备考2022届中考数学全国精选题汇编专题12 圆的性质及应用

试卷更新日期：2022-02-21 类型：一轮复习

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一、填空题

1. 小明很喜欢钻研问题，一次数学杨老师拿来一个残缺的圆形瓦片（如图所示）让小明求瓦片所在园的半径，小明连接瓦片弧线两端AB，量的弧AB的中心C到AB的距离CD＝1.6cm，AB＝6.4cm，很快求得圆形瓦片所在园的半径为 cm.

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2. 如图，在矩形ABCD中，AB＝2cm，AD= $\sqrt{3}$ cm以点B为圆心，AB长为半径画弧，交CD于点E，则图中阴影部分的面积为 cm².

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3. 如图，方老师用一张半径为18cm的扇形纸板，做了一个圆锥形帽子（接缝忽略不计）.如果圆锥形帽子的半径是10cm，那么这张扇形纸板的面积是 cm²（结果用含π的式子表示）.

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4. 如图， $A B C D E F$ 为正六边形， $A B G H$ 为正方形，连接CG，则∠BCG+∠BGC=.

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5. 如图，传送带的一个转动轮的半径为 $10 cm$ ，转动轮转 $n °$ ，传送带上的物品 $A$ 被传送 $6 πcm$ ，则 $n =$ .

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6. 点 $O$ 是 $△ A B C$ 的外心，若 $∠ B O C = 110 °$ ，则 $∠ B A C$ 为.

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7. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径， $A C$ 是 $⊙ O$ 的弦， $O D ⊥ A C$ 于D，连接 $O C$ ，过点D作 $D F // O C$ 交 $A B$ 于F，过点B的切线交 $A C$ 的延长线于E.若 $A D = 4$ ， $D F = \frac{5}{2}$ ，则 $B E =$ .

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8. 如图，⊙A、⊙B、⊙C两两不相交，且半径都是2cm，则图中三个扇形(即阴影部分)面积之和是cm²

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9. 边长为 $4cm$ 的正六边形，它的外接圆与内切圆半径的比值是．

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10. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，点A在 $x$ 轴负半轴上，点B在 $y$ 轴正半轴上，⊙D经过A ， B ， O ， C四点，∠ACO＝120°，AB＝4，则圆心点D的坐标是

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11. 如图，正六边形ABCDEF的周长是24cm，连接这个六边形的各边中点G，H，K，L，M，N，则六边形GHKLMN的周长是 cm.

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12. 如图，在平面直角坐标系中，以 $M (2 ， 3)$ 为圆心，AB为直径的圆与x轴相切，与y轴交于A，C两点，则点B的坐标是.

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13. 如图，在圆内接五边形ABCDE中，∠EAB∠+∠C+∠CDE+∠E＝430°，则∠CDA＝度.

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14. 如图， $△ A B C$ 内接于 $⊙ O$ ， $∠ A = 50 °$ ，点 $D$ 是 $B C$ 的中点，连接 $O D$ ， $O B$ ， $O C$ ，则 $∠ B O D =$ .

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二、作图题

15. 尺规作图（只保留作图痕迹，不要求写出作法），如图，已知 $△$ ABC，且AB＞AC.

（ 1 ）在AB边上求作点D，使DB＝DC；

（ 2 ）在AC边上求作点E，使 $△$ ADE∽ $△$ ACB.

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三、解答题

16. 已知 $△ A B C$ 内接于 $⊙ O ， A B = A C ， ∠ B A C = 42 °$ ，点D是 $⊙ O$ 上一点．

（Ⅰ）如图①，若 $B D$ 为 $⊙ O$ 的直径，连接 $C D$ ，求 $∠ D B C$ 和 $∠ A C D$ 的大小；

（Ⅱ）如图②，若 $C D$ // $B A$ ，连接 $A D$ ，过点D作 $⊙ O$ 的切线，与 $O C$ 的延长线交于点E，求 $∠ E$ 的大小．

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四、综合题

17. 如图， $⊙ O$ 是 $△ A B C$ 的外接圆，点E是 $△ A B C$ 的内心，AE的延长线交BC于点F，交 $⊙ O$ 于点D，连接BD，BE.

(1)、求证： $D B = D E$ ；

(2)、若 $A E = 3$ ， $D F = 4$ ，求DB的长.

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18. 如图，在△ABC中，AB＝AC，DE⊥AC交BA的延长线于点E，交AC于点F.

(1)、求证：DE是⊙O的切线；

(2)、若AC＝6，tanE＝ $\frac{3}{4}$ ，求AF的长.

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19. 如图，在等腰锐角三角形ABC中，AB＝AC，过点B作BD⊥AC于D，延长BD交△ABC的外接圆于点E，过点A作AF⊥CE于F，AE，BC的延长线交于点G.

