备考2022届中考数学全国精选题汇编专题8 函数与几何的综合运用

试卷更新日期：2022-02-21 类型：一轮复习

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一、单选题

1. 如图，点A在反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 图象上， $A B ⊥ x$ 轴于点B ， C是OB 的中点，连接 AO ， AC ，若 $△ A O C$ 的面积为2，则k= （）

A、4 B、8 C、12 D、16

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2. 如图，矩形ABCD各边中点分别是E、F、G、H，AB＝2 $\sqrt{3}$ ，BC＝2，M为AB上一动点，过点M作直线l⊥AB，若点M从点A开始沿着AB方向移动到点B即停（直线l随点M移动），直线l扫过矩形内部和四边形EFGH外部的面积之和记为S.设AM＝x，则S关于x的函数图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 如图，在同一平面直角坐标系中，直线y＝t（t为常数）与反比例函数y₁ $= \frac{4}{x}$ ，y₂ $= - \frac{1}{x}$ 的图象分别交于点A，B，连接OA，OB，则△OAB的面积为（）

A、5t B、 $\frac{5 t}{2}$ C、 $\frac{5}{2}$ D、5

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4. 如图.在平面直角坐标系中，△AOB的面积为 $\frac{27}{8}$ ，BA垂直x轴于点A，OB与双曲线y＝ $\frac{k}{x}$ 相交于点C，且BC∶OC＝1∶2，则k的值为（）

A、﹣3 B、﹣ $\frac{9}{4}$ C、3 D、 $\frac{9}{2}$

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5. 如图，点A、B分别是反比例函数y= $\frac{k_{1}}{x}$ 、y= $\frac{k_{2}}{x}$ 图象上的点，当∠AOB=90°时tanA=3，则 $\frac{k_{1}}{k_{2}}$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{9}$ B、 $- \frac{1}{9}$ C、9 D、-9

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6. 在平面直角坐标系中，将一次函数 $y = 2 x + 1$ 的图象向左平移1个单位长度，得到的图象对应的函数表达式是（）

A、 $y = 2 x + 2$ B、 $y = 2 x + 3$ C、 $y = 2 x$ D、 $y = 2 x - 1$

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7. 如图，过反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x < 0)$ 的图象上的一点P作 $P Q ⊥ x$ 轴，垂足为Q，连接 $P O$ .若 $△ O P Q$ 的面积是2，则k的值是（）

A、4 B、-4 C、2 D、-2

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8. 如图，已经点 $A$ 在反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x < 0)$ 上，点 $B$ ， $C$ 在 $x$ 轴上，使得 $∠ A B C = 90 °$ ，点 $D$ 在线段 $A C$ 上，且满足 $2 C D = 3 A D$ ，连接 $D B$ 并延长交 $y$ 轴于点 $E$ .若 $△ B C E$ 的面积为6，则 $k$ 的值为（）

A、-5 B、-6 C、-8 D、-7

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9. 如图，直线 $y = - \frac{1}{3} x$ 与双曲线 $y = \frac{k}{x} (k < 0 ， x < 0)$ 交于点A，将直线 $y = - \frac{1}{3} x$ 向上平移2个单位长度后，与y轴交于点C，与双曲线交于点B，若 $O A = 3 B C$ ，则k的值为（）

A、 $- \frac{27}{4}$ B、-7 C、 $- \frac{65}{8}$ D、 $- \frac{27}{16}$

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10. 如图5，在反比例函数 $y = - \frac{2}{x}$ 的图象上有一动点 $A$ ，连接 $A O$ 并延长交图象的另一支于点 $B$ ，在第一象限内有一点C，满足 $A C = B C$ ，当点 $A$ 运动时，点 $C$ 始终在函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象上运动，若 $\tan ∠ C A B = 2$ ，则 $k$ 的值为（）

A、2 B、4 C、6 D、8

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11. 如图，直线 $y = - \frac{1}{4} x$ 与双曲线 $y = \frac{k}{x}$ （k＜0，x＜0）交于点A，将直线 $y = - \frac{1}{4} x$ 向上平移2个单位长度后，与y轴交于点C，与双曲线交于点B，若OA=2BC，则k的值为（）

