湖北省新高考联考协作体2021-2022学年高三上学期数学12月联考试卷

试卷更新日期：2022-02-17 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | - x^{2} + 2 x + 3 \geq 0}$ ， $B = {x | 2^{x + 1} \geq 8}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 ${x | x \geq 3}$ B、 ${x | x \geq 2}$ C、 ${x | 2 \leq x \leq 3}$ D、 ${x | 1 \leq x \leq 2}$

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2. 已知复数 $z = 3 + 2 i$ ，则 $| z^{2} | =$ （）

A、340 B、 $2 \sqrt{95}$ C、169 D、13

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3. 已知某品牌客车的使用年限 $x$ （年）与维护费用 $y$ （千元）之间有如下数据：
使用年限 $x$ （年）
2
3
4
5
6
维护费用 $y$ （千元）
2
2.5
4.5
5
6.5
若 $x$ 与 $y$ 之间具有线性相关关系，且 $y$ 关于 $x$ 的线性回归方程为 $\hat{y} = 1.15 x + a$ ，据此估计，使用年限为8年时，维护费用约为（）

A、7.55千元 B、8.7千元 C、9.7千元 D、10.25千元

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4. 已知向量 $\vec{a} = (- 2 ， 0)$ ， $b = (- \frac{1}{2} ， \frac{\sqrt{3}}{2})$ .则 $\vec{a}$ 与 $\vec{a} + \vec{b}$ 的夹角的余弦值为（）

A、 $\frac{5 \sqrt{7}}{14}$ B、 $\frac{5}{28}$ C、 $- \frac{5 \sqrt{7}}{14}$ D、 $- \frac{5}{28}$

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5. 习近平主席“绿水青山就是金山银山”的反复叮咛，人们已经耳熟能详，由此带来的发展方式转化，实实在在地改变着中国的样貌某工厂产生的废气必须经过过滤后排放，规定排放时污染物的残留含量不得超过原污染物总量的0.25%.已知在过滤过程中的污染物的残留数量 $P$ （单位：毫克/升）与过滤时间 $t$ （单位：小时）之间的函数关系为 $P = P_{0} \cdot e^{k t}$ （其中 $e$ 是自然对数的底数， $k$ 为常数， $P_{0}$ 为原污染物总量）.若前4个小时废气中的污染物被过滤掉了80%，则要能够按规定排放废气，还需要过滤 $n$ 小时，则正整数 $n$ 的最小值为（参考数据： $l o g_{5} 2 \approx 0.43$ ）（）

A、9 B、11 C、13 D、15

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6. 已知 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别是双曲线 $x^{2} - \frac{y^{2}}{24} = 1$ 的左，右焦点，若 $P$ 是双曲线左支上的点，且 $| P F_{1} | \cdot | P F_{2} | = 48$ ．则 $△ F_{1} P F_{2}$ 的面积为（）

A、8 B、16 C、24 D、 $8 \sqrt{3}$

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7. 已知 $S_{n}$ 是数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，且满足 $a_{1} = 1$ ， $a_{n + 1} = 2 S_{n}$ .则 $a_{2021} =$ （）

A、 $3^{2020}$ B、 $3^{2019}$ C、 $2^{2020}$ D、 $2 × 3^{2019}$

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8. 若关于 $x$ 的不等式 $e^{a x} - x + s i n 2 a x > \frac{1}{e^{a x}} - \frac{1}{x} + s i n (l n x^{2})$ 在 $(0 ， + ∞)$ 上恒成立，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(\frac{2}{e} ， + \infty)$ B、 $(\frac{1}{e} ， + \infty)$ C、 $(- \infty ， \frac{1}{e})$ D、 $(- \infty ， \frac{2}{e})$

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二、多选题

9. 已知函数 $f (x) = 3 s i n (ω x + φ) (ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的图象如图所示，则下列说法正确的是（）

A、 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = - \frac{π}{4}$ 对称 B、 $f (x)$ 的图象的对称中心是 $(- \frac{π}{4} ， 0)$ C、将 $f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度，得到 $y = 3 s i n 3 x$ 的图象 D、将 $f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度，得到 $y = 3 s i n 3 x$ 的图象

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10. 下列说法中正确的是（）

A、已知随机变量 $X$ 服从二项分布 $B (4 ， \frac{1}{3})$ .则 $E (X) = \frac{8}{9}$ B、已知随机变量 $X$ 服从正态分布 $N (3 ， σ^{2})$ 且 $P (X \leq 5) = 0.85$ ，则 $P (1 < X \leq 3) = 0.35$ C、已知随机变量 $X$ 的方差为 $D (X)$ ，则 $D (2 X - 3) = 2 D (X) - 3$ D、“ $A$ 与 $B$ 是互斥事件”是“ $A$ 与 $B$ 互为对立事件”的必要不充分条件