(1)、判断EA是否平分∠DEF，并说明理由；

(2)、求证：①BD＝CF；
②BD²＝DE²+AE•EG.

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20. 如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AC是⊙O的直径，点D是 $\overset{⌢}{B C}$ 的中点，DE∥BC交AC的延长线于点E.

(1)、求证：直线DE与⊙O相切；

(2)、若⊙O的直径是10，∠A＝45°，求CE的长.

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21. 如图，直线 $A B$ 经过 $⊙ O$ 上的点 $C$ ，直线 $B O$ 与 $⊙ O$ 交于点 $F$ 和点 $D$ ， $O A$ 与 $⊙ O$ 交于点 $E$ ，与 $D C$ 交于点 $G$ ， $O A = O B$ ， $C A = C B$ .

(1)、求证： $A B$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若 $F C / / O A$ ， $C D = 6$ ，求图中阴影部分面积.

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22. 如图， $P A$ 、 $P B$ 是 $⊙ O$ 的切线， $A$ 、 $B$ 是切点， $A C$ 是 $⊙ O$ 的直径，连接 $O P$ ，交 $⊙ O$ 于点 $D$ ，交 $A B$ 于点 $E$ .

(1)、求证： $B C // O P$ ；

(2)、若 $E$ 恰好是 $O D$ 的中点，且四边形 $O A P B$ 的面积是 $16 \sqrt{3}$ ，求阴影部分的面积；

(3)、若 $\sin ∠ B A C = \frac{1}{3}$ ，且 $A D = 2 \sqrt{3}$ ，求切线 $P A$ 的长.

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23. 如图，在 $⊙ O$ 中， $A C$ 为 $⊙ O$ 的直径， $A B$ 为 $⊙ O$ 的弦，点 $E$ 是 $\overset{⌢}{A C}$ 的中点，过点 $E$ 作 $A B$ 的垂线，交 $A B$ 于点 $M$ ，交 $⊙ O$ 于点 $N$ ，分别连接 $E B ， C N$ .

(1)、 $E M$ 与 $B E$ 的数量关系是；

(2)、求证： $\overset{⌢}{E B} = \overset{⌢}{C N}$ ；

(3)、若 $A M = \sqrt{3} ， M B = 1$ ，求阴影部分图形的面积.

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24. 如图，在 $R t △ A O B$ 中， $∠ A B O = 90 °$ ， $∠ O A B = 30 °$ ，以点 $O$ 为圆心， $O B$ 为半径的圆交 $B O$ 的延长线于点 $C$ ，过点 $C$ 作 $O A$ 的平行线，交 $⊙ O$ 于点 $D$ ，连接 $A D$ .

(1)、求证： $A D$ 为 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若 $O B = 2$ ，求弧 $C D$ 的长.

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25. 如图，点A在以 $B C$ 为直径的⊙ $O$ 上， $∠ A B C$ 的角平分线与 $A C$ 相交于点E，与⊙ $O$ 相交于点D，延长 $C A$ 至M，连结 $B M$ ，使得 $M B = M E$ ，过点A作 $B M$ 的平行线与 $C D$ 的延长线交于点N.

(1)、求证： $B M$ 与⊙ $O$ 相切；

(2)、试给出 $A C ， A D ， C N$ 之间的数量关系，并予以证明.

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26. 如图， $A B$ 为 $⊙ O$ 直径，D为 $⊙ O$ 上一点， $B C ⊥ C D$ 于点C，交 $⊙ O$ 于点E， $C D$ 与 $B A$ 的延长线交于点F， $B D$ 平分 $∠ A B C$ .

(1)、求证： $C D$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若 $A B = 10 ， C E = 1$ ，求 $C D$ 和 $D F$ 的长.

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27. 如图，AB是 $⊙ O$ 直径，弦 $C D ⊥ A B$ ，垂足为点E ．弦BF交CD于点G ，点P在CD延长线上，且 $P F = P G$ ．

(1)、求证：PF为 $⊙ O$ 切线；

(2)、若 $O B = 10$ ， $B F = 16$ ， $B E = 8$ ，求PF的长．

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28. 如图，已知 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ．

(1)、请按如下要求完成尺规作图．（不写作法，保留作图痕迹）
① $∠ B A C$ 的角平分线 $A D$ ，交 $B C$ 于点D；

②作线段 $A D$ 的垂直平分线 $E F$ 与 $A B$ 相交于点O；

③以点O为圆心，以 $O D$ 长为半径画圆，交边 $A B$ 于点M．

(2)、在（1）的条件下求证： $B C$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(3)、若 $A M = 4 B M$ ， $A C = 10$ ，求 $⊙ O$ 的半径．

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29. 如图，已知 $Δ A B C$ 内接干 $⊙ O$ ， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径， $∠ C A B$ 的平分线交 $B C$ 于点 $D$ ，交 $⊙ O$ 于点 $E$ ，连接 $E B$ ，作 $∠ B E F = ∠ C A E$ ，交 $A B$ 的延长线于点 $F$ .

