河南省南阳市南召县2021-2022学年九年级上学期期末数学试卷

试卷更新日期：2022-02-18 类型：期末考试

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一、单选题

1. 下列各式化简后的结果为3 $\sqrt{2}$ 的是（）

A、 $\sqrt{6}$ B、 $\sqrt{12}$ C、 $\sqrt{18}$ D、 $\sqrt{36}$

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2. 方程 $(x - 2) (x + 3) = 0$ 的根是（）

A、 $x_{1} = 2, x_{2} = - 3$ B、 $x_{1} = - 2, x_{2} = - 3$ C、 $x_{1} = 2, x_{2} = 3$ D、 $x_{1} = - 2, x_{2} = 3$

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3. 如图，在平面直角坐标系中，将 $△$ OAB以原点O为位似中心放大后得到 $△$ OCD，若B（0，1），D（0，3），则 $△$ OAB与 $△$ OCD的面积比是（）

A、2：1 B、1：3 C、1：9 D、9：1

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4. 将二次函数y=x²﹣2x+3化为y=（x﹣h）²+k的形式，结果为（）

A、y=（x+1）²+4 B、y=（x﹣1）²+4 C、y=（x+1）²+2 D、y=（x﹣1）²+2

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5. 如图，两根竹竿AB和AD斜靠在墙CE上，量得∠ABC=α ， ∠ADC=β ，则竹竿AB与AD的长度之比为（）

A、 $\frac{\tan α}{\tan β}$ B、 $\frac{\sin β}{\sin α}$ C、 $\frac{\sin α}{\sin β}$ D、 $\frac{\cos β}{\cos α}$

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6. 已知(﹣3， $y_{1}$ )，(﹣2， $y_{2}$ )，(1， $y_{3}$ )是抛物线 $y = - 3 x^{2} - 12 x + m$ 上的点，则（）

A、 $y_{3}$ $<$ $y_{2}$ $<$ $y_{1}$ B、 $y_{3}$ $<$ $y_{1}$ $<$ $y_{2}$ C、 $y_{2}$ $<$ $y_{3}$ $<$ $y_{1}$ D、 $y_{1}$ $<$ $y_{3}$ $<$ $y_{2}$

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7. 用※定义一种新运算：对于任意实数m和n，规定m※n＝m²n－mn－3n，如：1※2＝1²×2－1×2－3×2＝－6.则（－2）※ $\sqrt{3}$ 结果为（）

A、 $3 \sqrt{3}$ B、 $- 2 \sqrt{3}$ C、 $3 \sqrt{2}$ D、 $2 \sqrt{3}$

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8. 在大力发展现代化农业的形势下，现有

A

、

B

两种新玉米种子，为了了解它们的出芽情况，在推广前做了五次出芽实验，每次随机各自取相同种子数，在相同的培育环境中分别实验，实验情况记录如下：

种子数量		100	300	500	1000	3000
$A$	出芽率	0.99	0.94	0.96	0.98	0.97
$B$	出芽率	0.99	0.95	0.94	0.97	0.96

下面有三个推断：

①当实验种子数量为100时，两种种子的出芽率均为0.99，所以 $A$ 、 $B$ 两种新玉米种子出芽的概率一样；

②随着实验种子数量的增加， $A$ 种子出芽率在0.97附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计A种子出芽的概率是0.97；

③在同样的地质环境下播种， $A$ 种子的出芽率可能会高于 $B$ 种子．其中合理的是（）

A、①②③ B、①② C、①③ D、②③

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9. 二次函数

y = a x^{2} + b x + c

（

a \neq 0

）的图象是抛物线G，自变量x与函数y的部分对应值如下表：

x	…	﹣5	﹣4	﹣3	﹣2	﹣1	0	…
y	…	4	0	﹣2	﹣2	0	4	…

下列说法正确的是（）

A、抛物线G的开口向下 B、抛物线G的对称轴是直线

x = - 2

C、抛物线G与y轴的交点坐标为（0，4） D、当x＞﹣3时，y随x的增大而增大

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10. 如图，已知菱形OABC的顶点O（0，0），B（2，2），菱形的对角线的交于点D；若将菱形OABC绕点O逆时针旋转，每秒旋转45°，从如图所示位置起，经过60秒时，菱形的对角线的交点D的坐标为（）

