_{n} ， n a_{n}$ 成等差数列，求数列 ${b_{n}}$ 的前n项和 $S_{n}$ .

查看试题解析
18. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，平面 $P C D ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $A B C D$ 是平行四边形， $A B = 2 A D = 2 ， ∠ A B C = 60 ° ， △ P C D$ 为等边三角形，点E为 $C D$ 的中点，点F为 $A D$ 的中点.

(1)、证明： $P D = P A$ ；

(2)、求直线 $E F$ 与平面 $P A B$ 所成角的正弦值.

查看试题解析
19. 某农业大学的学生利用专业技能指导葡萄种植大户，对葡萄实施科学化､精细化管理，使得葡萄产量有较大提高.葡萄采摘后去掉残次品后，随机按每10串装箱，现从中随机抽取5箱，称得每串葡萄的质量（单位： $k g$ ），将称量结果分成5组： $[1.0 ， 1.2) ， [1.2 ， 1 ， 4) ， [1.4 ， 1.6) ， [1.6 ， 1.8) ， [1.8 ， 2.0]$ ，并绘制出如图所示的频率分布直方图.

(1)、求a的值，并估计这批葡萄每串葡萄质量的平均值 $x$ （残次品除外，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值代表）；

(2)、若这批葡萄每串葡萄的质量X服从正态分布 $N (μ ， 0.04)$ ，其中 $μ$ 的近似值为每串葡萄质量的平均值 $x$ ，请估计10000箱葡萄中质量位于 $(1.124 ， 1.724)$ 内葡萄的串数；

(3)、规定这批葡萄中一串葡萄的质量超过 $1.8 k g$ 的为优等品，视频率为概率，随机打开一箱，记优等品的串数为 $ξ$ ，求 $ξ$ 的数学期望.
附：若随机变量 $X \sim N (μ ， δ^{2})$ ，则 $P (μ - δ < X \leq μ + δ) = 0.6826 ， P (μ - 2 δ < X \leq μ + 2 δ) = 0.9544$ .

查看试题解析
20. 已知椭圆 $E ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ ， A，B是E的上，下顶点， $F_{1} ， F_{2}$ 是E的左､右焦点，且四边形 $A F_{1} B F_{2}$ 的面积为 $4 \sqrt{2}$ .

(1)、求椭圆E的标准方程；

(2)、若P，Q是E上异于A，B的两动点，且 $\frac{k_{Q B}}{k_{P A}} = - 2$ ，证明：直线 $P Q$ 恒过定点.

查看试题解析
21. 已知函数 $f (x) = \frac{x^{2}}{2} + a l n x + a$ .

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若 $\exists x \in [1 ， 2]$ ，使得不等式 $f (x) \geq (a + 1) x$ 成立，求a的取值范围.

查看试题解析
22. 在直角坐标系 $x O y$ 中，已知曲线 $C_{1}$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = 3 t - 2 ， \\ y = 4 - 3 t \end{array}$ （t为参数）.以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C_{2}$ 的极坐标方程为 $ρ [ρ + 2 \sqrt{2} s i n (θ + \frac{π}{4})] = 7$ .

(1)、求曲线 $C_{1}$ 的普通方程与曲线 $C_{2}$ 的直角坐标方程；

(2)、已知点 $P (2 ， 0)$ ，曲线 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 交于A，B两点，求 $\frac{1}{| P A |} + \frac{1}{| P B |}$ 的值.

查看试题解析
23. 已知函数 $f (x) = 3 | x - 1 | + 2 | x - a |$ .

(1)、当 $a = - 1$ 时，求不等式 $f (x) \geq 8$ 的解集；

(2)、若不等式 $f (x) \leq | 3 x + 3 |$ 的解集包含 $[1 ， 2]$ ，求实数a的取值范围.

查看试题解析

	购买A种医用口罩	购买B种医用口罩	购买C种医用口罩
甲		0.2	0.4
乙	0.3		0.3