广东省2022届高三数学一轮复习质量检测试卷

试卷更新日期：2022-02-21 类型：高考模拟

进入出卷网下载

一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | 0 < x \leq 3}$ ， $B = {x | | 2 x - 1 | < 3}$ ，则 $A ∪ B =$ （）

A、 $[- 1 ， 3]$ B、 $(- 1 ， 3]$ C、 $(0 ， 2)$ D、 $[- 1 ， 3)$

查看试题解析
2. 已知 $z (2 - i) = 10 i$ ，则 $z =$ （）

A、 $- 2 + 4 i$ B、 $- 4 + 2 i$ C、 $- 2 - 4 i$ D、 $4 - 2 i$

查看试题解析
3. 已知向量 $a$ ， $b$ 满足 $| a | = 2$ ， $| b | = 3$ ， $a \cdot b = - 3$ ，则 $| a - b | =$ （）

A、5 B、7 C、 $\sqrt{13}$ D、 $\sqrt{19}$

查看试题解析
4. 函数 $f (x) = 2 s i n (2 x - \frac{π}{3})$ 的一个单调递减区间是（）

A、 $[\frac{5 π}{6} ， \frac{11 π}{6}]$ B、 $[\frac{π}{12} ， \frac{5 π}{12}]$ C、 $[\frac{5 π}{12} ， \frac{11 π}{12}]$ D、 $[\frac{π}{6} ， \frac{5 π}{6}]$

查看试题解析
5. 已知一个圆锥的体积为 $3 π$ ，其侧面积是底面积的2倍，则其底面半径为（）

A、 $2 \sqrt{3}$ B、3 C、 $\sqrt{3}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

查看试题解析
6. 声压级 $L_{p} = L_{W} - 10 l g (4 π r^{2})$ ，是一个表示声强大小的量，单位为dB（分贝），其中 $L_{W}$ 为特定的点声源的声功率级，是常量，r为测试点与点声源的距离（单位：米），当测试点从距离点声源2米处移到1米处时，声压级约增加了 $(l g 2 \approx 0.30 ， l g 3 \approx 0.48)$ （）

A、4dB B、6dB C、7dB D、9.6dB

查看试题解析
7. 在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A B = 2$ ， $B C = 1$ ，点D是线段AB上的动点﹐以D为圆心、AD长为半径的圆与线段BC有公共点，则半径AD的最小值为（）

A、 $4 \sqrt{3} - 6$ B、 $2 \sqrt{3} - 3$ C、1 D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

查看试题解析
8. 已知点 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别是椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点，点A是椭圆上一点，点О为坐标原点，若 $| O A | = | O F_{1} |$ ，直线 $F_{2} A$ 的斜率为-3，则椭圆C的离心率为（）

A、 $\frac{5}{8}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{4}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{10}}{4}$

查看试题解析

二、多选题

9. 某市教育局为了解双减政策的落实情况，随机在本市内抽取了A，B两所初级中学，在每一所学校中各随机抽取了200名学生，调查了他们课下做作业的时间，并根据调查结果绘制了如下频率分布直方图：
由直方图判断，以下说法正确的是（）

A、总体看，A校学生做作业平均时长小于B校学生做作业平均时长 B、B校所有学生做作业时长都要大于A校学生做作业时长 C、A校学生做作业时长的中位数大于B校学生做作业的中位数 D、B校学生做作业时长分布更接近正态分布

查看试题解析
10. 已知 $x^{2} + y^{2} = 1$ ， $x \in R$ ， $y \in R$ ，且 $x y \neq 0$ ，则（）

A、 $| x + y | \leq \sqrt{2}$ B、 $| x y | > \frac{1}{2}$ C、 $l o g_{2} | x | + l o g_{2} | y | \leq - 1$ D、 $\frac{1}{| x |} + \frac{1}{| y |} < 2$

查看试题解析
11. 已知甲盒中有1个白球和2个黑球，乙盒中有2个白球和3个黑球，从乙盒中随机抽取 $i (i = 1 ， 2)$ 个球放入甲盒中．放入i个球后，甲盒中含有黑球的个数记为 $x_{i} (i = 1 ， 2)$ ，现从甲盒中取1个球是黑球的概率记为 $P_{i} (i = 1 ， 2)$ ，则（）

A、 $P_{1} < P_{2}$ B、 $P_{1} > P_{2}$ C、 $E (x_{2}) < E (x_{1})$ D、 $E (x_{2}) > E (x_{1})$

查看试题解析
12. 在《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马，如图，四棱锥 $P - A B C D$ 为一个阳马，其中 $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $A E ⊥ P B$ ， $A F ⊥ P C$ ， $A M ⊥ P D$ ， $E ， F ， M$ 均为垂足，则（）

