安徽省淮南市2022届高三上学期理数一模试卷

试卷更新日期：2022-02-21 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | x > 2$ 或 $x < - 4}$ ， $B = {x | x < a}$ ，若 $A ∪ B = R$ ，则 $a$ 的取值范围为（）

A、 $[- 4 ， + \infty)$ B、 $(- 4 ， + \infty)$ C、 $[2 ， + \infty)$ D、 $(2 ， + ∞)$

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2. 设复数 $z$ 满足 $(1 - i) z = 1 + i$ ，则 $| z | =$ （）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、2 D、 $2 \sqrt{2}$

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3. 已知命题 $p$ ：“ $x > 2$ 且 $y > 3$ ”是“ $x + y > 5$ ”的充要条件；命题 $q$ ： $\exists x_{0} \in R$ ，曲线 $f (x) = x^{3} - x$ 在点 $(x_{0} ， f (x_{0}))$ 处的切线斜率为 $- 1$ ，则下列命题为真命题的是（）

A、 $\neg (p \lor q)$ B、 $p \lor (\neg q)$ C、 $p \land q$ D、 $(\neg p) \land q$

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4. 已知函数 $f (x) = c o s x - 2 c o s^{2} (\frac{π}{4} - \frac{x}{2})$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $y = f (x - \frac{π}{4}) - 1$ 为奇函数 B、 $y = f (x + \frac{π}{4}) - 1$ 为奇函数 C、 $y = f (x - \frac{π}{4}) + 1$ 为偶函数 D、 $y = f (x + \frac{π}{4}) + 1$ 为偶函数

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5. 为了贯彻落实中央新疆工作座谈会和全国对口支援新疆工作会议精神，促进边疆少数民族地区教育事业发展，我市教育系统选派了三位男教师和两位女教师支援新疆，这五名教师被分派到三个不同地方对口支援，每位教师只去一个地方，其中两位女教师分派到同一个地方，则不同的分派方法有（）

A、18种 B、36种 C、68种 D、84种

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6. 已知O为坐标原点，抛物线 $y = \frac{1}{4} x^{2}$ 的焦点为F，点M在抛物线上，且 $| M F | = 3$ ，则 $| O M | =$ （）

A、1 B、 $\sqrt{3}$ C、 $2 \sqrt{3}$ D、3

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7. 函数 $f (x) = (x - 1) \cos π x$ 的部分图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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8. 我国在2020年9月22日在联合国大会提出，二氧化碳排放力争于2030年前实现碳达峰，争取在2060年前实现碳中和．为了响应党和国家的号召，某企业在国家科研部门的支持下，进行技术攻关：把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品，经测算，该技术处理总成本y（单位：万元）与处理量x（单位：吨） $(x \in [120 ， 500])$ 之间的函数关系可近似表示为 $y = {\begin{array}{l} \frac{1}{3} x^{3} - 80 x^{2} + 5040 x ， x \in [120 ， 144) \\ \frac{1}{2} x^{2} - 200 x + 80000 ， x \in [144 ， 500] \end{array}$ ，当处理量x等于多少吨时，每吨的平均处理成本最少（）

A、120 B、200 C、240 D、400

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9. 若直线 $l ： (m - 1) x + (2 m - 1) y = 0$ 与曲线 $C ： y = \sqrt{4 - {(x - 2)}^{2}} + 2$ 有公共点，则实数 $m$ 的范围是（）

A、 $[\frac{3}{5} ， 1)$ B、 $[\frac{3}{5} ， 1]$ C、 $[\frac{1}{2} ， \frac{3}{4})$ D、 $[\frac{1}{2} ， \frac{3}{4}]$

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10. 已知双曲线 $E ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > 0$ ， $b > 0$ ）的左、右焦点分别是 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ，且 $| F_{1} F_{2} | = 2$ ，若P是该双曲线右支上一点，且满足 $| P F_{1} | = 3 | P F_{2} |$ ，则 $△ P F_{1} F_{2}$ 面积的最大值是（）

A、 $\frac{3}{4}$ B、1 C、 $\frac{4}{3}$ D、 $\frac{5}{3}$

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11. 已知函数 $f (x) = 2 s i n (2 x + \frac{π}{6}) - m$ ， $x \in [0 ， \frac{7 π}{6}]$ 有三个不同的零点 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ，且 $x_{1} < x_{2} < x_{3}$ ，则 $m (x_{1} + 2 x_{2} + x_{3})$ 的范围为（）

A、 $[\frac{5 π}{6} ， \frac{5 π}{3}]$ B、 $[\frac{5 π}{6} ， \frac{5 π}{3})$ C、 $[\frac{5 π}{3} ， \frac{10 π}{3}]$ D、 $[\frac{5 π}{3} ， \frac{10 π}{3})$

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12. 设 $a = 15 l n 13$ ， $b = 14 l n 14$ ， $c = 13 l n 15$ ，则（）

