广东省潮汕地区精英名校2022届高三数学第一次联考试卷

试卷更新日期：2022-02-21 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {0 ， 2 ， 3}$ ， $B = {2 ， m}$ ，若 $A ∩ B$ 中元素之和与 $A ∪ B$ 中元素之和相等，则m的所有可能取值构成的集合为（）．

A、 ${- 3 ， 1}$ B、 ${- 3 ， 3}$ C、 ${- 3 ， 0 ， 1}$ D、 ${- 3 ， 0 ， 3}$

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2. 如图是网络上流行的表情包，其利用了“可倒”和“可导”的谐音生动形象地说明了高等数学中“连续”和“可导”两个概念之间的关系．根据该表情包的说法， $f (x)$ 在 $x = x_{0}$ 处连续是 $f (x)$ 在 $x = x_{0}$ 处可导的（）．

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 复数 $z_{1} = a + b i$ 在复平面内对应的点为 $Z_{1}$ ，将点 $Z_{1}$ 绕坐标原点逆时针旋转一定的角度 $θ$ ，得到点 $Z_{2}$ ， $Z_{2}$ 对应的复数为 $z_{2}$ ，则 $z_{2} =$ （）．

A、 $b c o s θ + a s i n θ + (a c o s θ - b s i n θ) i$ B、 $b c o s θ + a s i n θ - (a c o s θ - b s i n θ) i$ C、 $a c o s θ - b s i n θ + (b c o s θ + a s i n θ) i$ D、 $a c o s θ - b s i n θ - (b c o s θ + a s i n θ) i$

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4. 小说《三体》中的“水滴”是三体文明派往太阳系的探测器，由强相互作用力材料制成，被形容为“像一滴圣母的眼泪”．小刘是《三体》的忠实读者，他利用几何作图软件画出了他心目中的水滴（如图），由线段AB，AC和优弧BC围成，其中BC连线竖直，AB，AC与圆弧相切，已知“水滴”的水平宽度与竖直高度之比为 $\frac{7}{4}$ ，则 $c o s ∠ B A C =$ （）．

A、 $\frac{17}{25}$ B、 $\frac{4 \sqrt{3}}{7}$ C、 $\frac{4}{5}$ D、 $\frac{5}{7}$

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5. 让·巴普蒂斯·约瑟夫·傅里叶，法国欧塞尔人，著名数学家、物理学家．他发现任何周期函数都可以用正弦函数和余弦函数构成的无穷级数来表示，如定义在R上的偶函数 $f (x) = \frac{π^{2}}{3} + 4 \sum_{n = 1}^{+ \infty} \frac{{(- 1)}^{n}}{n^{2}} c o s n x$ 满足 $f (2 π - x) = f (x)$ ，且当 $x \in [0 ， π]$ 时，有 $f (x) = x^{2}$ ，已知函数 $g (x) = f (x) - a (x + π)$ 有且仅有三个零点，则a的取值范围是（）

A、 $(- \frac{π}{2} ， - \frac{π}{4}) ∪ (\frac{π}{4} ， \frac{π}{2})$ B、 $(- \frac{π}{4} ， \frac{π}{4})$ C、 $(- \frac{π}{3} ， - \frac{π}{6}) ∪ (\frac{π}{6} ， \frac{π}{3})$ D、 $(- \frac{π}{6} ， \frac{π}{6})$

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6. 实数x，y满足 $x^{2} + 2 x y + 2 y^{2} = 1$ ，若 $x + \sqrt{2} y \leq k$ 恒成立，则整数k的最小值为（）．

A、1 B、2 C、3 D、4

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7. 定义在 $R$ 上的函数序列 ${f_{n} (x)}$ 满足 $f_{n} (x) < \frac{1}{n} {f_{n}}^{^{'}} (x)$ （ ${f_{n}}^{^{'}} (x)$ 为 $f_{n} (x)$ 的导函数），且 $\forall x \in N^{*}$ ，都有 $f_{n} (0) = n$ ．若存在 $x_{0} > 0$ ，使得数列 ${f_{n} (x_{0})}$ 是首项和公比均为 $q$ 的等比数列，则下列关系式一定成立的是（）．

A、 $0 < q < 2 \sqrt{2} e^{x_{0}}$ B、 $0 < q < \sqrt[3]{3} e^{x_{0}}$ C、 $q > 2 \sqrt{2} e^{x_{0}}$ D、 $q > \sqrt[3]{3} e^{x_{0}}$

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8. 如图，已知 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别为椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点，P为椭圆C上一点，以点P为圆心， $P F_{2}$ 为半径的圆交y轴于A，B两点．若 $| A B |$ 的最大值为 $2 \sqrt{2} a$ ，则C的离心率为（）．

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\sqrt{2} - 1$ D、 $\sqrt{3} - 1$