(1)、求证： $E F$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若 $B F = 10$ ， $E F = 20$ ，求 $⊙ O$ 的半径和 $A D$ 的长.

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30. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $D$ 是 $A B$ 上的一点，以 $A D$ 为直径的 $⊙ O$ 与 $B C$ 相切于点 $E$ ，连接 $A E$ ， $D E$ .

(1)、求证： $A E$ 平分 $∠ B A C$ ；

(2)、若 $∠ B = 30 °$ ，求 $\frac{C E}{D E}$ 的值.

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31. 如图，PM、PN是⊙O的切线，切点分别是A、B，过点O的直线CE∥PN，交⊙O于点C、D，交PM于点E，AD的延长线交PN于点F，若BC∥PM.

(1)、求证：∠P＝45°；

(2)、若CD＝6，求PF的长.

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32. 如图，在Rt△ACD中，∠ACD＝90°，点O在CD上，作⊙O，使⊙O与AD相切于点B，⊙O与CD交于点E，过点D作DF∥AC，交AO的延长线于点F，且∠OAB＝∠F.

(1)、求证：AC是⊙O的切线；

(2)、若OC＝3，DE＝2，求tan∠F的值.

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33. 如图，已知：AB为⊙O的直径，⊙O交△ABC于点D、E，点F为AC的延长线上一点，且∠CBF $= \frac{1}{2}$ ∠BOE.

(1)、求证：BF是⊙O的切线；

(2)、若AB＝4 $\sqrt{2}$ ，∠CBF＝45°，BE＝2EC，求AD和CF的长.

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34. 如图，AB是⊙O的直径，OC是半径，延长OC至点D.连接AD，AC，BC.使∠CAD＝∠B.

(1)、求证：AD是⊙O的切线；

(2)、若AD＝4，tan∠CAD＝ $\frac{1}{2}$ ，求BC的长.

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35.

(1)、某运输队第一次运输360吨化肥，装载了6节火车车厢和15辆汽车；第二次装载了8节火车车厢和10辆汽车，比第一次多运输了化肥80吨.每节火车车厢与每辆汽车平均各装多少吨化肥？

(2)、如图，AB是 $⊙ O$ 的直径，点C在 $⊙ O$ 上，AD垂直于过点C的切线，垂足为D，CE垂直AB，垂足为E.求证 $C D = C E$ .

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36. 如图

(1)、风筝起源于中国，至今已有2300多年的历史，如图1，在小明设计的“风筝”图案中，已知 $A B = A D$ ， $∠ B = ∠ D$ ， $∠ B A E = ∠ D A C$ .求证： $A C = A E$ ；

(2)、如图2，一条公路的转弯处是一段圆弧，点 $O$ 是弧 $C D$ 的圆心， $E$ 为弧 $C D$ 上一点， $O E ⊥ C D$ ，垂足为 $F$ .已知 $C D = 600 m$ ， $E F = 100 m$ ，求这段弯路的半径.

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37. 如图1， $△ A B C$ 中， $A B = 5 ， A C = 3 \sqrt{2} ， B C = 7$ ，半径为r的 $⊙ O$ 经过点A且与 $B C$ 相切，切点M在线段 $B C$ 上（包含点M与点B、C重合的情况）.

(1)、半径r的最小值等于：

(2)、设 $B M = x$ ，求半径r关于x的函数表达式；

(3)、当 $B M = 1$ 时，请在图2中作出点M及满足条件的 $⊙ O$ .
（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，并用2B铅笔或黑色水笔加黑加粗）

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38. 如图，在 $▱ A B C D$ 中，E是 $A D$ 上一点，延长 $C E$ 到点F，使 $C E \cdot F C = D E \cdot A D$ .

(1)、求证 $∠ D = ∠ F$ ；

(2)、用直尺和圆规在 $A D$ 上作出一点P，使 $△ B P C ∽ △ C D P$ （保留作图的痕迹，不写作法）.

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39. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径，且点 $C$ 为 $⊙ O$ 上的一点， $M$ 是 $O A$ 上一点，过 $M$ 作 $A B$ 的垂线交 $A C$ 于点 $N$ ，交 $B C$ 的延长线于点 $E$ ，作直线 $C F$ 交 $E N$ 于点 $F$ ，且 $F E = F C$ .

(1)、证明： $C F$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、设 $⊙ O$ 的半径为5， $A C = C E = 8$ ，求线段 $M O$ 的长.

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40. 如图：CB与圆O相切于B，半径OA⊥OC，AB、OC相交于D，求证：

(1)、CD＝CB；

(2)、AD•DB＝2CD•DO.

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