安徽省合肥市经开区2021-2022学年九年级上学期期末数学试题

试卷更新日期：2022-02-17 类型：期末考试

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一、单选题

1. 剪纸艺术是第一批国家级非物质文化遗产，下列图案既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 将抛物线y=2x²向左平移3个单位得到的抛物线的解析式是（）

A、y=2x²+3 B、y=2x²﹣3 C、y=2（x+3）² D、y=2（x﹣3）²

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3. 已知 $\frac{x}{3} = \frac{y}{4}$ ，则 $\frac{x - y}{x}$ 的值为（）

A、 $- \frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $- \frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{4}$

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4. 如图，在4×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，ΔABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么cos $∠$ ACB值为（）

A、 $\frac{3 \sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{\sqrt{17}}{5}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{4}{5}$

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5. 根据以下表格中二次函数y＝ax²＋bx＋c的自变量x与函数值y的对应值，可以判断方程ax²＋bx＋c＝0的一个解x的范围是（）
x
0
0.5
1
1.5
2
y＝ax²＋bx＋c
－1
－0.5
1
3.5
7

A、0＜x＜0.5 B、0.5＜x＜1 C、1＜x＜1.5 D、1.5＜x＜2

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6. 如图，点A是反比例函数 $y = \frac{2}{x}$ $(x > 0)$ 图象上任意一点， $A B ⊥ y$ 轴于B，点C是x轴上的动点，则 $Δ A B C$ 的面积为(　　)

A、1 B、2 C、4 D、不能确定

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7. 以 $O$ 为中心点的量角器与直角三角板 $A B C$ 按如图方式摆放，量角器的0刻度线与斜边 $A B$ 重合．点 $D$ 为斜边 $A B$ 上一点，作射线 $C D$ 交弧 $A B$ 于点 $E$ ，如果点 $E$ 所对应的读数为 $50 °$ ，那么 $∠ B D E$ 的大小为（）

A、 $100 °$ B、 $110 °$ C、 $115 °$ D、 $130 °$

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8. 用总长为a米的材料做成如图1的矩形窗框，设窗框的宽为x米，窗框的面积为y米² ， y关于x的函数图象如图2，则a的值是（）

A、9 B、8 C、6 D、不能确定

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9. 如图，已知 $A D$ 为 $△ A B C$ 的角平分线， $D E$ // $A B$ 交 $A C$ 于 $E$ ，如果 $\frac{A E}{E C} = \frac{3}{5}$ ，那么 $\frac{A C}{A B}$ 等于（）

A、 $\frac{3}{5}$ B、 $\frac{5}{3}$ C、 $\frac{8}{5}$ D、2

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10. 如图， $R t △ A B C$ 中， $A B = A C = 3$ ， $A O = 1$ ，若将 $A D$ 绕 $A$ 点逆时针旋转 $90 °$ 得到 $A E$ ，连接 $O E$ ，则在 $D$ 点运动过程中，线段 $O E$ 的最小值为（）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、2

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二、填空题

11. 已知线段 $A B = 2$ ， $P$ 是线段 $A B$ 的黄金分割点（ $A P < P B$ ），那么 $P B =$ ．

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12. 如图，为了测量山坡的护坡石坝高，把一根长为 $4.5 m$ 的竹竿 $A C$ 斜靠在石坝旁，量出竿上 $A D$ 长为 $1 m$ 时，它离地面的高度 $D E$ 为 $0.6 m$ ，则坝高 $C F$ 为 $m$ ．

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13. 如图所示，AB是⊙O的直径，弦 $C D ⊥ A B$ 于H， $∠ A = 30^{°} ， C D = 2 \sqrt{3}$ ，则⊙O的半径是．

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14. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 4$ ， $A D = 8$ ，点 $E$ ， $F$ 分别在边 $A D$ ， $B C$ 上，且 $A E = 3$ ，按以下步骤操作：
第一步，沿直线 $E F$ 翻折，点 $A$ 的对应点 $A'$ 恰好落在对角线 $A C$ 上，点 $B$ 的对应点为 $B'$ ，则 $t a n ∠ A E F =$ ；
第二步，分别在 $E F$ ， $A' B'$ 上取点 $M$ ， $N$ ，沿直线 $M N$ 继续翻折，使点 $F$ 与点 $E$ 重合，则线段 $M N$ 的长为．

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三、解答题

15. 计算： $t a n 30 ° s i n 60 ° - c o s^{2} 45 ° + t a n 45 °$ ．

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16. 在正方形网格中，每个小正方形的边长为1， $△ A B C$ 在平面直角坐标系中的位置如图所示．

(1)、以点 $C$ 为位似中心，作出 $△ A B C$ 的位似图形 $△ A_{1} B_{1} C$ ，使其位似比为 $2 ： 1$ ，并写出点 $A_{1}$ 的坐标；