A、（1，1） B、（﹣1，﹣1） C、（-1，1） D、（1，﹣1）

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二、填空题

11. 林业部门要考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，下表是这种幼树在移植过程中的一组数据：
移植的棵数n
1000
1500
2500
4000
8000
15000
20000
30000
成活的棵数m
865
1356
2220
3500
7056
13170
17580
26430
成活的频率 $\frac{m}{n}$
0.865
0.904
0.888
0.875
0.882
0.878
0.879
0.881
估计该种幼树在此条件下移植成活的概率为．

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12. 如图，为了测量操场上一棵大树的高度，小英拿来一面镜子，平放在离树根部5m的地面上，然后她沿着树根和镜子所在的直线后退，当她后退1m时，正好在镜中看见树的顶端．小英估计自己的眼睛到地面的距离为1.6m，则大树的高度是m．

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13. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，过点P（0，2）作直线 $y = \frac{1}{2} x + b$ （b为常数且b<2）的垂线，垂足为点 $Q$ ，则sin∠OPQ=.

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14. 如图，已知函数 $y = - \frac{3}{x}$ 与 $y = a x^{2} + b x (a > 0 ， b > 0)$ 的图象交于点 $P$ ，点 $P$ 的纵坐标为1，则关于 $x$ 的方程 $a x^{2} + b x + \frac{3}{x} = 0$ 的解为.

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15. 点P（m，n）在以y轴为对称轴的二次函数y=x²+ax+4的图象上，则m-n的最大值为.

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三、解答题

16.

(1)、计算：4sin30°﹣ $\sqrt{2}$ cos45°﹣ $\sqrt{3}$ tan30°+2sin60°

(2)、计算： ${(\sqrt{3} + 2)}^{2021} {(\sqrt{3} - 2)}^{2022} - \sqrt{27} (1 - \sqrt{3})$

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17. 关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} + m x + n = 0$ ．

(1)、若方程有两个相等的实数根用含 $m$ 的代数式表示 $n$ ；

(2)、若方程有两个不相等的实数根，且 $m = - 4$ ．
①求 $n$ 的取值范围；

②写出一个满足条件的 $n$ 的值，并求此时方程的根．

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18. 根据公安部交管局下发的通知，春节前开展一次“一带一盔”安全守护行动，其中要求骑行摩托车、电动车需要佩戴头盔，某日交警部门在某个十字路口共拦截了50名不带头盔的骑行者，根据年龄段和性别得到如下表的统计信息，根据表中信息回答下列问题：

年龄x（岁）	人数	男性占比
x＜20	4	50%
20≤x＜30	m	60%
30≤x＜40	25	60%
40≤x＜50	8	75%
x≥50	3	100%

(1)、统计表中m的值为；

(2)、若要按照表格中各年龄段的人数来绘制扇形统计图，则年龄在“30≤x＜40”部分所对应扇形的圆心角的度数为；

(3)、若从年龄在“x＜20”的4人中随机抽取2人参加交通安全知识学习，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到1名男性和1名女性的概率.

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19. 如图，在 $△$ ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，连接DE.

(1)、若AD•AB＝AE•AC.求证： $△$ ADE∽ $△$ ACB；

(2)、若AB=8，AC=6，AD=3，直接写出：当AE=时， $△$ ADE与 $△$ ACB相似.

