备考2022届中考数学全国精选题汇编专题6 函数图像及性质（2）

试卷更新日期：2022-02-21 类型：一轮复习

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一、填空题

1. 如图，过点A(0，4)作平行于x轴的直线AC分别交抛物线 $y_{1} = x^{2} (x ≥ 0)$ 与 $y_{2} = \frac{1}{4} x^{2} (x ≥ 0)$ 于B、C两点，那么线段BC的长是．

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2. 平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知点 $(a ， b)$ 在直线 $y = 2 c x + c^{2} + 2 (c > 0)$ 上，且满足 $a^{2} + b^{2} - 2 (1 + 2 b c) + 4 c^{2} + b = 0$ ，则 $c =$ .

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3. 已知二次函数 $y = x^{2} + 2 x + n$ ，当自变量x的取值在 $- 2 \leq x \leq 1$ 的范围时，函数的图象与x轴有且只有一个公共点，则n的取值范围是.

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4. 已知二次函数y＝（x﹣h）²（h为常数），当自变量x的值满足﹣1≤x≤3时，与其对应的函数值y的最小值为4，则h的值为.

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5. 二次函数 $y = 2 x^{2} - 8 x + m$ 满足以下条件：当 $- 2 < x < - 1$ 时，它的图象位于x轴的下方；当 $6 < x < 7$ 时，它的图象位于x轴的上方，则m的值为.

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6. 反比例函数 $y = \frac{3 - m}{x}$ 的图象在第二、四象限，则m的取值范围是.

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7. 如图，在平面直角坐标系中，函数 $y = k x (k \neq 0)$ 与 $y = - \frac{1}{x}$ 的图象交于A、B两点，过点A作 $y$ 轴的垂线，交函数 $y = \frac{2}{x}$ 的图象于点C，连接BC，则△ABC的面积为.

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8. 如图，已知 $▱ A B C O$ 顶点 $A$ 在反比例函数 $y = \frac{2}{x} (x > 0)$ 的图象上，边 $B C$ 与反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象交于点 $D$ ，且 $A D / / x$ 轴，若 $S_{▱ A B C O} = 8$ ，则 $k =$

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9. $P_{1} (x_{1} ， y_{1})$ ， $P_{2} (x_{2} ， y_{2}) (x_{1} \neq x_{2})$ 是下列函数图象上任意的两点：① $y = - 3 x + 1$ ；② $y = \frac{3}{x}$ ；③ $y = x^{2} - 2 x - 3$ ；④ $y = - x^{2} - 2 x + 3 (x > 0)$ ；其中，满足 $(x_{1} - x_{2}) (y_{1} - y_{2}) < 0$ 的函数有.（填上所有正确的序号）

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10. 某函数的图象不经过第二象限，且经过点（2，1），请写出一个满足上述条件的函数表达式.

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11. 已知二次函数 $y = x^{2} - 2 a x + a^{2} - 3 a + 6$ 的图象与x轴没有公共点，且当 $x < - 1$ 时，y随x的增大而减小，则实数a的取值范围是.

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12. 如图，⊙O的圆心为原点，半径为2，反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ （k≠0）图象与⊙O有两个交点，则k的取值是.

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13. 已知一次函数 $y = k x + b$ 的图象如图所示，则关于 $x$ 的不等式 $2 k x - b < 0$ 的解集为.

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14. 已知函数y＝kx²+（2k+1）x+1（k为实数）.

(1)、对于任意实数k，函数图象一定经过点(﹣2，﹣1)和点；

(2)、对于任意正实数k，当x＞m时，y随着x的增大而增大，写出一个满足题意的m的值为.

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15. 某个函数具有性质：当 $x < 0$ 时， $y$ 随 $x$ 的增大而增大，这个函数的表达式可以是（只要写出一个符合题意的答案即可）.

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16. 点 $(m ， y_{1})$ ， $(m + 1 ， y_{2})$ 都在函数 $y = k x + b$ （ $k \neq 0$ ）的图象上，若 $y_{1} - y_{2} = 2$ ，则 $k =$ .

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17. 已知二次函数y＝4x²﹣mx+5，当x≤﹣2时，y随x的增大而减小；当x≥﹣2时，y随x的增大而增大，则当x＝1时，y的值为.

