湖北省新高考联考协作体2021-2022学年高三上学期数学11月联考试卷

试卷更新日期：2022-02-17 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知复数 $z$ 满足 $z \cdot i^{2021} = 4 - 3 i$ ，则 $\bar{z}$ 的虚部为（）

A、4 B、-4 C、3 D、-3

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2. 已知集合 $A = {x | l o g_{2} (x - 1) < 0}$ ， $B = {x | 4 + 3 x - x^{2} > 0}$ .则 $(∁_{R} A) ∩ B =$ （）

A、（-1，1） B、（2，4） C、 $(- 1 ， 1) ∪ (2 ， 4)$ D、 $(- 1 ， 1] ∪ [2 ， 4)$

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3. “ $α = k π - \frac{π}{6} (k \in Z)$ ”是“ $s i n 2 α = - \frac{\sqrt{3}}{2}$ ”的（）

A、必要不充分条件 B、充分不必要条件 C、充要条件 D、既不充分又不必要条件

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4. 函数 $f (x) = \frac{c o s π x}{x}$ 在区间 $[- 4 ， 4]$ 上的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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5. 湖北新冶钢有限公司（简称为“新冶钢”）是中国现存最早的钢铁企业之一，素有中国“钢铁工业的摇篮”之称.该公司今年年初用192万元购进一台机器投入生产，每年可以给公司带来69万元的收入，但该台机器每年需要进行维护，第一年需要维护费12万元，从第二年起每年的维护费用比上一年增加6万元，则该台机器购买若干年后的年平均利润最大值是（）万元.

A、8 B、10 C、12 D、14

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6. 如图，某市人民广场正中央有一座铁塔，为了测量塔高AB，某人先在塔的正西方点C处测得塔项的仰角为45°，然后从点C处沿南偏东30°方向前进60m到达点D处，在D处测得塔项的仰角为30°，则铁塔AB的高度是（）

A、50m B、30m C、25m D、15m

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7. 已知函数 $f (x) = 202 2^{x} + l o g_{2022} (\sqrt{x^{2} + 1} + x) - 202 2^{- x} + 1$ ，则关于 $x$ 的不等式 $f (x) + f (2 x - 1) > 2$ 的解集为（）

A、 $(- \infty ， 1)$ B、 $(1 ， + \infty)$ C、 $(- \infty ， \frac{1}{3})$ D、 $(\frac{1}{3} ， + \infty)$

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8. 已知函数 $f (x) = x - l n x - 1$ ，若不等式 $f (x) \geq a {(x - 1)}^{2}$ 在区间 $(0 ， 1]$ 上恒成立，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A、 $(- \infty ， \frac{1}{2}]$ B、 $(- \infty ， \frac{1}{2})$ C、 $(\frac{1}{2} ， + \infty)$ D、 $[\frac{1}{2} ， + \infty)$

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二、多选题

9. 若 $a < b < 0$ ，则下列不等式正确的是（）

A、 $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$ B、 $a^{2} + a < b^{2} + b$ C、 $\frac{b}{a} + \frac{a}{b} > 2$ D、 ${(\frac{1}{2})}^{a} - {(\frac{1}{2})}^{b} < 0$

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10. 已知 $S_{n}$ 为等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，且 $S_{9} = 9 S_{3}$ ，则（）

A、若 $a_{1} > 0$ ，则 ${a_{n}}$ 是递增数列 B、若 $a_{1} = 1$ ，则 $a_{n} = 2 n - 1$ C、若 $a_{1} = - 1$ ，则 ${S_{n}}$ 是递增数列 D、若 $a_{1} = - 1$ ，则 $S_{n}$ 有最大值

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11. 已知函数 $f (x) = s i n (ω x + φ) (ω > 0 ， | φ | < π)$ 的部分图像如图所示，则下列说法正确的是（）

A、 $f (\frac{13}{6}) = \frac{1}{2}$ B、函数 $f (x - \frac{1}{3})$ 是偶函数 C、函数 $f (x)$ 在区间 $[2 k - \frac{2}{3} ， 2 k + \frac{1}{3}] (k \in Z)$ 上单调递增 D、若函数 $f (x)$ 在 $[- 2 ， a]$ 上有5个零点，则 $\frac{17}{6} \leq a < \frac{23}{6}$

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12. 如图，直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，平面 $A_{1} B_{1} C ⊥$ 平面 $B C C_{1} B_{1}$ ， D､F分别是 $B_{1} C_{1}$ ､ $A_{1} C$ 的中点，点E为 $B_{1} C$ 上动点，则有（）

A、若E为 $B_{1} C$ 中点，则 $A B / /$ 平面 $E F C_{1}$ B、 $∠ A_{1} B_{1} C_{1} = \frac{π}{2}$ C、若 $B C ： B B_{1} ： A B = 1 ： 1 ： \sqrt{6}$ ，则 $A_{1} C$ 与平面 $B C C_{1} B_{1}$ 所成角为 $\frac{π}{3}$ D、若 $B C = A B = \sqrt{3}$ ， $B B_{1} = 1$ ，则 $A_{1} E$ 与 $D E$ 长度之和最小值为 $\frac{\sqrt{21}}{2}$

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三、填空题

13. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 2^{x} - 1 ， x \geq 0 \\ a - 2^{b x} ， x < 0 \end{array}$ 为 $R$ 上的奇函数，则实数 $b =$ .