A、 $- \frac{64}{9}$ B、－7 C、 $- \frac{65}{8}$ D、 $- \frac{22}{3}$

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12. 如图，点 $B$ 在反比例函数 $y = - \frac{6}{x}$ （ $x < 0$ ）的图象上，点 $C$ 在反比例函数 $y = \frac{2}{x}$ （ $x < 0$ ）的图象上，且 $B C // y$ 轴， $A C ⊥ B C$ ，垂足为点 $C$ ，交 $y$ 轴于点 $A$ .则 $△ A B C$ 的面积为（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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13. 如图，反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ (x>0)的图象经过□OABC的顶点C和对角线的交点E，顶点A在x轴上，若□OABC的面积为18，则k的值为（）

A、8 B、6 C、4 D、2

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14. 如图， $▱ A B C D$ 的顶点 $B$ 在 $y$ 轴上，横坐标相等的顶点 $A$ 、 $C$ 分别在 $y = \frac{k_{1}}{x}$ 与 $y = \frac{k_{2}}{x}$ 图象上，则 $▱ A B C D$ 的面积为（）

A、 $\frac{1}{2} (k_{1} + k_{2})$ B、 $k_{1} + k_{2}$ C、 $\frac{1}{2} (k_{1} - k_{2})$ D、 $k_{1} - k_{2}$

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二、填空题

15. 如图，矩形 $A B O C$ 的顶点 $A$ 在反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象上，矩形 $A B O C$ 的面积为3，则 $k =$ ；

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16. 如图，平行于y轴的直线与函数y₁ $= \frac{k}{x}$ （x＞0）和y₂ $= \frac{2}{x}$ （x＞0）的图象分别交于A、B两点，OA交双曲线y₂ $= \frac{2}{x}$ 于点C，连接CD，若 $△$ OCD的面积为2，则k＝.

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17. 如图，平行四边形ABCO的边AB的中点F在y轴上，对角线AC与y轴交于点E，若反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ （x＞0）的图象恰好经过AF的中点D，且△AEO的面积为6，则k的值为.

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18. 如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点P是AB边上一点，且AP=2，动点M从点P出发，沿P→B→C运动，作∠AMQ＝∠B与AC相交于点Q，则在点M运动的过程中，点Q的运动路径长为.

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19. 已知一次函数y＝ $\frac{1}{2}$ x＋1的图象与y轴交于点A，将该函数图象绕点A旋转45°，旋转后的图象对应的函数关系式是.

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20. 如图，点 $A$ 是反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 图象上第二象限内的一点， $A B ⊥ x$ 轴于点 $B$ ，若 $△ A B O$ 的面积为6，则 $k$ 的值为.

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21. 如图，已知 $A$ 为反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x < 0)$ 的图象上一点，过点 $A$ 作 $A B ⊥ y$ 轴，垂足为 $B$ .若 $△ O A B$ 的面积为3，则 $k$ 的值为.

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22. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ，点 $A$ 在反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k > 0 ， x > 0)$ 的图象上，点B、C在 $x$ 轴上， $O C = \frac{1}{5} O B$ ，延长 $A C$ 交 $y$ 轴于点 $D$ ，连接 $B D$ ，若 $△ B C D$ 的面积等于1，则 $k$ 的值为.

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三、综合题

23. 如图，一次函数 $y = k x - 2 k (k \neq 0)$ 的图象与反比例函数 $y = \frac{m - 1}{x} (m - 1 \neq 0)$ 的图象交于点 $C$ ，与 $x$ 轴交于点 $A$ ，过点 $C$ 作 $C B ⊥ y$ 轴，垂足为 $B$ ，若 $S_{△ A B C} = 3$ .

(1)、求点 $A$ 的坐标及 $m$ 的值；

(2)、若 $A B = 2 \sqrt{2}$ ，求一次函数的表达式.

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24. 如图，已知抛物线y＝a（x﹣3）（x+6）过点A（﹣1，5）和点B（﹣5，m）与x轴的正半轴交于点C.

