高中数学人教A版（2019）选择性必修二 5.1 导数的概念及意义

试卷更新日期：2022-02-20 类型：同步测试

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一、单选题

1. 若物体运动的方程为s= $\frac{1}{4}$ t⁴-3，则t=5时的瞬时速度为（）

A、5 B、25 C、125 D、625

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2. 若函数f(x)=e^xcosx，则此函数图象在点(1，f(1))处的切线的倾斜角为（）

A、0 B、锐角 C、 $\frac{π}{2}$ D、钝角

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3. 曲线y= $\frac{x - 1}{2 x + 1}$ 在(1，0)处的切线与直线l：y =ax垂直，则a=（）

A、-3 B、3 C、 $\frac{1}{3}$ D、- $\frac{1}{3}$

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4. 已知函数y= f(x)的图象如图所示，则f'(x_A)与f'(x_B)的大小关系是（）

A、f'(x_A)>f'(x_B) B、f'(x_A)<f'(x_B) C、f'(x_A)=f'(x_B) D、不能确定

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5. f(x)=3^x在x从1变到3时的平均变化率等于（）

A、12 B、24 C、2 D、-12

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6. 如果某物体的运动方程为s=2(1-t²)(s 的单位为m，t的单位为s)，那么它在1.2 s末的瞬时速度为（）

A、-4.8 m/s B、-0.88 m/s C、0.88 m/s D、4.8 m/s

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7. 已知曲线 $y = x^{4} + a x^{2} + 1$ 在点 $(- 1 ， a + 2)$ 处切线的斜率为8，则 $a =$ （）

A、9 B、6 C、-9 D、-6

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8. 函数 $f (x) = 2 x^{2} + 3$ 在下列区间上的平均变化率最大的是（）

A、[1，1.5] B、[1，2] C、[1，3] D、[1，1.05]

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9. 一个物体的运动满足曲线方程s =4t²＋2t-3，且s'(5)=42 m/s，其实际意义是（）

A、物体5s内共走过42m B、物体每5s运动42m C、物体从开始运动到第5s运动的平均速度是42 m/s D、物体以t=5 s时的瞬时速度运动的话，每经过1s，物体运动的路程为42 m

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10. 已知直线 $l$ 经过 $(- 1 ， 0) ， (0 ， 1)$ 两点，且与曲线 $y =$ $f (x)$ 相切于点 $A (2 ， 3)$ ，则 $\lim_{Δ x \to 0} \frac{f (2 + Δ x) - f (2)}{Δ x}$ 的值为（）

A、-2 B、-1 C、1 D、2

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11. 若可导函数 $f (x)$ 的图象过原点，且满足 $\lim_{Δ x \to 0} \frac{f (Δ x)}{Δ x} = - 1$ ，则 $f^{'} (0) =$ （）

A、-2 B、-1 C、1 D、2

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12. 曲线 $y = \frac{1}{3} x^{3} - 2$ 在点 $(- 1 ， - \frac{7}{3})$ 处的切线的倾斜角为（）

A、30° B、45° C、135° D、60°

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13. 曲线 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - x^{2} + 5$ 在 $x = 1$ 处的切线的倾斜角为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{3 π}{4}$ C、 $\frac{π}{4}$ D、 $\frac{π}{3}$

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二、填空题

14. 函数 $f (x) = - x^{2} + \frac{1}{x}$ 的图象在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线的斜率为．

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15. 曲线 $y = \sin x + 2 \cos x - 1$ 在点 $(\frac{π}{2} ， 0)$ 处的切线方程为.

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16. 已知函数y=f(x)的图象在点M(1，f(1))处的切线方程是y= $\frac{1}{2}$ x+2，则f(1)+f'(1)的值等于.

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17. 如图，函数y=f(x)的图象在点Р处的切线是l，则f(2)+ f'(2)=.

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18. 婴儿从出生到第24个月的体重变化如图，则婴儿体重在第年增长较快.

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三、解答题

19. 如果一个质点从固定点A开始运动，运动方程为y=f(t)=t³+3，求t=4时， $\lim_{Δ x \to \infty} \frac{Δ y}{Δ t}$ 的值.

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20. 求曲线y=x²在点(2，4)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积.

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21. 求 $y = \ln (2 x + 3)$ 的导数，并求曲线在点 $(- \frac{1}{2} ， \ln 2)$ 处切线的倾斜角.

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22. 航天飞机升空后一段时间内，第 $t s$ 时的高度为 $h (t) = 5 t^{3} + 30 t^{2} + 45 t + 4$ ，其中h的单位为m，t的单位为s.

(1)、h(0)、h(1)、h(2)分别表示什么?

(2)、求第 $2 s$ 内的平均速度.

(3)、求第 $2 s$ 末的瞬时速度.

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