北京市丰台区2021-2022学年九年级上学期期末数学试题

试卷更新日期：2022-02-17 类型：期末考试

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一、单选题

1. 下列是围绕2022年北京冬奥会设计的剪纸图案，其中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 如图，A，B，C是⊙O上的点，如果∠BOC＝120°，那么∠BAC的度数是（　　）

A、90° B、60° C、45° D、30°

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3. 抛物线 $y = {(x - 4)}^{2} + 1$ 的对称轴是（）

A、 $x = 4$ B、 $x = 1$ C、 $x = - 1$ D、 $x = - 4$

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4. 把一副普通扑克牌中13张黑桃牌洗匀后正面向下放在桌子上．从中随机抽取一张，抽出的牌上的数小于6的概率为（）

A、 $\frac{8}{13}$ B、 $\frac{7}{13}$ C、 $\frac{6}{13}$ D、 $\frac{5}{13}$

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5. 若关于x的一元二次方程 $(m - 1) x^{2} + x + m^{2} - 1 = 0$ 有一个解为 $x = 0$ ，那么m的值是（）

A、-1 B、0 C、1 D、1或-1

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6. 二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的图象如图所示，那么下列说法正确的是（）

A、 $a = 2 b$ B、 $c > 0$ C、 $a + b + c > 0$ D、 $4 a - 2 b + c = 0$

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7. 如图所示，边长为1的正方形网格中，O，A，B，C，D是网格线交点，若 $\overset{⌢}{A B}$ 与 $\overset{⌢}{C D}$ 所在圆的圆心都为点O，那么阴影部分的面积为（）

A、 $π$ B、 $2 π$ C、 $\frac{3}{2} π - 2$ D、 $2 π - 2$

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8. 如图所示，有一个容器水平放置，往此容器内注水，注满为止．若用h（单位：cm）表示容器底面到水面的高度，用V（单位： $c m^{3}$ ）表示注入容器内的水量，则表示V与h的函数关系的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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二、填空题

9. 如果点 $A (3 ， - 2)$ 与点B关于原点对称，那么点B的坐标是．

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10. 如图，把 $⊙ O$ 分成相等的六段弧，依次连接各分点得到正六边形ABCDEF，如果 $⊙ O$ 的周长为 $12 π$ ，那么该正六边形的边长是．

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11. 如图，四边形ABCD内接于 $⊙ O$ ， E为直径AB延长线上一点，且 $A B ∥ D C$ ，若 $∠ A = 70 °$ ，则 $∠ C B E$ 的度数为．

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12. 如图所示， $△ A B C$ 绕点P顺时针旋转得到 $△ D E F$ ，则旋转的角度是．

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13. 数学活动课上，小东想测算一个圆形齿轮内圈圆的半径．如图所示，小东首先在内圈圆上取点A，B，再作弦AB的垂直平分线，垂足为C，交 $\overset{⌢}{A B}$ 于点D，连接CD，经测量 $A B = 8$ cm， $C D = 2$ cm，那么这个齿轮内圈圆的半径为cm．

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14. 已知抛物线 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：
x
…
-2
-1
0
1
2
3
…
y
…
5
0
-3
-4
-3
0
…
那么该抛物线的顶点坐标是．

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15. 小红利用计算机模拟“投针试验”：在一个平面上画一组间距为 $d = 0.73$ cm的平行线，将一根长度为 $l = 0.59$ cm的针任意投掷在这个平面上，针可能与某一直线相交，也可能与任一直线都不相交．下图显示了小红某次实验的结果，那么可以估计出针与直线相交的概率是（结果保留小数点后两位）．

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16. 中国跳水队在第三十二届夏季奥林匹克运动会上获得7金5银12枚奖牌的好成绩．某跳水运动员从起跳至人水的运动路线可以看作是抛物线的一部分．如图所示，该运动员起跳点A距离水面10m，运动过程中的最高点B距池边2.5m，入水点C距池边4m，根据上述信息，可推断出点B距离水面m．

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三、解答题

17. 计算： $\frac{1}{2} (\sqrt{8} + 1) + {(\sqrt{\frac{1}{2}})}^{2} + | 1 - \sqrt{2} |$ ．

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18. 解方程： $x^{2} - 2 x - 3 = 0$ .

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19. 下面是小亮设计的“过圆上一点作已知圆的切线”的尺规作图过程．
已知：点A在 $⊙ O$ 上．
求作：直线PA和 $⊙ O$ 相切．
作法：如图，
①连接AO；
②以A为圆心，AO长为半径作弧，与 $⊙ O$ 的一个交点为B；
③连接BO；
④以B为圆心，BO长为半径作圆；
⑤作 $⊙ B$ 的直径OP；
⑥作直线PA．
所以直线PA就是所求作的 $⊙ O$ 的切线．
根据小亮设计的尺规作图过程，

(1)、使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；

(2)、完成下面的证明：
证明：在 $⊙ O$ 中，连接BA．
∵ $O A = O B$ ， $A O = A B$ ，
∴ $O B = A B$ ．
∴点A在 $⊙ B$ 上．
∵OP是 $⊙ B$ 的直径，
∴ $∠ O A P = 90 °$ （ ▲ ）（填推理的依据）．
∴ $O A ⊥ A P$ ．
又∵点A在 $⊙ O$ 上，
∴PA是 $⊙ O$ 的切线（ ▲ ）（填推理的依据）．