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二、多选题

9. 小陈为学校动漫社制作了宣传片，邀请全班同学进行观看并给出评分（0-10分）．由于小陈不太好意思直接询问同学意见，因此他制作了包含如下两个问题的调查问卷：
①你的学号是否为奇数；②你对视频的评分是否在5分以上（含5分）．每位同学完成问卷后不需要填写答案，只需要填写回答“是”的个数．最后经统计，有40％的同学回答了两个“是”，则下列说法正确的有（）．

A、全班约有60％的同学对视频的评分在5分以上 B、全班约有80％的同学对视频的评分在5分以上 C、记全班同学评分的均值为 $x$ ，则可估计 $x$ 在4到9分之间 D、记全班同学评分的均值为 $x$ ，则可估计 $x$ 在3到8分之间

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10. 已知 $α ， β ， γ \in R$ 且满足 $s i n (α + β)$ ， $s i n (β + γ)$ ， $s i n (γ + α)$ 成等差数列，则下列说法正确的有（）．

A、若 $α = \frac{π}{2}$ ，则 $c o s \frac{β - γ}{2} = 2 s i n \frac{β + γ}{2}$ B、若 $α$ ， $β$ ， $γ$ 为三角形的三个内角，且该三角形为等腰三角形，则该三角形必为等边三角形 C、若 $α$ ， $β$ ， $γ$ 中有且仅有两个数相等，则 $s i n α$ ， $s i n β$ ， $s i n γ$ 中有且仅有两个数相等 D、若 $α ， β ， γ \in Z$ ，且 $s i n (α + β)$ ， $s i n (β + γ)$ ， $s i n (γ + α)$ 成等比数列，则 $| α + β + γ | \geq 3$

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11. 对于一组数据 $(x_{i} ， y_{i}) (i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n)$ ，我们记 $l_{i} = \frac{(x - x_{1}) (x - x_{2}) ⋯ (x - x_{i - 1}) (x - x_{i + 1}) ⋯ (x - x_{n})}{(x_{i} - x_{1}) (x_{i} - x_{2}) ⋯ (x_{i} - x_{i - 1}) (x_{i} - x_{i + 1}) ⋯ (x_{i} - x_{n})}$ ，并称 $f (x) = l_{1} y_{1} + l_{2} y_{2} + ⋯ + l_{n} y_{n}$ 为这组数据的拉格朗日插值多项式．下列说法正确的有（）．

A、对于数据 $(1 ， 2)$ ， $(0 ， 3)$ ， $(2 ， 3)$ ，其拉格朗日插值多项式为 $f (x) = x^{2} - 2 x + 3$ B、对于任意一组数据 $(x_{y} ， y_{i}) (i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n)$ ，点 $(x_{i} ， y_{i})$ 都在曲线 $y = f (x)$ 上 C、对于任意一组数据 $(x_{i} ， y_{i}) (i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n)$ ，点 $(x_{i} ， y_{i})$ 都大致分布在曲线 $y = f (x)$ 两侧 D、若点 $(x_{i} ， y_{i}) (i = 1 ， 2 ， ⋯ ， n)$ 共线，则 $y = f (x)$ 一定为一条直线

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12. 已知集合E是由平面向量组成的集合，若对任意 $\vec{a} ， \vec{b} \in E$ ， $t \in (0 ， 1)$ ，均有 $t a + (1 - t) b \in E$ ，则称集合E是“凸”的，则下列集合中是“凸”的有（）．

A、 ${(x ， y) | y \geq e^{x}}$ B、 ${(x ， y) | y \geq l n x}$ C、 ${(x ， y) | x + 2 y - 1 \geq 0}$ D、 ${(x ， y) | x^{2} + y^{2} \leq 1}$

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三、填空题

13. 我国著名数学家陈景润证明了“1+2”，即任意充分大的偶数都能表示为一个素数与一个殆素数之和，其中殆素数指的是能分解成两个素数之积的数．现在1到10的自然数中任取两个数，恰为一个素数与一个殆素数的概率为．

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14. 已知点O是正三棱锥 $P - A B C$ 内切球的球心，记三棱锥 $P - A B C$ 的体积为 $V_{1}$ ， $△ P O A$ 绕直线PO旋转一周所得几何体的体积为 $V_{2}$ ，若三棱锥 $P - A B C$ 的表面积为12，则 $\frac{V_{2}}{V_{1}}$ 的取值范围是．

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15. 已知 $⌈ x ⌉$ 表示不小于x的最小整数， $⌊ x ⌋$ 表示不大于x的最大整数，如 $⌈ 1.6 ⌉ = 2$ ， $⌊ 3.1 ⌋ = 3$ ，数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = \frac{1}{2}$ ，且对 $\forall n \in N^{*}$ ，有 $a_{n + 1} = ⌊ ⌈ a_{n} ⌉ + a_{n} ⌋ + b$ ，若 ${a_{n}}$ 为递增数列，则整数b的最小值为．