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11. 在棱长为1的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $M$ ， $N$ 分别为棱 $A_{1} D_{1}$ ， $D D_{1}$ 的中点，则下列说法正确的是（）

A、 $M$ ， $B_{1}$ ， $N$ ， $C$ 点共面 B、正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的外接球的表面积为 $12 π$ C、点 $C$ 到平面 $M N C_{1}$ 的距离为 $\frac{2}{3}$ D、直线 $A_{1} C$ 与平面 $M N C_{1}$ 所成的角的正弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{9}$

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12. 已知抛物线 $C$ ： $y^{2} = 4 x$ 的焦点为 $F$ ，点 $A (x_{1} ， y_{1})$ ， $B (x_{2} ， y_{2})$ 在 $C$ 上，则下列说法正确的是（）

A、若点 $P (2 ， 1)$ ，则 $△ P A F$ 的周长的最小值为 $3 + \sqrt{2}$ B、若点 $P (m ， 2)$ 是 $C$ 上的一点，且 $\vec{A F} + \vec{B F} = \vec{F P}$ ，则 $| A F |$ ， $| F P |$ ， $| B F |$ 成等差数列 C、若 $A$ ， $F$ ， $B$ 三点共线，则 $y_{1} y_{2} = - 2$ D、若 $| A B | = 8$ ，则 $A B$ 的中点到 $y$ 轴距离的最小值为3

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三、填空题

13. 已知直线 $l$ ： $2 x - y - 1 = 0$ 与圆 $C$ ： $x^{2} + y^{2} - 8 y + 6 = 0$ 相交于 $A$ ， $B$ 两点，则 $| A B | =$ .

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14. 已知 $c o s (θ + \frac{π}{4}) = \frac{1}{4}$ ，则 $t a n θ + \frac{1}{t a n θ} =$ .

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15. 将语文数学、英语物理、化学、生物六本书排成一排，其中语文、数学相邻，且物理、化学不在语文、数学的同一侧，则不同的排法共有种.（用数字作答）

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16. 在三棱锥 $P - A B C$ 中，平面 $P B C ⊥$ 平面 $A B C$ ， $A C ⊥ B C$ ， $A C = P B$ ．若 $P C = B C = a$ ，且三棱锥 $P - A B C$ 体积的最大值为 $\frac{4}{3}$ ，则 $a =$ ．

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四、解答题

17. 在数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 1$ .其前 $n$ 项和 $S_{n}$ 满足 $S_{n + 1} = S_{n} + \frac{a_{n}}{1 + 2 a_{n}}$

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = \frac{a_{n}}{2 n + 1}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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18. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $\frac{1}{s i n A} + \frac{1}{s i n B} = 2 \sqrt{6}$ ，且 $C = \frac{π}{3}$ ， $c = 6$ .

(1)、求证： $a + b = \frac{\sqrt{2}}{2} a b$ ；

(2)、求 $△ A B C$ 的面积.

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19. 如图，在四棱锥 $S - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是正方形，平面 $S B D ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $S D = \sqrt{2} A B = 2$ ， $S B = \sqrt{2} S D$ ，点 $E$ 是棱 $S D$ 上一点（不包含端点）.

(1)、求证： $A C ⊥ B E$ ；

(2)、若二面角 $C - A E - D$ 的余弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ，求 $D E$ 的长度.

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20. 某学校进行班级之间的中国历史知识竞赛活动，甲、乙两位同学代表各自班级以抢答的形式展开，共五道题，抢到并回答正确者得一分，答错则对方得一分，先得三分者获胜.每一次抢题且甲、乙两人抢到每道题的概率都是 $\frac{1}{2}$ ，甲乙正确回答每道题的概率分别为 $\frac{4}{5}$ ， $\frac{3}{5}$ ，且两人各道题是否回答正确均相互独立.

(1)、比赛开始，求甲先得一分的概率；

(2)、求甲获胜的概率.

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21. 已知圆 $O$ ： $x^{2} + y^{2} = 2$ ，椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > \sqrt{2})$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ， $P$ 是 $C$ 上的一点， $A$ 是圆 $O$ 上的一点， $| P A |$ 的最大值为 $\sqrt{6} + \sqrt{2}$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、点 $M$ 是 $C$ 上异于 $P$ 的一点， $P M$ 与圆 $O$ 相切于点 $N$ ，证明： ${| P O |}^{2} = | P M | \cdot | P N |$ .

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22. 已知函数 $f (x) = a l n x + x$ ， $g (x) = \frac{1}{2} x^{2} - (a + 2) x + \frac{3}{2} a (a \in R)$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若 $a > 1$ ， $h (x) = f (x) + g (x)$ ， $x_{1}$ ， $x_{2}$ 为 $h (x)$ 的两个极值点，证明： $h (x_{1}) + h (x_{1}) < \frac{7}{2}$ .

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使用年限 $x$ （年）	2	3	4	5	6
维护费用 $y$ （千元）	2	2.5	4.5	5	6.5