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18. 已知点P(a，b)在直线 $y = \frac{1}{2} x - 1$ 上，点Q(﹣a，2b)在直线y=x+1上，则代数式a²﹣4b²﹣1=.

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19. 下列关于二次函数 $y = x^{2} - (m + 1) x + m$ （ $m$ 为常数）的结论：①该函数图象是开口向上的抛物线；②该函数图象一定经过点 $(1 ， 0)$ ；③该函数图象与 $x$ 轴有两个公共点；④该函数图象的顶点在函数 $y = - {(x - 1)}^{2}$ 的图象上.其中所有正确结论的序号是.

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20. 在平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标均为整数的点称为整点.若反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k > 0)$ 与二次函数 $y = - 4 x^{2} + 16 x - 12$ 的图象在第一象限围成的封闭图形（不包括边界）内有且仅有2个整点，则实数 $k$ 的取值范围为.

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21. 从数﹣2，1，2，5，8中任取一个数记作k，则正比例函数y=kx的图象经过第二、四象限的概率是.

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22. 已知A、B两点为反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k < 0)$ 的图象上的动点，他们关于y轴的对称点恰好落在直线 $y = x + 2 m + 1$ 上，若点A、B的坐标分别为 $(x_{1} ， y_{1}) ， (x_{2} ， y_{2})$ 且 $x_{1} + x_{2} \neq 0$ ，则 $\frac{y_{1} + y_{2}}{x_{1} + x_{2}} =$ .

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23. 如图，菱形 $A B C D$ 顶点 $A$ 在函数 $y = \frac{12}{x}$ $(x > 0)$ 的图象上，函数 $y = \frac{k}{x}$ $(k > 12 ， x > 0)$ 的图象关于直线 $A C$ 对称，且经过点 $B$ ， $D$ 两点，若 $A B = 4$ ， $∠ D A B = 30 °$ ，则 $k$ 的值为.

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24. 如图所示，二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的图象与 $x$ 轴交于点 $(3 ， 0)$ ，对称轴为直线 $x = 1$ .则方程 $c x^{2} + b x + a = 0$ 的两个根为.

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二、综合题

25. 二次函数 $y = a x^{2} + b x + a (a < 0)$ 的图象与y轴交于点A，将点A向右平移4个单位长度，得到点B，点B在二次函数 $y = a x^{2} + b x + a (a < 0)$ 的图象上．

(1)、求点B的坐标（用含a的代数式表示）；

(2)、二次函数的对称轴是直线；

(3)、已知点( $m - 1$ ， $y_{1}$ )，( $m$ ， $y_{2}$ )，( $m + 2$ ， $y_{3}$ )在二次函数 $y = a x^{2} + b x + a (a < 0)$ 的图象上．若 $0 < m < 1$ ，比较 $y_{1}$ ， $y_{2}$ ， $y_{3}$ 的大小，并说明理由．

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26. 如图，已知二次函数y=ax²+bx+c的图象过点A(−1，0)和点B(0，3)，对称轴为直线x=1.

(1)、求该二次函数的解析式；

(2)、若0≤x≤4求函数y的取值范围；

(3)、点C为点B关于抛物线对称轴的对称点，直线y=mx+n经过A、C两点，根据图象直接写出满足ax²+bx+c>mx+n的x的取值范围.

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27. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知二次函数 $y = - m x^{2} + 4 m x - 8 (m \neq 0)$ .

(1)、若 $m > 0$ ，当 $- 1 \leq x \leq 4$ 时，函数图象的最低点 $M$ 的纵坐标为-18，求 $m$ 的值；

(2)、若该函数图象上有两点 $A (x_{1} ， y_{1}) B (x_{2} ， y_{2})$ ，设 $n \leq x_{1} \leq n + 2$ ，当 $x_{2} \geq 6$ 时，总有 $y_{1} \leq y_{2}$ ，求 $n$ 的取值范围；

(3)、已知 $A (- 4 ， 0)$ 和 $B (6 ， 0)$ ，若抛物线与线段 $A B$ 只有一个公共点，求 $m$ 的取值范围.

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28. 已知 $P_{1} (x_{1} ， y_{1}) ， P_{2} (x_{2} ， y_{2})$ ，其中 $x_{1} < x_{2}$ .