(1)、求a，m的值和点C的坐标；

(2)、若点P是x轴上的点，连接PB，PA，当 $\frac{P B}{P A} = \frac{2}{5}$ 时，求点P的坐标；

(3)、在抛物线上是否存在点M，使A，B两点到直线MC的距离相等？若存在，求出满足条件的点M的横坐标；若不存在，请说明理由.

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25. 如图，一次函数y＝x＋2的图象与反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象相交，其中一个交点的横坐标是1.

(1)、求k的值；

(2)、若将一次函数y＝x＋2的图象向下平移4个单位长度，平移后所得到的图象与反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象相交于A，B两点，求此时线段AB的长.

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26. 如图，直线 $y = \frac{1}{2} x + 1$ 与 $x$ ， $y$ 轴分别交于 $B$ ， $A$ ，顶点为 $P$ 的抛物线 $y = a x^{2} - 2 a x + c$ 过点 $A$ .

(1)、求出点 $A$ ， $B$ 的坐标及 $c$ 的值；

(2)、若函数 $y = a x^{2} - 2 a x + c$ 在 $3 \leq x \leq 4$ 时有最大值为 $a + 2$ ，求 $a$ 的值；

(3)、连接 $A P$ ，过点 $A$ 作 $A P$ 的垂线交 $x$ 轴于点 $M$ .设 $△ B M P$ 的面积为 $S$ .
①直接写出 $S$ 关于 $a$ 的函数关系式及 $a$ 的取值范围；

②结合 $S$ 与 $a$ 的函数图象，直接写出 $S > \frac{1}{8}$ 时 $a$ 的取值范围.

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27. 抛物线 $y = a x^{2} - 2 b x + b$ （ $a \neq 0$ ）与 $y$ 轴相交于点 $C (0 ， - 3)$ ，且抛物线的对称轴为 $x = 3$ ， $D$ 为对称轴与 $x$ 轴的交点.

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、在 $x$ 轴上方且平行于 $x$ 轴的直线与抛物线从左到右依次交于 $E$ 、 $F$ 两点，若 $△ D E F$ 是等腰直角三角形，求 $△ D E F$ 的面积；

(3)、若 $P (3 ， t)$ 是对称轴上一定点， $Q$ 是抛物线上的动点，求 $P Q$ 的最小值（用含 $t$ 的代数式表示）.

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28. 如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 与 $x$ 轴交于 $A (- 2 ， 0)$ 、 $B (6 ， 0)$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C$ .直线 $l$ 与抛物线交于 $A$ 、 $D$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $E$ ，点 $D$ 的坐标为 $(4 ， 3)$ .

(1)、求抛物线的解析式与直线 $l$ 的解析式；

(2)、若点 $P$ 是抛物线上的点且在直线 $l$ 上方，连接 $P A$ 、 $P D$ ，求当 $Δ P A D$ 面积最大时点 $P$ 的坐标及该面积的最大值；

(3)、若点 $Q$ 是 $y$ 轴上的点，且 $∠ A D Q = 45 °$ ，求点 $Q$ 的坐标.

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29. 在平面直角坐标系中，抛物线 $y = a x^{2} + b x - 3$ 交x轴于点 $A (- 1 ， 0)$ ， $B (3 ， 0)$ ，过点B的直线 $y = \frac{2}{3} x - 2$ 交抛物线于点C．

(1)、求该抛物线的函数表达式；

(2)、若点P是直线BC下方抛物线上的一个动点（P不与点B ， C重合），求 $△ P B C$ 面积的最大值；

(3)、若点M在抛物线上，将线段OM绕点O旋转90°，得到线段ON ，是否存在点M ，使点N恰好落在直线BC上？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

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30. 如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 经过点 $A (- 2 ， 0)$ ， $B (4 ， 0)$ ，与y轴正半轴交于点C ，且 $O C = 2 O A$ ．抛物线的顶点为D ，对称轴交x轴于点E．直线 $y = m x + n$ 经过B ， C两点．