A、 $a > c > b$ B、 $c > b > a$ C、 $b > a > c$ D、 $a > b > c$

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二、填空题

13. $(1 - 2 x^{2}) (1 + x)^{4}$ 的展开式中 $x^{3}$ 的系数为．

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14. 已知 $\vec{a} = (x ， y)$ ， $\vec{b} = (x - 1 ， 9)$ （ $x > 0$ ， $y > 0$ ），若 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ ，则 $x + y$ 的最小值为．

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15. 设等比数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{2} a_{10} = 2 a_{4}^{2}$ ，且 $S_{4} - S_{12} = λ S_{8}$ ，则 $λ =$ ．

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16. 已知函数 $f (x)$ 满足：当 $x \leq 1$ 时， $f (2 + x) = f (- 2 + x)$ ；当 $x \in (- 3 ， 1]$ 时， $f (x) = | x + 1 | - 2$ ；当 $x > 1$ 时， $f (x) = l o g_{a} (x - 1)$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）．若函数 $f (x)$ 的图象上关于原点对称的点至少有3对，有如下四个命题：① $f (x)$ 的值域为R．② $f (x)$ 为周期函数．③实数a的取值范围为 $(2 ， + \infty)$ ． ④ $f (x)$ 在区间 $[- 5 ， - 3]$ 上单调递减．其中所有真命题的序号是．

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三、解答题

17. 在四边形ABCD中，已知 $B C = C D = \frac{1}{2} A B = 1$ ， $\vec{A B} \cdot \vec{B C} = - 1$ ， $∠ B C D = \frac{2 π}{3}$ ．

(1)、求四边形ABCD的面积；

(2)、求 $s i n D$ 的值．

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18. 为进一步完善公共出行方式，倡导“绿色出行”和“低碳生活”，淮南市建立了公共自行车服务系统，为了鼓励市民租用公共自行车出行，同时希望市民尽快还车，方便更多的市民使用，公共自行车按每次的租用时间进行缴费，具体缴费标准如下：①租用时间不超过1小时，免费；②超出一小时后每小时1元（不足一小时按一小时计算），一天24小时最高收费10元．某日甲、乙两人独立出行，各租用公共自行车一次，且两人租车时间都不会超过3小时，设甲、乙租用时间不超过一小时的概率分别是0.5，0.4；租用时间为1小时以上且不超过2小时的概率分别是0.2，0.4．

(1)、求甲比乙付费多的概率；

(2)、设甲、乙两人付费之差的绝对值为随机变量 $ξ$ ，求 $ξ$ 的分布列和数学期望．

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19. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} a_{2} ⋯ a_{n} = 2 - 2 a_{n}$ ， $n \in N^{*}$ ．

(1)、证明：数列 ${\frac{1}{1 - a_{n}}}$ 是等差数列，并求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、记 $T_{n} = a_{1} a_{2} ⋯ a_{n}$ ， $n \in N^{*}$ ， $S_{n} = T_{1}^{2} + T_{2}^{2} + ⋯ T_{n}^{2}$ ．证明：当 $n \in N^{*}$ 时， $\frac{1}{4} S_{n} > a_{n + 1} - \frac{2}{3}$ ．

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20. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ，点 $P (2 ， \sqrt{2})$ 在椭圆 $C$ 上，且满足 $\vec{P F_{1}} \cdot \vec{P F_{2}} = {\vec{P F_{2}}}^{2}$ ．

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、设 $O$ 为坐标原点，过点 $F_{2}$ 且斜率不为零的直线 $l$ 交椭圆 $C$ 于不同的两点 $A$ 、 $B$ ，则在 $x$ 轴上是否存在定点 $M$ ，使得 $M O$ 平分 $∠ A M B$ ？若存在，求出 $M$ 点坐标；若不存在，请说明理由．

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21. 已知函数 $f (x) = \frac{l n x}{x - 1}$ ．

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、已知 $λ > 0$ ，若存在 $x \in (1 ， + \infty)$ 时，不等式 $λ x^{2} - λ x \geq (e^{λ x} - 1) l n x$ 成立，求 $λ$ 的取值范围．

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22. 在直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = t^{2} \\ y = 2 t \end{array}$ （ $t$ 为参数），以直角坐标系的原点为极点， $x$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线 $l$ 的极坐标方程为 $2 c o s α - s i n α = \frac{4}{ρ}$ ．

(1)、求曲线 $C$ 的普通方程；

(2)、若直线 $l$ 与曲线 $C$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，求以 $A B$ 为直径的圆的极坐标方程．

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23. 已知函数 $f (x) = | 2 x + \sqrt{m} | - | 2 x - 1 |$ 的最小值为-2．

(1)、求 $m$ 的值；

(2)、若实数 $a$ ， $b$ 满足 $\frac{1}{a^{2} + 2} + \frac{1}{b^{2} + 1} = m$ ，求 $a^{2} + b^{2}$ 的最小值．

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