江西省赣州市章贡区2021-2022学年九年级上学期期末数学试题

试卷更新日期：2022-02-17 类型：期末考试

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一、单选题

1. 下面四个图形中，既是轴对称图形也是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 下列说法正确的是（）

A、掷一枚质地均匀的骰子，掷得的点数为3的概率是 $\frac{1}{3}$ B、若AC、BD为菱形ABCD的对角线，则 $A C ⊥ B D$ 的概率为1 C、概率很小的事件不可能发生 D、通过少量重复试验，可以用频率估计概率

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3. 如图， $B C$ 是 $⊙ O$ 的直径， $A B$ 是 $⊙ O$ 的弦.若 $∠ A O C = 60 °$ ，则 $∠ O A B$ 的度数是（）

A、 $20 °$ B、 $25 °$ C、 $30 °$ D、 $35 °$

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4. 如图，在 $△ A O B$ 中， $A O = 1$ ， $B O = A B = \frac{3}{2}$ .将 $△ A O B$ 绕点 $O$ 逆时针方向旋转 $90 °$ ，得到 $△ A' O B'$ ，连接 $A A'$ .则线段 $A A'$ 的长为（）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\frac{3}{2}$ D、 $\frac{3}{2} \sqrt{2}$

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5. 如图，小正方形的边长均为 $1$ ，则 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 四个选项中的三角形（阴影部分）与 $△ A B C$ 相似的是（）

A、 B、 C、 D、

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6. 若二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的图象如图所示，则一次函数 $y = a x + b$ 与反比例函数 $y = - \frac{c}{x}$ 在同一个坐标系内的大致图象为（）

A、 B、 C、 D、

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二、填空题

7. $x^{2} = x$ 的根为．

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8. 把抛物线 $y = 2 x^{2} + 1$ 向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为．

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9. 如图，已知每个小方格的边长均为1，则 $△ A B C$ 与 $△ C D E$ 的周长比为．

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10. 如图， $△ A O B$ 中， $O A = 4$ ， $O B = 6$ ， $A B = 2 \sqrt{7}$ ，将 $△ A O B$ 绕原点O顺时针旋转90°，则旋转后点A的对应点 $A$ 的坐标是．

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11. 点（a﹣1，y₁）、（a+1，y₂）在反比例函数y= $\frac{k}{x}$ （k＜0）的图象上，若y₁＞y₂ ，则a的取值范围是．

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12. 如图，在 $⊙ O$ 中，AD为直径，弦 $B C ⊥ A D$ 于点H，连接OB．已知 $O B = 2 c m$ ， $∠ O B C = 30 °$ ．动点E从点O出发，在直径AD上沿路线 $O \to D \to O \to A \to O$ 以1cm/s的速度做匀速往返运动，运动时间为 $t s$ ．当 $∠ O B E = 30 °$ 时， $t$ 的值为．

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三、解答题

13.

(1)、解方程： $x^{2} - 2 x - 4 = 0$

(2)、我国古代数学专著《九章算术》中记载：“今有宛田，下周三十步，径十六步，问为田几何？”注释：宛田是指扇形形状的田，下周是指弧长，径是指扇形所在圆的直径．求这口宛田的面积．

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14. 已知关于x的一元二次方程x²-4x+m=0．

(1)、若方程有实数根，求实数m的取值范围；

(2)、若方程两实数根为x₁ ， x₂ ，且满足5x₁+2x₂=2，求实数m的值．

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15. 如图，四边形ABCD是平行四边形，AD与圆相切，请在下图中，仅用无刻度的直尺按要求画图.

(1)、若BC是圆的直径，画出平行四边形ABCD的边CD上的高；

(2)、若CD与圆相切，画出平行四边形ABCD的边BC上的高AE.

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16. 为纪念建国70周年，某校举行班级歌咏比赛，歌曲有：《我爱你，中国》，《歌唱祖国》，《我和我的祖国》（分别用字母A，B，C依次表示这三首歌曲）．比赛时，将A，B，C这三个字母分别写在3张无差别不透明的卡片正面上，洗匀后正面向下放在桌面上，八（1）班班长先从中随机抽取一张卡片，放回后洗匀，再由八（2）班班长从中随机抽取一张卡片，进行歌咏比赛．

(1)、八（1）班抽中歌曲《我和我的祖国》的概率是；

(2)、试用画树状图或列表的方法表示所有可能的结果，并求出八（1）班和八（2）班抽中不同歌曲的概率．

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17. 如图，一次函数 $y_{1} = k x + b$ 的图象与 $x$ 轴、 $y$ 轴分别交于点 $A$ ， $B$ ，与反比例函数 $y_{2} = \frac{m}{x}$ （ $m > 0$ ）的图象交于点 $C (1 ， 2)$ ， $D (2 ， n)$ .