(1)、（实践操作）
若 $P_{1} ， P_{2}$ 是抛物线 $y = x^{2} - 2 x$ 上的点，下列命题正确的有.
①若 $| x_{1} - 1 | > | x_{2} - 1 |$ ，则 $y_{1} > y_{2}$ ；

②若 $| x_{1} - 1 | > | x_{2} - 1 |$ ，则 $y_{1} < y_{2}$ ；

③若 $| x_{1} - 1 | = | x_{2} - 1 |$ ，则 $y_{1} = y_{2}$ ；

④若 $| x_{1} - 1 | < | x_{2} - 1 |$ ，则 $y_{1} > y_{2}$ ；

(2)、（实践思考）
若 $P_{1} ， P_{2}$ 是抛物线 $y = a x^{2} + b x + c (a > 0)$ 上的点，对称轴为直线 $x = t$ .
若 $| x_{1} - t |$ $| x_{2} - t | ， y_{1} > y_{2}$ ；

若 $| x_{1} - t |$ $| x_{2} - t | ， y_{1} = y_{2}$ ；

若 $| x_{1} - t |$ $| x_{2} - t |$ ，则 $y_{1} < y_{2}$ .

(3)、（实践应用）
在（2）的条件下，
①若该抛物线的对称轴为直线 $x = 1$ ，当 $x_{1} ， x_{2}$ 为何值时， $y_{1} = y_{2} = c$ ；

②若对于 $x_{1} + x_{2} < 3$ ，都有 $y_{1} < y_{2}$ ，求t的取值范围.

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29. 已知抛物线G： $y = m x^{2} - 2 m x - 3$ 有最低点.

(1)、求二次函数 $y = m x^{2} - 2 m x - 3$ 的最小值（用含m的式子表示）；

(2)、将抛物线G向右平移m个单位得到抛物线G_1.经过探究发现，随着m的变化，抛物线G₁顶点的纵坐标y与横坐标x之间存在一个函数关系，求这个函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

(3)、记（2）所求的函数为H，抛物线G与函数H的图象交于点P，结合图象，求点P的纵坐标的取值范围.

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30. 如图，一次函数 $y = \sqrt{3} x + b$ 的图象与 $x$ 轴的负半轴交于点 $A (- 2 \sqrt{3} ， 0)$ ，与 $y$ 轴的正半轴相交于点 $B$ ， $△ O A B$ 的外接圆的圆心为点 $C$ .

(1)、求点 $B$ 的坐标，并求 $∠ B A O$ 的大小；

(2)、求图中阴影部分的面积（结果保留根号）.

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31. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $y = - \frac{4}{3} x + 4$ 与x轴、y轴分别交于点A、点B，点D在y轴的负半轴上，若将 $△ D A B$ 沿直线 $A D$ 折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点C处.

(1)、求 $A B$ 的长和点C的坐标；

(2)、求直线 $C D$ 的解析式.

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32. 已知抛物线 $y = x^{2} + b x + a - 1$ 过点 $(2 + a ， m) ， (2 - a ， m) ， (a ， n)$

(1)、求b的值；

(2)、当 $0 < a < 2$ 时，请确定m，n的大小关系；

(3)、若当 $0 < a \leq x \leq 2 + a$ 时，y有最小值3，求 $a$ 的值.

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33. 在平面直角坐标系中，直线 $y = k x + 2 k (k < 0)$ 与 $x$ 轴交于点 $A$ ，与 $y$ 轴交于点 $P$ ，过点 $A$ 作 $x$ 轴的垂线，交反比例函数 $y = - \frac{8}{x} (x < 0)$ 图象于点 $B$ .

(1)、求点 $A$ 的坐标；

(2)、若四边形 $A B O P$ 为平行四边形，求直线 $y = k x + 2 k$ 的函数关系式；

(3)、在（2）问的条件下，直接写出关于 $x$ 的不等式 $k x + 2 k + 4 + \frac{8}{x} < 0$ 的解集.

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34. 如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax²+（2a﹣ma）x﹣2am（a＜0）与x轴分别交于点A、C，顶点坐标为D.

(1)、当a＝﹣1，m＝1时.
①求点D的坐标；

②若F为线段AD上一动点，过点F作FH⊥x轴，垂足为H，交抛物线于点P，当PH+OH的值最大时，求点F的坐标.

(2)、当m＝ $\frac{2}{3}$ 时，若另一个抛物线y＝ax²﹣（6a+ma）x+6am的顶点为E.试判断直线AD是否经过点E？请说明理由.

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