湖北省智学联盟2021-2022学年高一上学期数学12月联考试卷

试卷更新日期：2022-02-17 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x ∣ l n x \leq 1 ， x \in R}$ ，集合 $B = {x | | x | \leq 2 ， x \in Z}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 ${1 ， 2}$ B、 ${- 2 ， - 1 ， 0 ， 1 ， 2}$ C、 $(0 ， 2]$ D、 $[- 2 ， 2]$

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2. 命题“ $\forall x \in R$ ， $| x | + x^{2} \geq 0$ ”的否定是（）

A、 $\forall x \in R ， | x | + x^{2} < 0$ B、 $\forall x \notin R ， | x | + x^{2} \leq 0$ C、 $\exists x \notin R ， | x | + x^{2} < 0$ D、 $\exists x \in R ， | x | + x^{2} < 0$

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3. 设 $a = l o g_{3} 6$ ， $b = l o g_{5} 10$ ， $c = {(\frac{1}{2})}^{\sqrt{2}}$ ，则（）

A、 $c > b > a$ B、 $b > c > a$ C、 $a > c > b$ D、 $a > b > c$

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4. 已知函数 $f (x) = 2^{x} + a \cdot 2^{- x} - 3$ 有两个不同零点，则实数a的取值范围为（）

A、 $(- \infty ， \frac{9}{4})$ B、 $(- \infty ， \frac{9}{4}]$ C、 $(0 ， \frac{9}{4})$ D、 $[0 ， \frac{9}{4}]$

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5. 函数 $f (x)$ 的图象与函数 $g (x) = l o g_{2} x$ 的图象关于直线 $y = x$ 对称，则 $f (| x |)$ 的单调递减区间为（）

A、 $(- \infty ， 0]$ B、 $[0 ， + ∞)$ C、 $(- \infty ， 1]$ D、 $[1 ， + \infty)$

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6. 2018年5月至2019年春，在阿拉伯半岛和伊朗西南部，沙漠蝗虫迅速繁衍，呈指数增长，引发了蝗灾，到2020年春季蝗灾已波及印度和巴基斯坦，假设蝗虫的日增长率为5.2%，最初有 $N_{0}$ 只，则经过（）天能达到最初的1000倍（参考数据： $l n 1.052 \approx 0.05$ ， $l n 1.52 \approx 0.42$ ， $l n 1000 \approx 6.91$ ， $l n 10000 \approx 9.21$ ）.

A、22 B、132 C、139 D、184

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7. 对函数 $f (x)$ ，如果存在 $x_{0} \neq 0$ 使得 $f (x_{0}) = - f (- x_{0})$ ，则称 $(x_{0} ， f (x_{0}))$ 与 $(- x_{0} ， f (- x_{0}))$ 为函数图象的一组奇对称点.若 $f (x) = e^{x} - a$ （ $e$ 为自然数的底数）存在奇对称点，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， 1)$ B、 $(1 ， + \infty)$ C、 $(e ， + \infty)$ D、 $[1 ， + \infty)$

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8. 设函数 $f (x) = | x + \frac{4}{x} - a x - b |$ ，若对任意的实数a，b，总存在 $x_{0} \in [1 ， 3]$ 使得 $f (x_{0}) \geq m$ 成立，则实数 $m$ 的最大值为（）

A、－1 B、0 C、 $\frac{8 - 4 \sqrt{3}}{3}$ D、1

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二、多选题

9. 已知 $a ， b ， c ， d \in R$ ，则下列结论正确的为（）

A、若 $a > b ， c > d$ ，则 $a c > b d$ B、若 $b < a < 0$ ，则 $(a - b) c > 0$ C、若 $a c^{2} > b c^{2}$ ，则 $a > b$ D、若 $a > b ， c > d$ ，则 $a - d > b - c$

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10. 已知函数 $f (x) = l g (x^{2} + a x - a - 1)$ ，给出下述论述，其中正确的是（）

A、当 $a = 0$ 时， $f (x)$ 的定义域为 $(- \infty ， - 1) \cup (1 ， + \infty)$ B、当 $a = 0$ 时， $f (x)$ 的值域为R C、对任意的 $a \in R$ ， $f (x)$ 均无最小值 D、若 $f (x)$ 在区间 $[2 ， + \infty)$ 上单调递增，则实数a的取值范围是 ${a | a \geq - 4}$

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11. 已知实数a，b，c满足 $\lg a = 10^{b} = \frac{1}{c}$ ，则下列关系式中可能成立的是（）

A、 $a > b > c$ B、 $a > c > b$ C、 $c > a > b$ D、 $c > b > a$

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12. 设 $a ， b \in Z$ ，若对任意的 $x \leq 0$ ，都有 $(a x + 2) (x^{2} + b) \leq 0$ 恒成立，则 $a - b$ 的值可以为（）

A、0 B、1 C、3 D、5

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三、填空题

13. 已知幂函数 $f (x) = (t^{2} - t - 1) x^{t}$ 为定义域上的奇函数，则 $t =$ .