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14. 棱长都为2的正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ ，一只飞蚁在其内部飞动（包含其表面），且飞蚁到点A的距离不超过1，则飞蚁活动空间的体积为.

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15. 已知方程 $s i n 2 x + 2 s i n x + 2 a - \sqrt{3} = 0$ 对 $\forall x \in [0 ， \frac{π}{2}]$ 总有解，则实数 $a$ 的范围为.

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16. 已如平面内非零向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 满足 $| \vec{a} | = 1$ ， $| \vec{b} | = 2$ ， $\vec{a} \cdot \vec{b} = 1$ ，若 ${\vec{c}}^{2} - 2 \vec{b} \cdot \vec{c} + 2 = 0$ ，则 $| \vec{c} - \vec{a} |$ 的取值范围是.

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四、解答题

17. 在 $△ A B C$ 中，已知内角A､B､C的对边分别是a､b､c，且 $2 c c o s B = 2 a + b$ .

(1)、求角C的大小；

(2)、若 $c = 2 \sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 周长的最大值.

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18. 已知数列 ${a_{n}}$ 是递增的等差数列， $a_{2} = 3$ ，且 $a_{1}$ ， $a_{3} - a_{1}$ ， $a_{8} + a_{1}$ 成等比数列.

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = \frac{4}{(a_{n} + 1) (a_{n} + 5)}$ ， $n \in N^{*}$ ，数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和记为 $T_{n}$ ，不等式 $T_{n} > \frac{1}{6} l o g_{a} (1 - a)$ 对任意的正整数 $n$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围，

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19. 如图，三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，侧面 $B C C_{1} B_{1}$ 为矩形，若平面 $B C C_{1} B_{1} ⊥$ 平面 $A B B_{1} A_{1}$ ，平面 $B C C_{1} B_{1} ⊥$ 平面 $A B C_{1}$ .

(1)、求证： $A B ⊥ B B_{1}$ ；

(2)、记平面 $A B C_{1}$ 与平面 $A_{1} B_{1} C_{1}$ 所成角为 $α$ ，直线 $A C_{1}$ 与平面 $B C C_{1} B_{1}$ 所成角为 $β$ ，异面直线 $A C_{1}$ 与 $B C$ 所成角 $ϕ$ ，试探求 $c o s α c o s β$ 与 $c o s φ$ 的大小关系，并给出证明.

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20. 2021年湖北新高考第一届高考结束，某校为了预测2022届高考本科上线人数，对2021届物理方向的10个班进行了统计，其中每班随机各抽10人统计，经统计，每班10人中上本科线人数散点图如下：

(1)、由散点图，以2021届学生为参考标准，预测物理方向2022届学生上线率；

(2)、从以上统计的2021届高三（2）班的10人中按分层抽样抽出5人，再从5人中任取2人，求所抽取2人中考上本科的人数的分布列并求其数学期望；

(3)、已知湖北省甲市2022届物理方向高考人数为4万，假设以（1）中本科上线事作为甲市物理方向每个考生的本科上线率.若从甲市随机抽100名高三学生，求这100名学生中考上本科人数的均值：

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21. 在一张纸上有一圆 $C$ ： ${(x + 5)}^{2} + y^{2} = 64$ ，定点 $M (5 ， 0)$ ，折叠纸片使圆C上某一点 $M_{1}$ 恰好与点M重合，这样每次折叠都会留下一条直线折痕PQ，设折痕PQ与直线 $M_{1} C$ 的交点为T.

(1)、求证： $| T C | - | T M |$ 为定值，并求出点 $T$ 的轨迹 $C$ 方程；

(2)、曲线 $C$ 上一点P，点A､B分别为直线 $l_{1}$ ： $y = \frac{3}{4} x$ 在第一象限上的点与 $l_{2}$ ： $y = - \frac{3}{4} x$ 在第四象限上的点，若 $\vec{A P} = λ \vec{P B}$ ， $λ \in [\frac{1}{3} ， 2]$ ，求 $△ A O B$ 面积的取值范围.

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22. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{2} {(x - 2)}^{2} + m l n x$ ， $m \in R$ ，若函数 $f (x)$ 在定义域上存在两个极值点 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，且 $x_{1} < x_{2}$ .

(1)、求实数 $m$ 的取值范围；

(2)、证明： $\frac{f (x_{2})}{x_{1}} < \frac{f (x_{1})}{x_{2}}$ .

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