上海市静安区2021-2022学年九年级上学期期末数学试题

试卷更新日期：2022-02-17 类型：期末考试

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一、单选题

1. 下列实数中，有理数是（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $π$ C、 $\sqrt{4}$ D、 $\sqrt[3]{9}$

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2. 计算 $x \div 2 x^{2}$ 的结果是（）

A、 $\frac{2}{x}$ B、 $\frac{1}{2 x}$ C、 $\frac{x}{2}$ D、 $2 x$

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3. 已知点D、E分别在 $△ A B C$ 的边AB、AC的反向延长线上，且ED∥BC，如果AD：DB＝1：4，ED＝2，那么BC的长是（）

A、8 B、10 C、6 D、4

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4. 将抛物线 $y = x^{2} - 2 x$ 向左平移1个单位，再向上平移1个单位后，所得抛物线的顶点坐标是（）

A、 $(1 ， - 1)$ B、 $(- 1 ， 1)$ C、（1，0） D、（0，0）

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5. 如果锐角A的度数是25°，那么下列结论中正确的是（）

A、 $0 < s i n A < \frac{1}{2}$ B、 $0 < c o s A < \frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3} < t a n A < 1$ D、 $1 < c o t A < \sqrt{3}$

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6. 下列说法不正确的是（）

A、任意一个直角三角形都可以被分割成两个等腰三角形 B、任意一个等腰三角形都可以被分割成两个等腰三角形 C、任意一个直角三角形都可以被分割成两个直角三角形 D、任意一个等腰三角形都可以被分割成两个直角三角形

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二、填空题

7. -5的绝对值是．

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8. 如果 $\sqrt{3 - x}$ 在实数范围内有意义，那么实数 $x$ 的取值范围是

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9. 已知 $\frac{a}{2} = \frac{b}{3}$ ，那么 $\frac{b - a}{b + a}$ 的值是

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10. 已知线段AB＝2cm，点P是AB的黄金分割点，且AP＞PB，那么AP的长度是cm（结果保留根号）

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11. 如果某抛物线开口方向与抛物线 $y = \frac{1}{2} x^{2}$ 的开口方向相同，那么该抛物线有最点（填“高”或“低”）

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12. 已知反比例函数 $y = \frac{1}{x}$ 的图像上的三点 $(- 2 ， y_{1}) ， (- 1 ， y_{2}) ， (1 ， y_{3})$ ，判断 $y_{1} ， y_{2} ， y_{3}$ 的大小关系：（用“＜”连接）

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13. 如果抛物线 $y = x^{2} + m x + 4$ 的顶点在 $x$ 轴上，那么常数m的值是

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14. 如果在A点处观察B点的仰角为 $α$ ，那么在B点处观察A点的俯角为（用含 $α$ 的式子表示）

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15. 如图，在 $△ A B C$ 中，AB＝AC＝6，BC＝4，点D在边AC上，BD＝BC，那么AD的长是

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16. 在 $△ A B C$ 中，DE∥BC，DE交边AB、AC分别于点D、E，如果 $△ A D E$ 与四边形BCED的面积相等，那么AD：DB的值为

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17. 如图，在 $△ A B C$ 中，中线AD、BE相交于点G，如果 $\vec{A D} = \vec{a} ， \vec{B E} = \vec{b}$ ，那么 $\vec{B C} =$ （用含向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ 的式子表示）

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18. 如图，正方形ABCD中，将边BC绕着点C旋转，当点B落在边AD的垂直平分线上的点E处时，∠AEC的度数为

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三、解答题

19. 计算： $\frac{t a n 45 °}{s i n 60 ° \cdot c o t 30 °} - \sqrt{{(s i n 30 ° - 1)}^{2}} + 2 c o s^{2} 45 °$

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20. 如图，在Rt $△ A B C$ 中，∠ACB＝90°，CD、CH分别是AB边上的中线和高， $B C = \sqrt{14}$ ， $c o s ∠ A C D = \frac{3}{4}$ ，求AB、CH的长．

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21. 我们将平面直角坐标系 $x O y$ 中的图形D和点P给出如下定义：如果将图形D绕点P顺时针旋转90°得到图形 $D'$ ，那么图形 $D'$ 称为图形D关于点P的“垂直图形”．已知点A的坐标为 $(- 2 ， 1)$ ，点B的坐标为（0，1）， $△ A B O$ 关于原点O的“垂直图形”记为 $△ A' B' O'$ ，点A、B的对应点分别为点 $A' ， B'$ ．

(1)、请写出：点 $A'$ 的坐标为；点 $B'$ 的坐标为；

(2)、请求出经过点A、B、 $B'$ 的二次函数解析式；

(3)、请直接写出经过点A、B、 $A'$ 的抛物线的表达式为．

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22. 据说，在距今2500多年前，古希腊数学家就已经较准确地测出了埃及金字塔的高度，操作过程大致如下：如图所示，设AB是金字塔的高，在某一时刻，阳光照射下的金字塔在底面上投下了一个清晰的阴影，塔顶A的影子落在地面上的点C处，金字塔底部可看作方正形FGHI，测得正方形边长FG长为160米，点B在正方形的中心，BC与金字塔底部一边垂直于点K，与此同时，直立地面上的一根标杆DO留下的影子是OE，射向地面的太阳光线可看作平行线（AC∥DE），此时测得标杆DO长为1.2米，影子OE长为2.7米，KC长为250米，求金字塔的高度AB及斜坡AK的坡度（结果均保留四个有效数字）

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23. 如图，边长为1的正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点Q、R分别在边AD、DC上，BR交线段OC于点P， $Q P ⊥ B P$ ， QP交BD于点E．

(1)、求证： $△ A P Q ∼ △ D B R$ ；

(2)、当∠QED等于60°时，求 $\frac{A Q}{D R}$ 的值．

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24. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知抛物线 $y = x^{2} + b x$ 经过点A（2，0）和点 $B (- 1 ， m)$ ，顶点为点D．

(1)、求直线AB的表达式；

(2)、求tan∠ABD的值；

(3)、设线段BD与 $x$ 轴交于点P，如果点C在 $x$ 轴上，且 $△ A B C$ 与 $△ A B P$ 相似，求点C的坐标．

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25. 如图1，四边形ABCD中，∠BAD的平分线AE交边BC于点E，已知AB＝9，AE＝6， $A E^{2} = A B \cdot A D$ ，且DC∥AE．

(1)、求证： $D E^{2} = A E \cdot D C$ ；

(2)、如果BE＝9，求四边形ABCD的面积；

(3)、如图2，延长AD、BC交于点F，设 $B E = x ， E F = y$ ，求y关于 $x$ 的函数解析式，并写出定义域．

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