湖北省部分名校2021-2022学年高二上学期数学联考试卷

试卷更新日期：2022-02-17 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 直线 $\sqrt{3} x - y = 0$ 绕原点顺时针旋转 $9 0^{∘}$ 后所对应的直线的斜率为（）

A、-1 B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $- \sqrt{3}$

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2. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 3$ ， $a_{n} = 2 - \frac{1}{a_{n - 1}} (n \geq 2)$ ，则 $a_{5} =$ （）

A、 $\frac{9}{7}$ B、 $\frac{7}{5}$ C、 $\frac{13}{11}$ D、 $\frac{11}{9}$

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3. 抛物线 $4 x^{2} + 5 y = 0$ 的焦点坐标为（）

A、 $(- \frac{5}{8} ， 0)$ B、 $(0 ， - \frac{5}{16})$ C、 $(0 ， - \frac{5}{8})$ D、 $(- \frac{5}{16} ， 0)$

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4. 在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，F，G分别为 $A B ， C C_{1}$ 的中点，则（）

A、 $\vec{F G} = \frac{1}{2} \vec{A B} + \frac{1}{2} \vec{A D} + \frac{1}{2} \vec{A A_{1}}$ B、 $\vec{F G} = \frac{1}{2} \vec{A B} + \frac{1}{2} \vec{A D} + \vec{A A_{1}}$ C、 $\vec{F G} = \frac{1}{2} \vec{A B} + \vec{A D} + \frac{1}{2} \vec{A A_{1}}$ D、 $\vec{F G} = \frac{1}{2} \vec{A B} - \vec{A D} + \frac{1}{2} \vec{A A_{1}}$

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5. 若直线 $2 x + m y - 3 = 0$ 与 $m x + 8 y - 6 = 0$ 互相平行，则 $m =$ （）

A、4 B、-4 C、±4 D、±2

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6. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的两个焦点分别为 $F_{1} ， F_{2}$ ， P是椭圆上一点， $| P F_{1} | + | P F_{2} | = 10$ ，且C的短半轴长等于焦距，则椭圆C的标准方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{15} + \frac{y^{2}}{10} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{45} + \frac{y^{2}}{30} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{30} + \frac{y^{2}}{20} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{20} = 1$

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7. 圆 $C ： (x - 2)^{2} + (y + 2)^{2} = 4$ 关于直线 $x - y + 1 = 0$ 对称的圆的方程为（）

A、 $x^{2} + y^{2} - 6 x + 6 y + 16 = 0$ B、 $x^{2} + y^{2} + 6 x - 6 y + 14 = 0$ C、 $(x - 3)^{2} + (y + 3)^{2} = 4$ D、 $(x + 3)^{2} + (y + 3)^{2} = 4$

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8. 已知斜率为 $1$ 的直线与双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 相交于 $A$ 、 $B$ 两点， $O$ 为坐标原点， $A B$ 的中点为 $P$ ，若直线 $O P$ 的斜率为2，则双曲线 $C$ 的离心率为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、2 C、 $\sqrt{5}$ D、3

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二、多选题

9. 已知双曲线 $C ： \frac{y^{2}}{a^{2}} - \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的焦距为 $4 \sqrt{3}$ ，实轴长为 $4 \sqrt{2}$ ，则（）

A、C的虚轴长为8 B、C的虚轴长为4 C、C的渐近线方程为 $y = \pm \sqrt{2} x$ D、C的渐近线方程为 $y = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} x$

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10. 已知点 $A (2 ， 3) ， B (4 ， - 5)$ 到直线 $l ： (m + 3) x - (m + 1) y + m - 1 = 0$ 的距离相等，则实数m的值可以是（）

A、 $- \frac{7}{5}$ B、 $\frac{7}{5}$ C、 $- \frac{9}{5}$ D、 $\frac{9}{5}$

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11. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，侧面 $P A D$ 为等边三角形，平面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $A D ∥$ $B C$ ， $A B ⊥ A D$ ， $A B = A D = 2 B C = 4$ ， E是棱 $P D$ 上的动点（除端点外），F，M分别为 $A B ， C E$ 的中点，则（）

