安徽省马鞍山市2021-2022学年高三上学期理数一模试卷

试卷更新日期：2022-02-21 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {1 ， 2 ， 3}$ ， $B = {3 ， 4}$ ， $C = {x \in R | 1 \leq x \leq 4}$ ，则 $(A ∪ B) ∩ C$ 等于（）

A、{2} B、 ${2 ， 3}$ C、 ${1 ， 2 ， 3 ， 4}$ D、 ${x \in R | 1 \leq x \leq 4}$

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2. 复数 $z$ 满足 $z^{2} - 2 z + 2 = 0$ ，则 $| z | =$ （）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、2 D、1或 $\sqrt{2}$

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3. 若变量 $x ， y$ 满足约束条件 ${\begin{array}{l} x + y - 5 \geq 0 ， \\ x - y + 2 \leq 0 ， \\ y \leq 4 ， \end{array}$ 则 $z = 3 x - 2 y$ 的最小值为（）

A、-5 B、 $- \frac{7}{2}$ C、 $- \frac{5}{2}$ D、-2

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4. 已知抛物线 $x^{2} = a y$ 过点 $(\frac{1}{2} ， - 1)$ ，则其准线方程为（）

A、 $x = - \frac{1}{16}$ B、 $y = - \frac{1}{16}$ C、 $x = \frac{1}{16}$ D、 $y = \frac{1}{16}$

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5. 已知集合 $A = {(x ， y) | (x - 1) (y - 1) \geq 0}$ ，集合 $B = {(x ， y) | (x - 1)^{2} + (y - 1)^{2} \leq 1}$ ，在集合 $B$ 中任取一个元素 $(x ， y)$ ，则 $(x ， y) \in A ∩ B$ 的概率是（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{π}{16}$

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6. 志愿服务是办好2022年北京冬奥会的重要基础和保障，冬奥会城市志愿者已于2021年12月5日在主要服务站点开始上岗，预计2022年1月25日开始全面上岗服务．现有4名志愿者要安排到3个服务站点参加服务，每名志愿者只能安排到一个站点，每个站点至少安排一名志愿者，则不同的安排方案共有（）

A、48种 B、36种 C、24种 D、12种

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7. 函数 $f (x) = s i n (c o s x) - c o s (s i n x)$ 的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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8. 如图，圆锥的底面直径 $A B = 2$ ，其侧面展开图为半圆，底面圆的弦 $A C = 1$ ，则异面直线 $A C$ 与 $S B$ 所成角的余弦值为（）

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、0

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9. 已知 $△ A B C$ 的内角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ，设 $(s i n B + s i n C)^{2} = s i n^{2} A + (2 - \sqrt{2}) s i n B s i n C$ ， $\sqrt{2} s i n A - 2 s i n B = 0$ ，则 $s i n C =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

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10. 若仅存在一条直线与函数 $f (x) = a l n x$ （ $a > 0$ ）和 $g (x) = x^{2}$ 的图象均相切，则实数 $a =$ （）

A、e B、 $\sqrt{e}$ C、2e D、 $2 \sqrt{e}$

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11. 1471年米勒向诺德尔教授提出的有趣问题：在地球表面的什么部位，一根垂直的悬杆看上去最长（即可见角最大）.后人将其称为“米勒问题”，是载入数学史上的第一个极值问题.我们把地球表面抽象为平面 $α$ ，悬杆抽象为线段AB（或直线l上两点A，B），则上述问题可以转化为如下的数学模型：如图1，一条直线l垂直于一个平面 $α$ ，直线l有两点A，B位于平面 $α$ 的同侧，求平面上一点C，使得 $∠ A C B$ 最大.建立如图2所示的平面直角坐标系.设A，B两点的坐标分别为 $(0 ， a)$ ， $(0 ， b) (0 < b < a)$ .设点C的坐标为 $(c ， 0)$ ，当 $∠ A C B$ 最大时， $c =$ （）

A、2ab B、ab C、 $2 \sqrt{a b}$ D、 $\sqrt{a b}$

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12. 已知 $a ， b ， c$ 均为正实数，且 $b \neq 1$ ，若 $a^{b} < l o g_{b} c < c^{a} < 1$ ，则下列关系中可能成立的是（）

A、 $a = b < c$ B、 $a = c < b$ C、 $a < c < b$ D、 $b < c < a$

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二、填空题

13. 已知 $\vec{a} = (1 ， 2)$ ， $\vec{b} = (- 1 ， m)$ ， $\vec{a} / / \vec{b}$ ， $\vec{c} = (2 ， - 1)$ ，则 $\vec{b} \cdot \vec{c} =$

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14. 已知 $t a n α = - \frac{1}{2}$ ，则 $c o s (2 α + \frac{π}{4}) =$