(1)、求抛物线及直线 $B C$ 的函数表达式；

(2)、点F是抛物线对称轴上一点，当 $F A + F C$ 的值最小时，求出点F的坐标及 $F A + F C$ 的最小值；

(3)、连接 $A C$ ，若点P是抛物线上对称轴右侧一点，点Q是直线 $B C$ 上一点，试探究是否存在以点E为直角顶点的 $R t △ P E Q$ ，且满足 $\tan ∠ E Q P = \tan ∠ O C A$ ．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

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31. 如图，在平面直角坐标系中，直线 $y = - \frac{1}{2} x + 2$ 与x轴交于点 $A$ ，与 $y$ 轴交于点 $B$ ，抛物线 $y = - \frac{1}{2} x^{2} + b x + c$ 经过 $A ， B$ 两点且与x轴的负半轴交于点 $C$ .

(1)、求该抛物线的解析式；

(2)、若点 $D$ 为直线 $A B$ 上方抛物线上的一个动点，当 $∠ A B D ＝ 2 ∠ B A C$ 时，求点 $D$ 的坐标；

(3)、已知 $E ， F$ 分别是直线 $A B$ 和抛物线上的动点，当 $B ， O ， E ， F$ 为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出所有符合条件的 $E$ 点的坐标.

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32. 已知反比例函数 $y_{1} = \frac{k}{x}$ 与正比例函数 $y_{2} = x$ 相交于 $A (2 ， 2)$ .

(1)、求 $k$ 值.

(2)、画出反比例函数的图象.

(3)、当 $y_{1} > y_{2}$ 时，直接写出 $x$ 的范围？

(4)、根据图象，解不等式 $\frac{k}{x} < x - 3$ .

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33. 如图，已知二次函数 $y = a x^{2} - 4 a x + 3 a$ （ $a > 0$ ）的图象与 $x$ 轴交于 $A$ ， $B$ 两点（点 $A$ 在点 $B$ 的左侧），与 $y$ 轴交于点 $C$ ，横坐标分别为 $m$ ， $n$ （ $m < n$ ）的 $D$ 、 $E$ 两点在线段 $B C$ 上（不与 $B$ 、 $C$ 重合），过 $D$ 、 $E$ 两点作 $x$ 轴的垂线分别交抛物线于点 $F$ 、 $G$ ，连接 $F G$ .

(1)、求线段 $A B$ 的值.

(2)、若四边形 $D E G F$ 是平行四边形；
①点 $D$ 、 $E$ 横坐标之和是否为定值，若是定值，请求出；若不是，请说明理由.

②当 $a = \frac{4}{3}$ 时，平行四边形 $D E G F$ 能否为菱形；若能，求出菱形的周长：若不能，请说明理由.

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34. 如图所示，抛物线 $y = a (x + 1) (x - 5) (a \neq 0)$ 的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C.

(1)、当 $a = - \frac{2}{5}$ 时，
①求点A、B、C的坐标；

②如果点P是抛物线上一点，点M是该抛物线对称轴上的点，当 $△ O M P$ 是以 $O M$ 为斜边的等腰直角三角形时，求出点P的坐标；

(2)、点D是抛物线的顶点，连接 $B D$ 、 $C D$ ，当四边形 $O B D C$ 是圆的内接四边形时，求a的值.

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35. 如图，已知抛物线 $y = a x^{2} + 4 a x - 3$ 与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，过点B的直线l与抛物线另一个交点为D，与y轴交于点E，且 $D E = 2 E B$ ，点A的坐标 $(- 6 ， 0)$ .

(1)、求抛物线的函数表达式；

(2)、若P是抛物线上的一点，P的横坐标为 $m (m < 0)$ ，过点P作 $P H ⊥ x$ 轴，垂足为H，直线 $P H$ 与l交于点M.
①若 $C M$ 将 $△ C H P$ 的面积分为1：2两部分，求点P的坐标；

②当 $m = - 2$ 时，直线 $P H$ 上是否存在一点Q，使 $∠ Q D B = 45 °$ ？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由

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36. 抛物线y＝x²+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣1，0），点C的坐标为（0，﹣3）.点P为抛物线y＝x²+bx+c上的一个动点.过点P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E.