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20. （材料阅读）2020年5月27日，2020珠峰高程测量登山队成功登顶珠穆朗玛峰，将用中国科技“定义”世界新高度，其基本原理之一是三角高程测量法，在山顶上立一个标杆，找到2个以上测量点，分段测量山的高度，再进行累加.因为地球面并不是水平的，光线在空气中会发生折射，所以当两个测量点的水平距离大于300m时，还要考虑球气差，球气差计算公式为 $f = \frac{0.43 d^{2}}{R}$ （其中d为两点间的水平距离，R为地球的半径，R取6400000m），即：山的海拔高度=测量点测得山的高度+测量点的海拔高度+球气差.
（问题解决）某校科技小组的同学参加了一项野外测量某座山的海拔高度活动.如图，点A，B的水平距离d=800m，测量仪AC=1.5m，觇标DE=2m，点E，D，B在垂直于地面的一条直线上，在测量点A处用测量仪测得山顶标杆顶端E的仰角为37°，测量点A处的海拔高度为1800m.（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）.请你计算该山的海拔高度（要计算球气差，结果精确到0.01m）.

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21. 某公司生产A型活动板房成本是每个425元.图①表示A型活动板房的一面墙，它由长方形和抛物线构成，长方形的长AD=4米，宽AB=3米，抛物线的最高点E到BC的距离为4米.

(1)、按如图①所示的直角坐标系，抛物线可以用 $y = a x^{2} + c (a \neq 0)$ 表示.直接写出抛物线的函数表达式 .

(2)、现将A型活动板房改造为B型活动板房.如图②，在抛物线与AD之间的区域内加装一扇长方形窗户FGMN，点G，M在AD上，点N，F在抛物线上，窗户每平方米的成本为50元.已知GM=2米，直接写出：每个B型活动板房的成本是元.（每个B型活动板房的成本=每个A型活动板房的成本+一扇窗户FGMN的成本）

(3)、根据市场信息，这样的B型活动板房公司每月最多能生产 $160$ 个，若以单价 $650$ 元销售B型活动板房，每月能售出 $100$ 个；若单价每降低 $10$ 元，每月能多售出 $20$ 个这样的B型活动板房.不考虑其他因素，公司将销售单价 $n$ （元）定为多少时，每月销售B型活动板房所获利润 $w$ （元）最大？最大利润是多少？

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22. 如图，已知抛物线 $y = \frac{1}{3} x^{2} + b x + c$ 经过 $△$ ABC的三个顶点，其中点A（0，1），点B（-9，10）， $A C ∥ x$ 轴，点P是直线AC下方抛物线上的动点.

(1)、直接写出：b= ，c=；

(2)、过点P且与y轴平行的直线l与直线AB，AC分别交于点E，F，当四边形AECP的面积最大时，求点P的坐标；

(3)、当点P为抛物线的顶点时，在直线AC上是否存在点Q，使得以C，P，Q为顶点的三角形与 $△$ ABC相似，若存在，直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由.

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23. 如图，在 $Rt △ A B C$ 中，点 $P$ 为斜边 $B C$ 上一动点，将 $△ A B P$ 沿直线 $A P$ 折叠，使得点 $B$ 的对应点为 $B^{'}$ ，连接 $A B^{'}$ ， $C B^{'}$ ， $B B^{'}$ ， $P B^{'}$ .

(1)、如图①，若 $P B^{'} ⊥ A C$ ，证明： $P B^{'} = A B^{'}$ .

(2)、如图②，若 $A B = A C$ ， $B P = 3 P C$ ，求 $cos ∠ B^{'} A C$ 的值.

(3)、如图③，若 $∠ A C B = 30 °$ ，是否存在点 $P$ ，使得 $A B = C B^{'}$ .若存在，求此时 $\frac{P C}{B C}$ 的值；若不存在，请说明理由.

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移植的棵数n	1000	1500	2500	4000	8000	15000	20000	30000
成活的棵数m	865	1356	2220	3500	7056	13170	17580	26430
成活的频率 $\frac{m}{n}$	0.865	0.904	0.888	0.875	0.882	0.878	0.879	0.881