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15. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左、右焦点分别 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ， $P$ 为 $C$ 渐近线上一点， $O$ 为坐标原点，且 $| O P | = 1$ ， $△ P F_{1} F_{2}$ 的面积为 $\sqrt{2} a$ ，则双曲线 $C$ 的离心率为

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16. 三棱锥 $P - A B C$ 中， $△ P A C$ 是边长为 $2 \sqrt{3}$ 的等边三角形， $A B = B C = 2$ ，平面 $P A C ⊥$ 平面 $A B C$ ，则该三棱锥的外接球的体积为

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三、解答题

17. 已知数列 ${a_{n}}$ 的首项 $a_{1} = 1$ ， $a_{2} = 4$ ，前 $n$ 项的和为 $S_{n} (n \in N^{*})$ ，且 $a_{n + 2} + a_{n} = 2 a_{n + 1} (n \geq 2)$ ．数列 ${b_{n}}$ 是首项为2的等比数列，且 $b_{1} + b_{2} = 6 ， b_{3} = a_{4} - 2 a_{1}$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求数列 ${\frac{a_{n}}{b_{n}}}$ 的前 $n$ 项的和 $T_{n}$ ．

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18. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $A D / / B C$ ， $A D ⊥ A B$ ， $P B ⊥ P D$ ， $B C = 1$ ， $P A = 2$ ， $A D = 3$ ， $A B = 4$ ， $P D = \sqrt{13}$ ．

(1)、求证： $P B ⊥$ 平面 $P A D$ ；

(2)、求二面角 $P - B D - C$ 的正弦值．

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19. 某厂生产 $A ， B$ 两种产品，对两种产品的某项指标进行检测，现各抽取100件产品作为样本，其指标值的频率分布直方图如图所示：以该项指标作为衡量产品质量的标准，该项指标划分等级和收益率如下表，其中 $\frac{1}{5} < p < \frac{1}{4}$ ．
（注：收益率 $= \frac{利润}{总投资额}$ ）
等级
一等品
二等品
三等品
指标值 $m$
$m \geq 140$
$120 \leq m < 140$
$m < 120$
产品收益率
$p$
$4 p^{2}$
$p^{2}$

(1)、求 $a$ 的值；

(2)、将频率分布直方图中的频率近似看作概率，用样本估计总体．
①从产品 $B$ 中随机抽取3件，求其中一等品件数 $X$ 的分布列及数学期望；
②在总投资额相同的情况下，若全部投资产品 $A$ 或产品 $B$ ，试分析投资哪种产品收益更大．

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20. 已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左顶点为 $A$ ，右焦点为 $F$ ，离心率为 $\frac{1}{2}$ ， $E$ 为椭圆 $C$ 上一点， $E F ⊥ x$ 轴，且 $△ E A F$ 的面积为 $\frac{9}{4}$ ．

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、直线 $l$ 与椭圆 $C$ 交于 $P ， Q$ 两点， $M$ 为 $P Q$ 的中点，作射线 $O M$ 交椭圆 $C$ 于点 $R$ ，交直线 $l$ ： $x + 2 y - 4 = 0$ 于点 $N$ ，且满足 $| O M | \cdot | O N | = | O R |^{2}$ ，证明：直线 $l$ 过定点，并求出此定点的坐标．

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21. 已知函数 $f (x) = k e^{x} + \frac{1}{2} x^{2} - k x (k > 0)$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、若存在 $x_{0} \in [a ， b]$ 使得 $f' (x_{0}) = \frac{f (a) - f (b)}{a - b}$ ，求证： $x_{0} > \frac{a + b}{2}$ ．

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22. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = 2 s i n α \\ y = 2 c o s α + 1 \end{array}$ （ $α$ 为参数），以坐标原点 $O$ 为极点， $x$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 $l$ 的直角坐标方程为 $x + \sqrt{3} y - 2 \sqrt{3} = 0$ ．

(1)、写出曲线 $C$ 的普通方程和直线 $l$ 的极坐标方程；

(2)、若直线 $θ = \frac{π}{6}$ （ $ρ \in R$ ）与曲线 $C$ 交于 $A ， B$ 两点，与直线 $l$ 交于点 $M$ ，求 $| M A | \cdot | M B |$ 的值．

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23. 已知函数 $f (x) = m - | x - 1 | - | x + 1 |$ ．

(1)、当 $m = 5$ 时，求不等式 $f (x) \leq 0$ 的解集；

(2)、若二次函数 $y = x^{2} - 2 x + 2$ 与函数 $y = f (x)$ 的图象恒有公共点，求实数m的取值范围．

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等级	一等品	二等品	三等品
指标值 $m$	$m \geq 140$	$120 \leq m < 140$	$m < 120$
产品收益率	$p$	$4 p^{2}$	$p^{2}$