(1)、分别求出两个函数的解析式；

(2)、连接 $O D$ ，求 $△ B O D$ 的面积.

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18. 我们定义：如果关于 $x$ 的一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．

(1)、请说明方程 $x^{2} - 3 x + 2 = 0$ 是倍根方程；

(2)、若 $(x - 2) (m x + n) = 0$ 是倍根方程，则 $m$ ， $n$ 具有怎样的关系？

(3)、若一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0 (b^{2} - 4 a c \geq 0)$ 是倍根方程，则 $a$ ， $b$ ， $c$ 的等量关系是（直接写出结果）

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19. 在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ， $A B = B C$ ，点E在射线CB上运动．连接AE，将线段AE绕点E顺时针旋转90°得到EF，连接CF．

(1)、如图1，点E在点B的左侧运动．
①当 $B E = 1$ ， $B C = \sqrt{3}$ 时，则 $∠ E A B =$ °；
②猜想线段CA，CF与CE之间的数量关系为．

(2)、如图2，点E在线段CB上运动时，第（1）问中线段CA，CF与CE之间的数量关系是否仍然成立？如果成立，请说明理由；如果不成立，请求出它们之间新的数量关系．

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20. 某水果店在两周内，将标价为10元/斤的某种水果，经过两次降价后的价格为8.1元/斤，并且两次降价的百分率相同．

(1)、求该种水果每次降价的百分率；

(2)、从第一次降价的第1天算起，第 $x$ 天（ $x$ 为整数）的售价、销量及储存和损耗费用的相关信息如表所示．
时间 $x$ （天）
$1 \leq x < 9$
$9 \leq x < 15$
售价（元/斤）
第1次降价后的价格
第2次降价后的价格
销量（斤）
$80 - 3 x$
$120 - x$
储存和损耗费用（元）
$40 + 3 x$
$3 x^{2} - 64 x + 400$
已知该种水果的进价为4.1元/斤，设销售该水果第 $x$ （天）的利润为 $y$ （元），求 $y$ 与 $x$ （ $1 \leq x < 15$ ）之间的函数解析式，并求出第几天时销售利润最大．

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21.

(1)、探究新知：如图1，已知 $△ A B C$ 与 $△ A B D$ 的面积相等，试判断AB与CD的位置关系，并说明理由．

(2)、结论应用：如图2，点M，N在反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k > 0)$ 的图象上，过点M作 $M E ⊥ y$ 轴，过点N 作 $N F ⊥ x$ 轴，垂足分别为E，F．试证明： $M N / / E F$ ．

(3)、拓展延伸：若（2）中的其他条件不变，只改变点M，N在反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k > 0)$ 图象上的位置，如图3所示，MN与x轴、y轴分别交于点A、点B，若 $B M = 3$ ，请求AN的长．

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22. 如图， $△ A B C$ 内接于圆O，AB为直径， $C D ⊥ A B$ 与点D，E为圆外一点， $E O ⊥ A B$ ，与BC交于点G，与圆O交于点F，连接EC，且 $E G = E C$ ．

(1)、求证：EC是圆O的切线；

(2)、当 $∠ A B C = 22.5 °$ 时，连接CF，
①求证： $A C = C F$ ；
②若 $A D = 1$ ，求线段FG的长．

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23. 如图1，在平面直角坐标系中，直线 $y = 1$ 与抛物线 $y = 4 x^{2}$ 相交于A，B两点（点B在第一象限），点C在AB的延长线上．且 $B C = n \cdot A B$ （n为正整数）．过点B，C的抛物线L，其顶点M在x轴上．

(1)、求AB的长；

(2)、①当 $n = 1$ 时，抛物线L的函数表达式为；
②当 $n = 2$ 时．求抛物线L的函数表达式；

(3)、如图2，抛物线E： $y = a_{n} x^{2} + b_{n} x + c_{n}$ 经过B、C两点，顶点为P．且O、B、P三点在同一直线上，
①求 $a_{n}$ 与n的关系式；
②当 $n = k$ 时，设四边形PAMC的面积 $S_{k}$ ，当 $n = t$ 时，设四边形PAMC的面积 $S_{t}$ （k，t为正整数， $1 \leq k \leq 6$ ， $1 \leq t \leq 6$ ），若 $S_{k} = 4 S_{t}$ ，请直接写出 $a_{k} \cdot a_{t}$ 值．

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时间 $x$ （天）	$1 \leq x < 9$	$9 \leq x < 15$
售价（元/斤）	第1次降价后的价格	第2次降价后的价格
销量（斤）	$80 - 3 x$	$120 - x$
储存和损耗费用（元）	$40 + 3 x$	$3 x^{2} - 64 x + 400$