河北省省级联测2022届高三上学期数学第五次联考试卷

试卷更新日期：2022-02-17 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | y = l o g_{2} (x - 2)}$ ， $U = {x | x > 1}$ ，则 $∁_{U} A =$ （）

A、 $[1 ， 2]$ B、 $(1 ， 2)$ C、 $(1 ， 2]$ D、 $[1 ， 2)$

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2. 已知 $a$ ， $b \in R$ ， $p ： a^{2} + b^{2} \geq 2$ ， $q ： a b \geq 1$ ，则p是q的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 函数 $y = f (x)$ 在点 $A (1 ， f (1))$ 处的切线方程是 $y = 2 x - 1$ ，则 $f (1) + f^{^{'}} (1) =$ （）

A、2 B、3 C、4 D、5

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4. 小明参加某项测试，该测试一共3道试题，每道试题做对得5分，做错得0分，没有中间分，小明答对第1，2题的概率都是 $\frac{1}{2}$ ，答对第3题的概率是 $\frac{1}{3}$ ，则小明答完这3道题的得分期望为（）

A、 $\frac{25}{12}$ B、 $\frac{65}{12}$ C、 $\frac{20}{3}$ D、 $\frac{25}{3}$

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5. 数列1， $\frac{1}{2}$ ， $\frac{1}{2}$ ， $\frac{1}{2}$ ， $\frac{1}{3}$ ， $\frac{1}{3}$ ， $\frac{1}{3}$ ， $\frac{1}{3}$ ， $\frac{1}{3}$ ， $\frac{1}{4}$ ， …的第2021项为（）

A、 $\frac{1}{44}$ B、 $\frac{1}{45}$ C、 $\frac{1}{46}$ D、 $\frac{1}{2025}$

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6. 阿基米德（公元前287年——公元前212年），百科式科学家、数学家，和高斯、牛顿并列为世界三大数学家.阿基米德曾说过：“给我一个支点，我就能撬起整个地球.”阿基米德在做数学研究时，有一个有趣的问题：一个边长为2的正方形内部挖了一个内切圆，现以过该内切圆的圆心且平行于正方形的一边的直线为轴旋转一周形成几何体，则该旋转体的体积为（）

A、 $\frac{π}{3}$ B、 $\frac{2 π}{3}$ C、π D、 $\frac{4 π}{3}$

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7. 已知：①若 $x > 0$ ， $y > 0$ ，则 $\frac{2}{\frac{1}{x} + \frac{1}{y}} \leq \sqrt{x y}$ ；②若 $a > 0$ ， $b > 0$ ， $c > 0$ ， $d > 0$ ，则 $(a^{2} + b^{2}) (c^{2} + d^{2}) \leq (a c + b d)^{2}$ ；③若 $x > 0$ ， $y > 0$ ，且 $\frac{1}{x + 1} + \frac{2}{2 x + y} = 1$ ，则 $3 x + y$ 的最小值为 $2 + 2 \sqrt{2}$ .
上面不等式中正确的个数为（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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8. 已知函数 $f (x)$ 为函数 $f (x)$ 的导函数，满足 $t a n x \cdot f (x) > f (x)$ ， $a = \sqrt{6} f (\frac{π}{6})$ ， $b = \sqrt{3} f (\frac{π}{4})$ ， $c = \sqrt{2} f (\frac{π}{3})$ ，则下面大小关系正确的是（）

A、 $a < b < c$ B、 $a < c < b$ C、 $b < a < c$ D、 $c < b < a$

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二、多选题

9. 在复平面中，已知复数 $(a + 1) i^{2021} + (1 - a) i^{2020}$ 对应的点在第二象限，则实数 $a$ 的可能取值为（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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10. 将函数 $y = 3 s i n (2 x + \frac{π}{3})$ 的图象变换为函数 $y = 3 c o s (2 x + \frac{π}{6})$ 的图象，则所做的变换可以是（）

A、向左平移 $\frac{π}{6}$ B、向右平移 $\frac{π}{3}$ C、向右平移 $\frac{2 π}{3}$ D、向右平移 $\frac{5 π}{6}$

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11. 已知抛物线 $C ： x^{2} = 8 y$ 的焦点为F，直线 $y = k x + 2$ 与抛物线C交于M，N两点，且 $\vec{M F} = λ \vec{F N}$ ， $| M N | = 9$ ，则 $λ$ 的取值可以为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、2 D、3

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12. 已知点O是 $△ A B C$ 的外心， $A B = 4$ ， $A C = 6$ ， $\vec{A O} = x \vec{A B} + y \vec{A C}$ ，则下列正确的是（）