(2)、作出 $△ A B C$ 绕点 $C$ 逆时针旋转 $90 °$ 后的图形 $△ A_{2} B_{2} C$ ．

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17. 已知二次函数 $y = x^{2} + 4 x$ ．

(1)、用配方法把该函数化为 $y = a {(x - h)}^{2} + k$ （其中 $a$ 、 $h$ 、 $k$ 都是常数且 $a \neq 0$ ）的形式，并指出函数图象的对称轴和顶点坐标；

(2)、求函数图象与 $x$ 轴的交点坐标．

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18. 如图1，四边形 $A B C D$ 中， $∠ A B D = ∠ B C D = 90 °$ ， $D B$ 平分 $∠ A D C$ ，若 $C D = 6$ ， $A D = 8$ ．

(1)、求 $B D$ 的长．

(2)、如图2，过点 $B$ 作 $B M ∥ C D$ 交 $A D$ 于 $M$ ，连接 $C M$ 交 $D B$ 于 $N$ ，求 $D N$ 的长．

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19. 随着科学技术的不断进步，无人机被广泛应用到实际生活中，小星利用无人机来测量翡翠湖某处东西岸边 $B$ ， $C$ 两点之间的距离．如图所示，小星站在湖边的 $B$ 处遥控无人机，无人机在 $A$ 处距离地面的飞行高度是 $161.6 m$ ，此时从无人机测得岸边 $C$ 处的俯角为 $63 °$ ，他抬头仰视无人机时，仰角为 $α$ ，若小星的身高 $B E = 1.6 m$ ， $E A = 200 m$ （点 $A$ ， $E$ ， $B$ ， $C$ 在同一平面内）．

(1)、求仰角 $α$ 的正弦值；

(2)、求 $B$ ， $C$ 两点之间的距离（结果精确到 $1 m$ ）．（ $s i n 63 ° \approx 0.89$ ， $c o s 63 ° \approx 0.45$ ， $t a n 63 ° \approx 1.96$ ， $s i n 27 ° \approx 0.45$ ， $c o s 27 ° \approx 0.89$ ， $t a n 27 ° \approx 0.51$ ）

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20. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的切线， $D$ 点在 $⊙ O$ 上， $A D$ 与 $⊙ O$ 相交于 $C$ ， $C E$ 是 $⊙ O$ 的直径，连接 $B C$ ，若 $∠ A = 90 °$ ．

(1)、求证： $C B$ 平分 $∠ A C E$ ；

(2)、当 $A B = 2$ ， $A C = 1$ 时，求 $⊙ O$ 的半径长．

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21. 如图，直线 $y_{1} = k_{1} x + b$ 与双曲线 $y_{2} = \frac{k_{2}}{x}$ 在第一象限内交于 $A ， B$ 两点，已知 $A (1 ， m) ， B (2 ， 1)$ ．

(1)、求 $k_{2}$ 的值及直线 $A B$ 的解析式．

(2)、根据函数图象，直接写出不等式 $y_{2} > y_{1}$ 的解集．

(3)、设点是线段 $A B$ 上的一个动点，过点 $P$ 作 $P D ⊥ x$ 轴于点 $D ， E$ 是 $y$ 轴上一点，当 $△ P E D$ 的面积为 $\frac{9}{8}$ 时，请直接写出此时点 $P$ 的坐标．

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22. 某公司销售一种商品，成本为每件30元，经过市场调查发现，该商品的日销售量 $y$ （件）与销售单价 $x$ （元）是一次函数关系，其销售单价、日销售量的三组对应数值如下表：
销售单价 $x$ （元）
40
60
80
日销售量 $y$ （件）
80
60
40

(1)、求公司销售该商品获得的最大日利润；

(2)、销售一段时间以后，由于某种原因，该商品每件成本增加了10元，若物价部门规定该商品销售单价不能超过 $a$ 元，在日销售量 $y$ （件）与销售单价 $x$ （元）保持（1）中函数关系不变的情况下，该商品的日销售最大利润是1500元，求 $a$ 的值．

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23. $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ， $A B = A C$ ， $D$ 为 $B C$ 的中点， $F$ ， $E$ 是 $A C$ 上两点，连接 $B E$ ， $D F$ 交于 $△ A B C$ 内一点 $G$ ，且 $∠ E G F = 45 °$ ．

(1)、如图1，求证 $∠ F D C = ∠ A E B$ ；

(2)、如图1，若 $A E = 3 C E = 6$ ，求 $B G$ 的长；

(3)、如图2，若 $F$ 为 $A C$ 上任意一点，连接 $A G$ ，求证： $∠ E A G = ∠ A B E$ ．

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销售单价 $x$ （元）	40	60	80
日销售量 $y$ （件）	80	60	40

x	0	0.5	1	1.5	2
y＝ax²＋bx＋c	－1	－0.5	1	3.5	7