A、四棱锥 $P - A B C D$ 的外接球直径为 $P C$ B、三棱锥 $P - E F M$ 的外接球体积大于三棱锥 $A - E F M$ 的外接球体积 C、 $A ， B ， C ， D ， E ， F ， M$ 七点在同一个球面上 D、平面 $E F M ∥$ 平面 $A B C D$

查看试题解析

三、填空题

13. 若 $s i n θ + c o s θ = - \frac{3 \sqrt{5}}{5}$ ，则 $s i n 2 θ =$ ．

查看试题解析
14. 写出一个同时具有下列性质①②③的函数 $f (x)$ ：．
① $f (x_{1}) f (x_{2}) = f (x_{1} + x_{2})$ ；② $f (x) > 0$ ；③ $f (x) > f (x)$ ．

查看试题解析
15. 已知 $S_{n}$ 是数列 ${a_{n}}$ 的前n项和， $a_{1} = 1$ ， $a_{n} - a_{n + 1} = (n + 1) a_{n} \cdot a_{n + 1}$ ， $S_{n} < k$ 恒成立，则k最小为．

查看试题解析
16. 抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x$ 的焦点为 $F (\frac{1}{2} ， 0)$ ，则 $p =$ ，过F的直线l与C交于A，B两点，若线段AB中点的纵坐标为1，则 $| A B | =$ ．

查看试题解析

四、解答题

17. 下表是我国从2016年到2020年能源消费总量近似值y（单位：千万吨标准煤）的数据表格：
年份
2016
2017
2018
2019
2020
年份代号x
1
2
3
4
5
能源消费总量近似值y（单位：千万吨标准煤）
442
456
472
488
498
以x为解释变量，y为预报变量，若以 $y = b_{1} x + a_{1}$ 为回归方程，则相关指数 $R_{1}^{2} \approx 0.9946$ ，若以 $y = a_{2} + b_{2} l n x$ 为回归方程，则相关指数 $R_{2}^{2} \approx 0.9568$ ．
参考数据： $\sum_{i = 1}^{5} y_{i} = 2356$ ， $\sum_{i = 1}^{5} x_{i} y_{i} = 7212$ ．
参考公式：回归方程 $y = b x + a$ 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： $b = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - x) (y_{i} - y)}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - x)}^{2}} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n x y}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n x^{2}}$ ， $a = y - b x$ ．

(1)、判断 $y = b_{1} x + a_{1}$ 与 $y = a_{2} + b_{2} l n x$ 哪一个更适宜作为能源消费总量近似值y关于年份代号x的回归方程，并说明理由；

(2)、根据（1）的判断结果及表中数据，求出y关于年份代号x的回归方程．

查看试题解析
18. 在 $△ A B C$ 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 $c s i n B + \sqrt{3} b c o s C = 0$ ．

(1)、求角C；

(2)、若 $3 a = 5 b$ ，且 $△ A B C$ 的面积为 $15 \sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 的周长．

查看试题解析
19. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = \frac{1}{2}$ ， $2 a_{n + 1} = a_{n} + 1$ ．

(1)、证明：数列 ${a_{n} - 1}$ 是等比数列；

(2)、求数列 ${n a_{n}}$ 的前n项和 $T_{n}$ ．

查看试题解析
20. 如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为平行四边形， $A D ⊥ D P$ ， $A B = \sqrt{2} A D = 2$ ， $∠ B A D = 45 °$ ．

(1)、证明： $A D ⊥ P B$ ；

(2)、若 $△ P D C$ 为等边三角形，求二面角 $C - P A - D$ 的余弦值．

查看试题解析
21. 已知圆 $M ： {(x + 2)}^{2} + y^{2} = \frac{27}{4}$ 的圆心为M，圆 $N ： {(x - 2)}^{2} + y^{2} = \frac{3}{4}$ 的圆心为N，一动圆与圆N内切，与圆M外切，动圆的圆心E的轨迹为曲线C．

(1)、求曲线C的方程；

(2)、已知定点 $P (\frac{3}{2} ， 0)$ ，过点N的直线l与曲线C交于A，B两点，证明： $∠ A P N = ∠ B P N$ ．

查看试题解析
22. 已知函数 $f (x) = e^{x - 1} - a x^{2}$ ．

(1)、函数 $f' (x)$ 为 $f (x)$ 的导函数，讨论 $f' (x)$ 的单调性；

(2)、当 $a = 1$ 时，证明： $f (x)$ 存在唯一的极大值点 $x_{1}$ ，且 $\frac{1}{e} < f (x_{1}) < \frac{\sqrt{2}}{2}$ ．

查看试题解析

年份	2016	2017	2018	2019	2020
年份代号x	1	2	3	4	5
能源消费总量近似值y（单位：千万吨标准煤）	442	456	472	488	498