(1)、求b、c的值；

(2)、设点F在抛物线y＝x²+bx+c的对称轴上，当△ACF的周长最小时，直接写出点F的坐标；

(3)、在第一象限，是否存在点P，使点P到直线BC的距离是点D到直线BC的距离的5倍？若存在，求出点P所有的坐标；若不存在，请说明理由.

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37. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=﹣ $\frac{2}{3}$ x+4的图象与x轴和y轴分别相交于A、B两点.动点P从点A出发，在线段AO上以每秒3个单位长度的速度向点O作匀速运动，到达点O停止运动，点A关于点P的对称点为点Q，以线段PQ为边向上作正方形PQMN.设运动时间为t秒.

(1)、当t= $\frac{1}{3}$ 秒时，点Q的坐标是；

(2)、在运动过程中，设正方形PQMN与△AOB重叠部分的面积为S，求S与t的函数表达式；

(3)、若正方形PQMN对角线的交点为T，请直接写出在运动过程中OT+PT的最小值.

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38. 如图①，将▱ABCD置于直角坐标系中，其中BC边在x轴上（B在C的左边），点D坐标为（0，4），直线MN： $y = \frac{3}{4} x - 6$ 沿着x轴的负方向以每秒1个单位的长度平移，设在平移过程中该直线被▱ABCD截得的线段长度为m，平移时间为t，m与t的函数图象如图②所示．

(1)、填空：点C的坐标为；在平移过程中，该直线先经过B、D中的哪一点？；（填“B”或“D”）

(2)、点B的坐标为， n＝，a＝；

(3)、在平移过程中，求该直线扫过▱ABCD的面积y与t的函数关系式．

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39. 如图1，已知二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的图象经过点 $A (- 1 ， 0)$ 点 $B (3 ， 0)$ 和点 $C (0 ， 2)$ ，连接 $A C$ ，线段 $A B$ 上有一动点P，过点P作 $A C$ 的平行线交直线 $B C$ 于点D，交抛物线于点E.

(1)、求二次函数的解析式；

(2)、移动点P，求线段 $D E$ 的最大值；

(3)、如图2，过点E作y轴的平行线 $E F$ 交 $B C$ 于点F，连接 $P C$ ，若以点C、D、P为顶点的三角形和 $△ E F D$ 是相似三角形，求此时点P坐标.

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40. 如图，平面直角坐标系 $x O y$ 中，抛物线 $y = - \frac{1}{2} x^{2} + b x + c$ 与 $x$ 轴交于 $A (- 1 ， 0)$ ， $B (4 ， 0)$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ .

(1)、 $b =$ ； $c =$ ；

(2)、若直线 $l$ 经过点 $C$ ，点 $A$ 关于直线 $l$ 的对称点 $A^{'}$ 恰好在线段 $B C$ 上，直线 $A A^{'}$ 与抛物线交于另一点 $E$ ；
①求点 $E$ 的坐标；

②点 $P (x_{0} ， y_{0})$ 是直线 $B E$ 上一点，若对于在第一象限内的抛物线 $y = - \frac{1}{2} x^{2} + b x + c$ 上的动点 $Q$ 始终有 $S_{△ Q C A^{'}} \leq S_{△ P C A}$ ，请直接写出 $x_{0}$ 的取值范围.

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41. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax²+bx+c的图象与x轴交于A（4，0），B两点，与y轴交于点C（0，2），对称轴x＝1，与x轴交于点H.

(1)、求抛物线的函数表达式；

(2)、直线y＝kx+1（k≠0）与y轴交于点E，与抛物线交于点P，Q（点P在y轴左侧，点Q在y轴右侧），连接CP，CQ，若△CPQ的面积为 $\sqrt{5}$ ，求点P，Q的坐标；

(3)、在（2）的条件下，连接AC交PQ于G，在对称轴上是否存在一点K，连接GK，将线段GK绕点G顺时针旋转90°，使点K恰好落在抛物线上？若存在，请直接写出点K的坐标；若不存在，请说明理由.

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