A、 $F M / /$ 平面 $P A D$ B、直线 $P A$ 与 $C D$ 所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{5}}{10}$ C、 $F M ⊥ C D$ D、当E是棱 $P D$ 的中点时，直线 $P A$ 与 $F M$ 所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{7}}{7}$

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12. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{2} + y^{2} = 1$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ，过 $F_{1}$ 且斜率为 $k$ 的直线与椭圆交于 $P$ 、 $Q$ 两点，若 $∠ P F_{2} Q$ 为钝角，则 $k$ 的取值可能为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ B、 $- \frac{\sqrt{3}}{5}$ C、 $- \frac{\sqrt{7}}{7}$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{6}$

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三、填空题

13. 直线 $l ： x - y - 1 = 0$ 被圆 $C ： x^{2} + y^{2} - 4 x + 6 y - 3 = 0$ 截得的弦长为．

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14. 如图，吊车梁的鱼腹部分 $A O B$ 是抛物线的一段，宽 $8 m$ ，高 $0.8 m$ ，根据图中的坐标系，可得这条抛物线的准线方程为．

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15. 如图，四棱锥 $P - A B C D$ 的底面ABCD是边长为2的正方形， $P D = 2$ ，且 $P A = P C = 2 \sqrt{2}$ ， $M$ 为 $B C$ 的中点，则点 $B$ 到平面 $P A M$ 的距离为.

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16. 传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数.他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，上图中第一行的1，3，6，10称为三角形数，第二行的1，5，12，22称为五边形数，则三角形数的第7项为，五边形数的第8项为.

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四、解答题

17. 在①原点到直线l的距离取得最大值，②直线l在x轴上的截距是在y轴上的截距的4倍这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中并作答．
已知直线l过点 $P (2 ， - 1)$ ．

(1)、当 ▲ 时，求直线l的方程；

(2)、若直线l与圆 $(x - 1)^{2} + (y - 1)^{2} = 1$ 相切，求直线l的方程．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

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18. 如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中， $∠ A C B = ∠ B P C = 90 °$ ， $P B = P C$ ， $B C = \frac{1}{2} A B = 2$ ，平面 $B C P ⊥$ 平面 $A B C$ ．

(1)、若 $\vec{P M} = 2 \vec{M B}$ ，求 $| \vec{A M} |$ ；

(2)、求直线 $A B$ 与平面 $A C P$ 所成角的正弦值．

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19. 已知抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 经过 $△ A B C$ 的三个顶点，且点 $A (1 ， 2)$ ．

(1)、求抛物线C的方程；

(2)、若直线 $A B ， A C$ 的倾斜角互补，求直线 $B C$ 的斜率．

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20. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为正方形， $A B = A P = 2$ ，平面 $P A B$ 和平面 $P A D$ 都垂直于平面 $A B C D$ ， $E$ 、 $F$ 分别为 $P A$ 、 $A B$ 的中点，直线 $A C$ 与 $D F$ 相交于 $O$ 点．

(1)、证明： $O E$ 与 $C D$ 不垂直．

(2)、求平面 $A P C$ 与平面 $P C D$ 夹角的大小．

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21. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左顶点为A，上顶点为B，左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ， $△ B F_{1} F_{2}$ 为直角三角形，过点 $P (1 ， 0)$ 的直线l与椭圆交于M，N两点，当直线l垂直于x轴时， $| M N | = \sqrt{6}$ ．

(1)、求椭圆C的标准方程；

(2)、若 $M N$ 的中点的横坐标为 $\frac{2}{3}$ ，求 $| M N |$ ．

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22. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的焦点到其渐近线的距离为 $\sqrt{3}$ ，离心率为2，O为坐标原点，双曲线的左、右焦点分别为 $F_{1} (- c ， 0) ， F_{2} (c ， 0)$ ．

(1)、求双曲线C的标准方程．

(2)、平面上有一点 $M (c ， b^{2})$ ，证明： $∠ F_{1} M F_{2}$ 的角平分线与双曲线C相切．

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