A、若 $c o s A = \frac{3}{4}$ ，则 $△ A B C$ 的外接圆面积为 $\frac{16 π}{7}$ B、若 $B C = 2 \sqrt{7}$ ，则 $3 y - 2 x = 1$ C、若 $A = \frac{π}{3}$ ，则 $2 x + 3 y = \frac{5}{2}$ D、当 $x = \frac{1}{6}$ ， $y = \frac{4}{9}$ 时， $| \vec{A O} | = \frac{2 \sqrt{21}}{3}$

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三、填空题

13. 已知向量 $\vec{a} = (3 ， 2)$ ， $\vec{b} = (2 ， m)$ ，若两个向量共线，则 $m =$ .

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14. 过点 $(2 \sqrt{3} ， \sqrt{3})$ 且渐近线与双曲线 $C ： y^{2} - \frac{x^{2}}{2} = 1$ 的渐近线相同的双曲线方程为.

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15. 已知四边形 $A B C D$ 中， $∠ B A D = 90 °$ ， $B D = B C = C D = 6$ ，三角形 $A B D$ 沿 $B D$ 折起，使得二面角 $A - B D - C$ 为120°，则此空间四边形外接球的表面积为.

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16. 若多项式 $x^{5} + (x + 2)^{6} = a_{0} + a_{1} (x + 1) + \cdot \cdot \cdot + a_{6} (x + 1)^{6}$ ，则 $a_{0} + a_{2} + a_{4} + a_{6} =$ ； $a_{0} + a_{3} =$ .

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四、解答题

17. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，满足 $S_{n} = 2 a_{n} - 1$ ，数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{n} + b_{n + 2} = 2 b_{n + 1}$ ，且 $b_{3} = 5$ ， $b_{7} = 13$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求数列 ${\frac{b_{n}}{a_{n}}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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18. 某教育集团向社会招聘一些管理型教师，现对应聘者所考虑的主要因素进行调查，所得统计结果如下表所示：

男性
女性
薪资
10
16
职位
10
4
参考公式： $K^{2} = \frac{n (a d - b c)^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ .
参考数据：
$P (K^{2} \geq k)$
0.100
0.050
0.010
0.001
$k$
2.706
3.841
6.635
10.828

(1)、是否有95%的把握认为应聘者关于工作的首要考虑因素与性别有关；

(2)、应聘需要通过两轮测试，才能成功应聘.第一轮测试有三道试题，答对两道以上视为通过；第二轮测试共有两道试题，全部答对视为通过.应聘者小张在第一轮中每道试题答对的概率为 $\frac{3}{4}$ ，在第二轮中每道试题答对的概率为 $\frac{1}{2}$ ，求小张通过应聘的概率.

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19. 已知在锐角 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $\sqrt{3} a s i n B + b c o s A - 2 b = 0$ .

(1)、求角 $A$ ；

(2)、若 $a = 2 \sqrt{3}$ ，求 $b - c$ 的取值范围.

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20. 在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为等腰梯形，点E为 $A C$ 与 $B D$ 的交点，其中 $A D / / B C$ ， $A D = \frac{1}{2} B C = 2$ ， $C D = \sqrt{10}$ ， $P B = P C = 4$ ， $P E = 2 \sqrt{2}$ .

(1)、证明：平面 $P A C ⊥$ 平面 $P B D$ ；

(2)、求二面角 $B - P D - C$ 的余弦值.

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21. 已知椭圆P焦点分别是 $F_{1} (0 ， - \sqrt{3})$ 和 $F_{2} (0 ， \sqrt{3})$ ，直线 $y = \sqrt{3}$ 与椭圆P相交所得的弦长为1.

(1)、求椭圆P的标准方程；

(2)、将椭圆P绕原点逆时针旋转90°得到椭圆Q，在椭圆Q上存在A，B，C三点，且坐标原点为 $△ A B C$ 的重心，求 $△ A B C$ 的面积.

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22. 设函数 $f (x) = e^{m x} + x^{2} - m x + t$ 在 $(0 ， f (0))$ 处的切线经过点 $(1 ， 1)$ .

(1)、求 $t$ 的值，并且讨论函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、当 $m = 1$ 时， $x \in (0 ， + \infty)$ 时，不等式 $f (2 x) - f (- 2 x) > 4 b [f (x) - f (- x)]$ 恒成立，求 $b$ 的取值范围.

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$P (K^{2} \geq k)$	0.100	0.050	0.010	0.001
$k$	2.706	3.841	6.635	10.828

	男性	女性
薪资	10	16
职位	10	4