安徽省黄山市2022届高三上学期理数第一次质量检测试卷

试卷更新日期：2022-02-21 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 设复数 $z = \frac{3 - i}{1 + 2 i}$ ，则复数 $z$ 的虚部是（）

A、 $\frac{7}{5} i$ B、 $\frac{7}{5}$ C、 $- \frac{7}{5} i$ D、 $- \frac{7}{5}$

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2. 命题： $\exists x \in R$ ， $a x_{0}^{2} - a x_{0} - 2 > 0$ 为假命题的一个充分不必要条件是（）

A、 $(- \infty ， - 8] \cup [0 ， + \infty)$ B、 $(- 8 ， 0)$ C、 $(- \infty ， 0]$ D、 $[- 8 ， 0]$

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3. 设集合 $A = {x | \frac{x + 1}{x - 4} \leq 0}$ ， $B = {x | - 1 < x < 3}$ ，则 $A ∩ (∁_{R} B) =$ （）

A、 ${x | 3 \leq x \leq 4$ 或 $x = - 1}$ B、 ${x | 3 \leq x \leq 4}$ C、 ${x | 3 \leq x < 4$ 或 $x = - 1}$ D、 ${x | 3 \leq x < 4}$

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4. 连续函数 $f (x)$ 是定义在 $(- 1 ， 1)$ 上的偶函数，当 $x \neq 0$ 时， $x f (x) > 0$ .若 $f (a + 1) - f (2 a) > 0$ ，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \frac{1}{3} ， 1)$ B、 $(- \frac{1}{2} ， 0)$ C、 $(- \frac{1}{2} ， 1)$ D、 $(- \frac{1}{3} ， 0)$

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5. 在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A_{1} D$ 和 $C D_{1}$ 与底面所成的角分别为30°和45°，异面直线 $A_{1} D$ 和 $C D_{1}$ 所成角的余弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ C、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{10}}{4}$

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6. 现将5人安排到3个不同的小区从事防控防疫志愿者服务，要求每人只能在一个小区服务，每个小区至少有一名志愿者，则不同的安排方案有（）

A、60种 B、90种 C、150种 D、180种

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7. 已知函数 $f (x) = 2 \sqrt{3} s i n ω x + a c o s ω x (ω > 0)$ 图象的一个对称中心到相邻对称轴的距离为 $\frac{π}{4}$ ，且 $f (0) + f (\frac{π}{6}) = 6$ ，则函数 $f (x)$ 在下列区间单调递增的是（）

A、 $(- \frac{π}{3} ， \frac{π}{2})$ B、 $(- π ， - \frac{5 π}{6})$ C、 $(π ， \frac{4 π}{3})$ D、 $(\frac{3 π}{2} ， 2 π)$

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8. 我们规定，一个平面封闭图形的周长与面积之比称作这个平面图形的“周积率”，如图是由三个半圆构成的图形，最大半圆的直径为6，若在最大的半圆内随机取一点，该点取自阴影部分的概率为 $\frac{4}{9}$ ，则阴影部分图形的“周积率”为（）

A、 $\frac{3}{2}$ B、3 C、6 D、 $\frac{3}{4}$

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9. “斐波那契数列”又称“兔子”数列，是由意大利数学家里昂那多斐波那契发现的，该数列满足： $a_{1} = 1$ ， $a_{2} = 1$ ， $a_{n} = a_{n - 1} + a_{n - 2}$ （ $n \geq 3$ ， $n \in N^{*}$ ），若 $a_{2024} = G$ ，则其前2022项和为（）

A、G B、 $G + 1$ C、-G D、 $G - 1$

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10. 已知 $f (x) = m e^{x} - 2 x^{3}$ ，曲线 $y = f (x)$ 在不同的三点 $(x_{1} ， f (x_{1}))$ ， $(x_{2} ， f (x_{2}))$ ， $(x_{3} ， f (x_{3}))$ 处的切线均平行于x轴，则m的取值范围是（）

A、 $(\frac{12}{e^{2}} ， + \infty)$ B、 $(0 ， \frac{e^{2}}{12})$ C、 $(\frac{24}{e^{2}} ， + \infty)$ D、 $(0 ， \frac{24}{e^{2}})$

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11. 已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的焦点为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，第一象限点 $P$ 在C上，且 $\vec{P F_{1}} \cdot \vec{P F_{2}} = \frac{9}{4}$ ，则 $△ P F_{1} F_{2}$ 的内切圆半径为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{5}{4}$ C、1 D、 $\frac{5}{8}$

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12. 已知 $a = e^{0.1}$ ， $b = \frac{l n 1.2}{2} + 1$ ， $c = \sqrt{1.2}$ ，则它们的大小关系正确的是（）

A、 $b > a > c$ B、 $c > b > a$ C、 $a > c > b$ D、 $a > b > c$

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二、填空题

13. 已知向量 $\vec{a} = (- 1 ， 1)$ ， $\vec{b} = (2 ， 3)$ ， $\vec{a} ⊥ (2 \vec{a} + k \vec{b})$ ，则实数k的值为．

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14. 已知双曲线E： $b x^{2} + y^{2} = - 2 b$ 的一个焦点与抛物线C： $x^{2} = 4 \sqrt{6} y$ 的焦点相同，则双曲线E的渐近线方程为.

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15. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 2$ ， $a_{n + 1} = \frac{2 (n + 2)}{n + 1} a_{n}$ ，则 $\frac{a_{2021}}{a_{1} + a_{2} + a_{3} + \cdot \cdot \cdot + a_{2020}} =$ .