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14. 若函数 $f (x) = a^{x + 2} + 1$ 与 $g (x) = l o g_{a} (2 x + m) + n$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）的图象经过同一个定点，则 $m^{n}$ 的值是.

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15. 已知函数 $y = f (x)$ ， $x \in R$ ，且 $f (0) = 2$ ， $\frac{f (0.5)}{f (0)} = 2$ ， $\frac{f (1)}{f (0.5)} = 2$ ， …， $\frac{f (0.5 n)}{f (0.5 (n - 1))} = 2$ ， $n \in N^{*}$ ，则满足条件的函数 $f (x)$ 的一个解析式为.

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16. 已知函数 $f (x) = | l o g_{a} | x - 1 | |$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ），若存在不同的实数 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ， $x_{4}$ 满足 $f (x_{1}) = f (x_{2}) = f (x_{3}) = f (x_{4})$ ，则 $\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}} + \frac{1}{x_{3}} + \frac{1}{x_{4}} =$ .

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四、解答题

17.

(1)、已知 $x + x^{- 1} = 5$ ，求 $\frac{x^{\frac{1}{2}} + x^{- \frac{1}{2}}}{x^{2} + x^{- 2}}$ 的值；

(2)、计算： $l o g_{3} \frac{\sqrt[4]{27}}{3} + l g 25 + l g 4 + 7^{l o g_{7} 2} - l n 1$ .

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18. 已知函数 $f (x) = \sqrt{\frac{2 - x}{3 x + 1}}$ 的定义域为集合 $A$ ，函数 $g (x) = \sqrt{x^{2} - (2 a + 1) x + a^{2} + a}$ 的定义域为集合 $B$ ，

(1)、当 $a = 0$ 时，求 $A ∩ B$ ；

(2)、设命题 $p ： x \in A$ ，命题 $q ： x \in B$ ， $p 是 q$ 的充分不必要条件，求实数 $a$ 的取值范围．

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19. 已知函数 $f (x) = l o g_{a} (1 + x) (1 - x)$ ，其中 $a > 0$ ，且 $a \neq 1$ .

(1)、讨论关于x的不等式 $f (x) > 1$ 的解；

(2)、若关于x的方程 $f (x) = l o g_{a} (m x)$ 在 $x \in (0 ， \frac{1}{2}]$ 上有解，求实数m取值范围.

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20. 已知函数 $f (x) = \frac{2^{x}}{a} + \frac{a}{2^{x}} (a > 0)$ 是 $R$ 上的偶函数．

(1)、解不等式 $f (x) < \frac{17}{4}$ ；

(2)、若关于 $x$ 的不等式 $m f (x) \leq 2^{- x} + m - 1$ 在 $(0 ， + \infty)$ 上恒成立，求实数 $m$ 的取值范围．

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21. 高邮某企业为紧抓高邮湖环境治理带来的历史性机遇，决定开发生产一款大型净水设备．生产这款设备的年固定成本为 $500$ 万元，每生产 $x$ 台( $x \in N_{+}$ )需要另投入成本 $c (x)$ (万元)，当年产量 $x$ 不足 $85$ 台时， $c (x) = \frac{1}{3} x^{2} + 50 x - 550$ (万元)；当年产量 $x$ 不少于 $85$ 台时， $c (x) = 91 x + \frac{8100}{x + 1} - 2080$ （万元）．若每台设备的售价为 $90$ 万元，经过市场分析，该企业生产的净水设备能全部售完．

(1)、求年利润 $y$ (万元)关于年产量 $x$ (台)的函数关系式；

(2)、年产量 $x$ 为多少台时，该企业在这一款净水设备的生产中获利最大？最大利润是多少万元？

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22. 如图，已知A（x₁ ， m）、B（x₂ ， m+2）、C（x₃ ， m+4）（其中m≥2）是指数函数f（x）＝2x图象上的三点．

(1)、当m＝2时，求f（x₁+x₂+x₃）的值；

(2)、设L＝x₂+x₃﹣x₁ ，求L关于m的函数L（m）及其最小值；

(3)、设 $△$ ABC的面积为S，求S关于m的函数S（m）及其最大值．

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