江苏省常州市溧阳市2021-2022学年九年级上学期期末数学试卷

试卷更新日期：2022-02-18 类型：期末考试

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一、单选题

1. 一个黑色布袋中装有3个红球和2个白球，这些球除颜色外其它都相同，从袋子中随机摸出一个球，这个球是白球的概率是（）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{2}{5}$

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2. 数据1，2，3，4，5的方差是（）

A、 $\sqrt{2}$ B、2 C、3 D、5

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3. 在Rt△ABC中，斜边AB的长为m，∠B=40° ，则直角边AC的长是（）

A、m sin40° B、mcos40° C、mtan 40° D、 $\frac{m}{\tan 40 °}$

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4. 抛物线y=x²+2x-3与x轴两个交点间的距离是（）

A、2 B、-2 C、4 D、-4

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5. 《九章算术》是我国古代著名数学著作，书中记载：“今有圆材，埋在壁中，不知大小以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用数学语言可表述为：“如图， $C D$ 为 $⊙ O$ 的直径，弦 $A B ⊥ D C$ 于 $E$ ， $E D = 1$ 寸， $A B = 10$ 寸，求直径 $C D$ 的长.”则 $C D =$ （）

A、 $13$ 寸 B、 $20$ 寸 C、 $26$ 寸 D、 $28$ 寸

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6.
如图，已知⊙O的半径为1，AB与⊙O相切于点A，OB与⊙O交于点C，CD⊥OA，垂足为D，则cos∠AOB的值等于（　　）

A、OD B、OA C、CD D、AB

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7. 如图是王阿姨晚饭后步行的路程s(单位：m)与时间t(单位：min)的函数图象，其中曲线段AB是以B为顶点的抛物线一部分.下列说法不正确的是（）

A、25min~50min，王阿姨步行的路程为800m B、线段CD的函数解析式为 $s = 32 t + 400 （ 25 \leq t \leq 50 ）$ C、5min~20min，王阿姨步行速度由慢到快 D、曲线段AB的函数解析式为 $s = - 3 （ t - 20 ）^{2} + 1200 （ 5 \leq t \leq 20 ）$

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8. 已知点 $P (- 2 ， y_{1}) ， Q (4 ， y_{2}) ， M (m ， y_{3})$ 均在抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 上，其中 $2 a m + b = 0$ .若 $y_{3} \geq y_{2} > y_{1}$ ，则m的取值范围是（）

A、 $m < - 2$ B、 $m > 1$ C、 $- 2 < m < 1$ D、 $1 < m < 4$

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二、填空题

9. 已知 $∠ α$ 为锐角，且 $\tan α = \sqrt{3}$ ，那么 $∠ α$ 等于.

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10. 二次函数y=x²-2x+1的顶点坐标是.

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11. 如果两个相似三角形的周长比是1︰4，那么它们的面积比是.

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12. 若一元二次方程x²-4x+k+2=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是.

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13. 若直线y =ax+b（ab≠0）不经过第三象限，那么抛物线y=ax²+bx顶点在第象限.

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14. 如图，AB是半圆O的弦，DE是直径，过点B的切线BC与⊙O相切于点B，与DE的延长线交于点C，连接BD，若四边形OABC为平行四边形，则∠BDC的度数为.

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15. 如图，在边长为1的正网格中，A、B、C都在格点上，AB与CD相交于点D，则sin ∠ADC= .

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16. 如图AB为⊙O的直径，点P为AB延长线上的点，过点P作⊙O的切线PE，切点为M，过A、B两点分别作PE垂线AC、BD，垂足分别为C、D，连接AM，则下列结论正确的是（写所有正确论的号）
①AM平分∠CAB；② $\frac{A C}{A M} = \frac{A M}{A B}$ ；③若AB=4，∠APE=30°，则 $\overset{⌢}{B M}$ 的长为 $\frac{π}{3}$ ；④若AC=3BD，则有tan∠MAP= $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

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17. 如图，正方形ABCD是边长为2，点E、F是AD边上的两个动点，且AE=DF，连接BE、CF，BE与对角线AC交于点G，连接DG交CF于点H，连接BH，则BH的最小值为.

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三、解答题

18. 老李有一块长方形菜地（长大于宽），面积为180m² ，他利用菜地宽处修了一个宽为3m的蓄水池，修完后老李发现他的菜地刚好变成一个正方形菜地.那么老李原来的菜地周长为m.

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19. 解下列方程：

(1)、 $x^{2} - 2 x - 8 = 0$

(2)、 ${(x - 1)}^{2} = (x - 1)$

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20. 计算：

(1)、 $4 tan 45 ° - \sqrt{3} (\sin 60 ° + \cos 30 °)$

(2)、 $\frac{1 -cos 60 °}{3 tan 30 °}$

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21. 如图所示，可以自由转动的转盘被3等分，指针落在每个扇形内的机会均等（指针停在分割线上再转一次）.

(1)、现随机转动转盘一次，停止后，指针指向1的概率为.

(2)、小明和小华利用这个转盘做游戏，若采用下列游规则：随机转动转盘两次、停止后，指针各指向一个数字，若两数之积为偶数，则小明胜；否则小华胜.你认为对双方公平吗？请用列表或画树状图的方法说明理由.

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22.

(1)、在△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，BC=8，求AB和AC的长；

(2)、在△ABC中，∠C=90°，a= $\sqrt{6}$ ，b=3 $\sqrt{2}$ ，解这个直角三角形.

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23. 某水果批发商场经销一种水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现.在进货价不变的情况下，若每千克涨价一元.日销售量将减少20千克.

(1)、现要保证每天盈利6000元，同时又要让顾客得到实惠，则每千克应涨价多少元？

(2)、若该商场单纯从经济角度看，那么每千克应涨价多少元，能使商场获利最多.

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24. 如图AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，作∠FAC=∠BAC，过点C作CF⊥AF于点F.

(1)、求证：CF是⊙O的切线；

(2)、若sin∠CAB= $\frac{2}{5}$ ，求 $\frac{S_{△ B C D}}{S_{△ A F C}}$ =.（直接写出答案）

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25. 小王是一名经验丰富的户外搜救人员，某日小王接到搜救任务去山里救助一名受伤的户外运动员；来到这座山的东侧A处，为了方便确定受伤人员具体位置，他在A处向上放出一架无人机搜寻，该无人机以每分钟60m的速度沿着仰角为60°的方向上升，5分钟后升到B处，这时小王通过无人机发现受伤人员在他的正西方向，且从无人机上看，受伤人员在它的俯角为45°方向，求小王与受伤人员间AC的距离.（结果保留根号）

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26. 如图1抛物线y=-x²+bx+c与x轴交于点A（-1，0）、B（3，0），与y轴交于点C顶点为D，对称轴交x轴于点Q，过C、D两点作直线CD.

(1)、求抛物线的函数表达式；

(2)、如图2，连接CQ、CB，点P是抛物线上一点，当∠DCP=∠BCQ时，求点P的坐标；

(3)、若点M是抛物线的对称轴上的一点，以点M为圆心的圆经过A、B两点，且与直线CD相切，求点M的坐标.

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