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16. 如图，在四棱锥P-ABCD的平面展开图中，正方形ABCD的边长为4， $△ A D E$ 是以AD为斜边的等腰直角三角形， $∠ H D C = ∠ F A B = 90 °$ ，则该四棱锥外接球被平面PBC所截的圆面的面积为.

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三、解答题

17. $△ A B C$ 的内角A,B,C的对边分别为 $a, b, c$ ，已知 $\sin (A + C) = 8 \sin^{2} \frac{B}{2}$ ．

(1)、求 $\cos B$ ；

(2)、若 $a + c = 6$ ， $Δ A B C$ 面积为2，求 $b$ ．

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18. 如图①，在梯形ABCD中， $A D ∥ B C$ ， $∠ B A D = \frac{π}{2}$ ， $A B = B C = 2$ ， $A D = 4$ ， E是AD的中点，O是AC与BE的交点.将 $△ A B E$ 沿BE折起到 $△ A_{1} B E$ 的位置，如图②.

(1)、证明： $C D ⊥$ 平面 $A_{1} O C$ ；

(2)、若平面 $A_{1} B E ⊥$ 平面BCDE，求二面角 $B - A_{1} C - E$ 的余弦值.

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19. 在创建“全国文明城市”过程中，某市“创城办”为了调查市民对创城工作的了解情况，进行了一次创城知识问卷调查（一位市民只能参加一次）通过随机抽样，得到参加问卷调查的100人的得分统计结果如表所示：
组别
$[40 ， 50)$
$[50 ， 60)$
$[60 ， 70)$
$[70 ， 80)$
$[80 ， 90)$
$[90 ， 100]$
频数
14
20
25
26
13
2
参考数据与公式： $\sqrt{198} \approx 14$ .若 $X ~ N (μ ， σ^{2})$ ，则 $P (μ - σ < X \leq μ + σ) = 0.6826$ ， $P (μ - 2 σ < X \leq μ + 2 σ) = 0.9544$ ， $P (μ - 3 σ < X \leq μ + 3 σ) = 0.9974$ .

(1)、由频数分布表可以大致认为，此次问卷调查的得分 $ξ ~ N (μ ， 198)$ ， $μ$ 近似为这100人得分的平均值（同一组中的数据用该组区间的左端点值作代表）.
①求 $μ$ 的值；
②利用该正态分布，求 $P (ξ \leq 19$ 或 $ξ \geq 47)$ ；

(2)、在（1）的条件下，“创城办”为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案：①得分不低于 $μ$ 的可以获赠2次随机话费，得分低于 $μ$ 的可以获赠 $1$ 次随机话费；②每次获赠的随机话费和对应的概率为：
赠送话费的金额（单位：元）
30
50
概率
$\frac{3}{5}$
$\frac{2}{5}$
现有市民甲参加此次问卷调查，记 $X$ （单位：元）为该市民参加问卷调查获赠的话费，求 $X$ 的分布列与数学期望.

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20. 设椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左右焦点分别为 $F_{1}$ ､ $F_{2}$ ，抛物线 $y = - \frac{1}{4} x^{2}$ 的焦点与椭圆的一个顶点重合，又椭圆的离心率与抛物线的离心率之比为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、设斜率为正数的直线l与椭圆C交于M，N两点，作 $M G ⊥ x$ 轴于点G，O为坐标原点，若 $(4 \vec{O M} - 9 \vec{O G}) ⊥ \vec{O N}$ ，求△ $O M N$ 面积的取值范围.

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21. 已知函数 $f (x) = x l n x - x - e^{x - e}$ ， $g (x) = - \frac{1}{2} a x^{2} + e^{x - e} + a (a \in R)$

(1)、求函数 $φ (x) = f (x) + e^{x - e}$ 的最小值；

(2)、设函数 $F (x) = f (x) + g (x)$ 的两个不同极值点分别为 $x_{1}$ ， $x_{2} (x_{1} < x_{2})$ .
（i）求实数a的取值范围；

（ii）若不等式 $\frac{e^{λ}}{x_{1}} < \frac{x_{2}^{λ}}{e}$ 恒成立，求正数 $λ$ 的取值范围（这里 $e = 2.71828 \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot$ 为自然对数的底数）.

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22. 已知曲线C的极坐标方程为 $ρ = \sqrt{\frac{2}{1 + s i n^{2} θ}}$ ，直线l的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = 1 + t c o s α \\ y = t s i n α \end{array}$ （t为参数）

(1)、当直线l的倾斜角为 $\frac{π}{3}$ 时，求出该直线的参数方程并写出曲线C普通方程；

(2)、直线l交曲线C于A､B两点，若 $| A B | = \frac{3}{2} \sqrt{2}$ ，求直线l的斜率.

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23. 已知函数 $f (x) = | x - a | + 2 | x + 1 |$ ．

(1)、当 $a = 1$ 时，求不等式 $f (x) \leq 4$ 的解集；

(2)、设不等式 $f (x) \leq | 2 x + 4 |$ 的解集为 $M$ ，若 $[0$ ， $3] \subseteq M$ ，求 $a$ 的取值范围．

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组别	$[40 ， 50)$	$[50 ， 60)$	$[60 ， 70)$	$[70 ， 80)$	$[80 ， 90)$	$[90 ， 100]$
频数	14	20	25	26	13	2

赠送话费的金额（单位：元）	30	50
概率	$\frac{3}{5}$	$\frac{2}{5}$