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16. 如图，在边长为2的正方形ABCD中，M，N分别为边BC，CD上的动点，以MN为边作等边 $△ P M N$ ，使得点A，P位于直线MN的两侧，则 $\vec{P N} \cdot \vec{P B}$ 的最小值为．

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四、解答题

17. 如图，在 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知 $c o s A = \frac{8}{9}$ ， $a = \sqrt{2}$ ， $△ A B C$ 的面积为 $\frac{\sqrt{17}}{2}$ ．

(1)、求b，c．

(2)、O为边AC上一点，过点A作 $A D ∥ B C$ 交BO延长线于点D，若 $△ A O D$ 的面积为 $\frac{2 \sqrt{17}}{3}$ ，求 $c o s D$ ．

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18. 某校计划举行高二年级辩论赛，辩论赛的选拔流程如下：
A．初选：学生自愿报名，在三分钟内进行即兴演讲，演讲结束后由四名老师进行打分，得分最高的三十二个人进入二选；
B．二选：通过初选的学生被给予五个演讲题目，学生上台前由老师在五个题目中随机抽取一个并公布，通过二选的学生即成为辩论赛队伍的一员．
一向对辩论感兴趣的小明报名参加了辩论赛．

(1)、由于报名参加初选的学生较多，为节省时间，语文组决定，老师可以在学生的演讲开始一分钟或两分钟时叫停并直接打分，如两次均未叫停，则由学生演讲至结束．已知各位老师是否叫停互相独立，且只要有一名老师叫停学生演讲即结束，小明准备的演讲时长恰为三分钟，且每次被每位老师叫停的概率均为 $\frac{1}{2}$ ，求小明最终演讲时间为2分钟的概率；

(2)、二选最终选出二十名学生组成四支辩论队．为保证队伍之间实力的均衡性，语文组根据二选得分将二十名学生进行排序，按如下规则进行分配：第一次将1-4名的学生分别分配到四支队伍，第二次分配5-8名的学生，以此类推进行五次分配．
①记分配方法总数为n，估算 $l n n$ 的值（精确到小数点后1位，参考数据： $l n 2 \approx 0.693$ ， $l n 3 \approx 1.099$ ）
②已知小明和同班的两名同学都通过了二选，且分属三个不同的名次段，记小明队中来自小明班级的人数为X，求X的分布列和数学期望．

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19. 如图，在圆锥 $O O$ 中， $A B$ 为底面圆的直径， $C ， D$ 为底面圆上两点，且四边形 $A C O D$ 为平行四边形，过点 $O$ 作 $E F / / C D$ ，点 $P$ 为线段 $O B$ 上一点，且满足 $O P = 2 P B$ ．

(1)、证明： $C D ⊥$ 平面 $A O B$ ；

(2)、若圆锥 $O O$ 的侧面积为底面积的2倍，求二面角 $B - P F - E$ 的余弦值．

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20. 已知数列 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ ， ${b_{n}}$ 的前n项和为 $B_{n}$ ．

(1)、证明：当 $n \geq 2$ 时，有 $\sum_{i = 1}^{n} a_{i} b_{i} = \sum_{i = 1}^{n - 1} (a_{i} - a_{i + 1}) B_{i} + a_{n} B_{n}$ ．

(2)、已知 $x_{n} = n^{2}$ ，求数列 ${x_{n}}$ 的前n项和．

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21. 已知函数 $f (x) = (x^{2} + 1) e^{x} - a x (a \in R)$ ， $f (x)$ 为 $f (x)$ 的导函数．

(1)、若 $f (x)$ 只有一个零点，求a的取值范围；

(2)、当 $a = \frac{4}{e^{3}}$ 时，存在 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 满足 $f (x_{1}) = f (x_{2}) (x_{1} < x_{2} ， x_{2} \neq 0)$ ，证明： $| \frac{x_{1}}{x_{2}} | > 1$ ．

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22. 已知 $A (- 2 a ， 0)$ ， $B (- \frac{1}{2} a ， 0) (a > 0)$ ，点P满足 $\vec{B P} \cdot \vec{A B} = 2 | \vec{B P} | | \vec{A B} | - {| \vec{A B} |}^{2}$ ，点P的轨迹为曲线 $Γ$ ．

(1)、求 $Γ$ 的离心率；

(2)、点K为x轴上除原点外的一点，过点K作直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ ， $l_{1}$ 交 $Γ$ 于点C，D， $l_{2}$ 交 $Γ$ 于点E，F，M，N分别为CD，EF的中点，过点K作x轴的垂线交MN于点Q，设CD，EF，OQ的斜率分别为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ， $k_{3}$ ，求证： $k_{3} (k_{1} + k_{2})$ 为定值．

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