天津市静海区四校2021-2022学年高三上学期数学11月联考试卷

试卷更新日期：2022-02-17 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知集合 $M = {x \in Z | x^{2} - x - 6 < 0} ， N = {x | (x + 1) (x + 2) = 0}$ ，则 $M ∪ N =$ （）

A、 ${- 1}$ B、 ${- 2 ， - 1 ， 0 ， 1 ， 2}$ C、 ${x | - 2 < x < - 1}$ D、 ${x | - 2 \leq x < 3}$

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2. 设 $x \in R,$ 则“ $x^{2} - 5 x > 0$ ”是“ $| x - 1 | > 1$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 函数 $f (x) = x^{3} - \frac{1}{x}$ 的图象可能为（）

A、 B、 C、 D、

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4. 北京舞蹈学院为了解大一舞蹈专业新生的体重情况，对报到的1000名舞蹈专业生的数据（单位： $k g$ ）进行统计，得到如图所示的体重频率分布直方图，则体重在 $60 k g$ 以上的人数为（）

A、100 B、150 C、200 D、250

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5. 设 $a = 5^{0.3}$ ， $b = l o g_{0.3} 0.5$ ， $c = l o g_{3} 0.4$ ，则 $a$ ， $b$ ， $c$ 的大小关系是（）

A、 $a < b < c$ B、 $b < c < a$ C、 $c < a < b$ D、 $c < b < a$

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6. 双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{4} = 1 (a > 0)$ 的一个焦点到渐近线的距离为（）

A、 $\frac{2}{a}$ B、 $\frac{a}{2}$ C、2 D、 $\sqrt{3}$

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7. 已知正四棱柱(底面为正方形且侧棱与底面垂直的棱柱)的底面边长为3，侧棱长为4，则其外接球的表面积为（）

A、25π B、34π C、68π D、100π

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8. 函数 $f (x) = 2 s i n (ω x + φ) (ω > 0 ， 0 < φ < π)$ 的图象如图，把函数 $f (x)$ 的图象上所有的点向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度，可得到函数 $y = g (x)$ 的图象，下列结论中：
① $φ = \frac{π}{3}$ ；②函数 $g (x)$ 的最小正周期为 $π$ ；③函数 $g (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{3} ， \frac{π}{12}]$ 上单调递增；④函数 $g (x)$ 关于点 $(- \frac{π}{3} ， 0)$ 中心对称
其中正确结论的个数是（）．

A、4 B、3 C、2 D、1

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9. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} e^{x - 1} ， x \leq 1 \\ l n x ， x > 1 \end{array} ， g (x) = f (x) + a$ ，若 $g (x)$ 存在两个零点，则实数a的取值范围是（）

A、 $[- 1 ， 0)$ B、 $(- 1 ， 0)$ C、 $(0 ， 1)$ D、 $(0 ， 1]$

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二、填空题

10. 已知 $a \in R$ ， i为虚数单位，若 $\frac{a - i}{2 + i}$ 为实数，则 $a + i$ 的模为．

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11. 在二项式 ${(x - \frac{1}{2 \sqrt{x}})}^{5}$ 的展开式中， $x^{2}$ 的系数为．

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12. 设 $a \in R$ ，已知抛物线 $y^{2} = 4 x$ 的准线l与圆 $C : x^{2} + y^{2} + 2 a x - 2 \sqrt{3} y = 0$ 相切，则 $a =$ .

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13. 已知 $a > 0$ ， $b > 0$ ，且 $a + b = 1$ ，则 $\frac{1}{2 a} + \frac{a}{b + 1}$ 的最小值为．

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14. 对某种型号的仪器进行质量检测，每台仪器最多可检测3次，一旦发现问题，则停止检测，否则一直检测到3次为止，设该仪器一次检测出现问题的概率为0.2，则检测2次停止的概率为；设检测次数为 $X$ ，则 $X$ 的数学期望为．

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15. 如图，在梯形 $A B C D$ 中， $A B / / C D$ ， $A B = 5$ ， $A D = 4$ ， $C D = 2$ ， $∠ D A B = 60 °$ ，

(1)、 $\vec{A D} \cdot \vec{D C} =$ ．

(2)、P是 $A B$ 上的动点，则 $\vec{P C} \cdot \vec{P D}$ 的最小值为．

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三、解答题

16. 在 $△ A B C$ 中， $B C = \sqrt{5}$ ， $A C = 3$ ， $s i n C = 2 s i n A$ ．

(1)、求边 $A B$ 的长与 $c o s A$ 的值；

(2)、求 $△ A B C$ 的面积 $S_{△ A B C}$ ；

(3)、求 $s i n (2 A - \frac{π}{4})$ 的值．

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17. 如图， $P - A B C D$ 是一个四棱锥，已知四边形 $A B C D$ 是梯形， $P D ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $A D ⊥ C D$ ， $A B ∕ ∕ C D$ ， $P D = A D = A B = 1$ ， $C D = 2$ ，点E是棱 $P C$ 的中点，点F在棱 $P B$ 上， $B F = 2 P F$ ．

(1)、证明：直线 $B E / /$ 平面 $P A D$ ；

(2)、求直线 $B E$ 与平面 $P B D$ 所成角的正弦值；

(3)、求平面 $D E F$ 与平面 $A B C D$ 的夹角的余弦值．

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18. 已知椭圆C的中心在坐标原点，左顶点 $A (- 2 ， 0)$ ，离心率 $e = \frac{1}{2}$ ， F为右焦点，过焦点F的直线交椭圆C于P､Q两个不同的点.

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、当 $| P Q | = \frac{24}{7}$ 时，求直线PQ的方程；

(3)、设线段PQ的中点在直线 $x + y = 0$ 上，求直线PQ的方程.

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19. 设等差数列 ${a_{n}}$ 的首项为 $a_{1} = 1$ ，它的前10项和为 $S_{10} = 55$ ，数列 ${b_{n}}$ 成等比数列 $b_{1} = a_{3}$ ， $b_{2} = a_{9}$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 与 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $T_{n}$ 是数列 ${\frac{a_{n}}{b_{n}}}$ 的前n项和，求证： $T_{n} < \frac{3}{4}$ ．

(3)、求 $\sum_{k = 1}^{n} \frac{(- a_{2 n - 1}) \cdot b_{k}}{a_{n} a_{n + 1}}$ ．

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20. 已知函数 $f (x) = \frac{2}{x} + a l n x - 2 (a > 0) .$

(1)、若曲线 $y = f (x)$ 在点 $P (1 ， f (1))$ 处的切线与直线 $y = x + 2$ 垂直，求函数 $y = f (x)$ 的单调区间；

(2)、若对于 $\forall x \in (0 ， + \infty)$ 都有 $f (x) > 2 (a - 1)$ 成立，试求a的取值范围；

(3)、记 $g (x) = f (x) + x - b (b \in R)$ ，当 $a = 1$ 时，函数 $g (x)$ 在区间 $[e^{- 1} ， e]$ 上有两个零点，求实数b的取值范围．

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