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20. 已知关于x的一元二次方程 $x^{2} - 3 k x + 2 k^{2} = 0$ ．

(1)、求证：该方程总有两个实数根；

(2)、若 $k > 0$ ，且该方程的两个实数根的差为1，求k的值．

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21. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线 $y = x^{2} + m x + n$ 经过点 $A (- 3 ， 0)$ ， $B (1 ， 0)$ ．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、设抛物线与y轴的交点为C，求 $△ A B C$ 的面积．

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22. 小宇和小伟玩“石头、剪刀、布”的游戏．这个游戏的规则是：“剪刀”胜“布”，“布”胜“石头”，“石头”胜“剪刀”，手势相同不分胜负．如果二人同时随机出手（分别出三种手势中的一种手势）一次，那么小宇获胜的概率是多少？

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23. 某校举办了“冰雪运动进校园”活动，计划在校园一块矩形的空地上铺设两块完全相同的矩形冰场．如下图所示，已知空地长27m，宽12m，矩形冰场的长与宽的比为4：3，如果要使冰场的面积是原空地面积的 $\frac{2}{3}$ ，并且预留的上、下通道的宽度相等，左、中、右通道的宽度相等，那么预留的上、下通道的宽度和左、中、右通道的宽度分别是多少米？

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24. 如图，AB是 $⊙ O$ 的直径，PA，PC是 $⊙ O$ 的切线，A，C是切点，连接AC，PO，交点为D．

(1)、求证： $∠ B A C = ∠ O P C$ ；

(2)、延长PO交 $⊙ O$ 于点E，连接BE，CE．若 $∠ B E C = 30 °$ ， $P A = 8$ ，求AB的长．

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25. 小朋在学习过程中遇到一个函数 $y = \frac{1}{2} | x | {(x - 3)}^{2}$ ．
下面是小朋对其探究的过程，请补充完整：

(1)、观察这个函数的解析式可知，x的取值范围是全体实数，并且y有值（填“最大”或“最小”），这个值是；

(2)、进一步研究，当 $x \geq 0$ 时，y与x的几组对应值如下表：
x
0
$\frac{1}{2}$
1
$\frac{3}{2}$
2
$\frac{5}{2}$
3
$\frac{7}{2}$
4
…
y
0
$\frac{25}{16}$
2
$\frac{27}{16}$
1
$\frac{5}{16}$
0
$\frac{7}{16}$
2
…
结合上表，画出当 $x \geq 0$ 时，函数 $y = \frac{1}{2} | x | {(x - 3)}^{2}$ 的图象；

(3)、结合（1）（2）的分析，解决问题：
若关于x的方程 $\frac{1}{2} | x | {(x - 3)}^{2} = k x - 1$ 有一个实数根为2，则该方程其它的实数根约为（结果保留小数点后一位）．

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26. 在平面直角坐标系xOy中， $P (x_{1} ， y_{1})$ ， $Q (x_{2} ， y_{2})$ 是抛物线 $y = x^{2} - 2 m x + m^{2} - 1$ 上任意两点．

(1)、求抛物线的顶点坐标（用含m的式子表示）；

(2)、若 $x_{1} = m - 2$ ， $x_{2} = m + 2$ ，比较 $y_{1}$ 与 $y_{2}$ 的大小，并说明理由；

(3)、若对于 $- 1 \leq x_{1} < 4$ ， $x_{2} = 4$ ，都有 $y_{1} \leq y_{2}$ ，直接写出m的取值范围．

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27. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $∠ B A C = 90 °$ ， D是边BC上一点，作射线AD，满足 $0 ° < ∠ D A C < 45 °$ ，在射线AD取一点E，且 $A E > B C$ ．将线段AE绕点A逆时针旋转90°，得到线段AF，连接BE，FE，连接FC并延长交BE于点G．

(1)、依题意补全图形；

(2)、求 $∠ E G F$ 的度数；

(3)、连接GA，用等式表示线段GA，GB，GC之间的数量关系，并证明．

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28. 对于平面直角坐标系xOy中的图形M，N，给出如下定义：若图形M和图形N有且只有一个公共点P，则称点P是图形M和图形N的“关联点”．
已知点 $A (2 ， 0)$ ， $B (0 ， 2)$ ， $C (2 ， 2)$ ， $D (1 ， \sqrt{3})$ ．

(1)、直线l经过点A， $⊙ B$ 的半径为2，在点A，C，D中，直线l和 $⊙ B$ 的“关联点”是；

(2)、G为线段OA中点，Q为线段DG上一点（不与点D，G重合），若 $⊙ Q$ 和 $△ O A D$ 有“关联点”，求 $⊙ Q$ 半径r的取值范围；

(3)、 $⊙ T$ 的圆心为点 $T (0 ， t) (t > 0)$ ，半径为t，直线m过点A且不与x轴重合．若 $⊙ T$ 和直线m的“关联点”在直线 $y = x + b$ 上，请直接写出b的取值范围．

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x	0	$\frac{1}{2}$	1	$\frac{3}{2}$	2	$\frac{5}{2}$	3	$\frac{7}{2}$	4	…
y	0	$\frac{25}{16}$	2	$\frac{27}{16}$	1	$\frac{5}{16}$	0	$\frac{7}{16}$	2	…