湖南省A佳大联考2021-2022学年高二上学期12月月考数学试题

试卷更新日期：2022-02-17 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | x^{2} - 2 x - 3 \leq 0}$ ， $B = {y | y = 1 + e^{x}}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 $(1 ， 3]$ B、 $[1 ， 3]$ C、 $[- 1 ， 1)$ D、 $[- 1 ， 1]$

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2. 下列函数是偶函数，且在 $(0 ， + ∞)$ 上是增函数的是（）

A、 $f (x) = l n (x^{2} - 1)$ B、 $f (x) = x^{- 2}$ C、 $f (x) = x + \frac{1}{x}$ D、 $f (x) = e^{| x |}$

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3. 在等差数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{2} = 5$ ， $a_{12} = 1$ ，则 $a_{7} =$ （）

A、2 B、 $\frac{11}{4}$ C、3 D、 $\frac{7}{4}$

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4. 若直线 $m x - y + 3 = 0$ 与直线 $x - m y + 1 = 0$ 平行，则实数m的取值为（）

A、1或－1 B、－1 C、1 D、0

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5. 若椭圆 $\frac{y^{2}}{16} + \frac{x^{2}}{4} = 1$ 上一点A到焦点 $F_{1}$ 的距离为3，则点A到焦点 $F_{2}$ 的距离为（）

A、6 B、5 C、4 D、3

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6. 双曲线 $3 y^{2} - x^{2} = 1$ 的渐近线方程是（）

A、 $y = \pm \frac{1}{3} x$ B、 $y = \pm \sqrt{3} x$ C、 $y = \pm \frac{\sqrt{3}}{3} x$ D、 $y = \pm \sqrt{2} x$

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7. 在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点O为线段 $B D$ 的中点.设点P在线段 $B B_{1}$ （P不与B重合）上，直线 $O P$ 与平面 $A_{1} B D$ 所成的角为 $α$ ，则 $s i n α$ 的最大值是（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{4}$

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8. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > 0$ ， $b > 0$ ）的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，过 $F_{1}$ 且斜率为 $- 3 \sqrt{7}$ 的直线与双曲线在第二象限的交点为A，若 $(\vec{F_{1} F_{2}} + \vec{F_{1} A}) \cdot \vec{F_{2} A} = 0$ ，则此双曲线的离心率为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $\frac{\sqrt{7}}{2}$ D、2

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二、多选题

9. 已知函数 $f (x) = t a n (2 x + \frac{π}{6})$ ，则下列说法不正确的是（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ B、 $f (x)$ 的图象关于点 $(- \frac{π}{6} ， 0)$ 对称 C、 $f (x)$ 在区间 $(\frac{k}{2} π - \frac{π}{3} ， \frac{k}{2} π + \frac{π}{6}) (k \in Z)$ 单调递增 D、 $f (x)$ 图象上各点的横坐标变为原来的两倍后，再向左平移 $\frac{π}{6}$ 长度单位后，可得到 $y = t a n x$ 的图象

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10. 以下四个命题表述正确的是（）

A、直线 $y = a x - 2 a + 4$ （ $a \in R$ ）必过定点 $(1 ， 4)$ B、圆 $x^{2} + y^{2} = r^{2}$ （ $r > 0$ ）上有且仅有4个点到直线 $l ： x - y + \sqrt{2} = 0$ 的距离都等于1，则 $r > 2$ C、曲线 $C_{1} ： x^{2} + y^{2} + 2 x + 2 y - 2 = 0$ 与曲线 $C_{2} ： x^{2} + y^{2} - 4 x - 2 y + 4 = 0$ 恰有三条公切线 D、已知圆 $C ： x^{2} + y^{2} = 1$ ，点P为直线 $3 x + 4 y = 10$ 上一动点，过点P向圆C引两条切线 $P A$ ， $P B$ ， A，B为切点，四边形 $P A C B$ 面积的最小值为 $\sqrt{3}$

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11. 1921年伟大的中国共产党成立，经过28年的浴血奋战，于1949年成立了中华人民共和国，从此，中国人民站起来了.到2021年，习总书记在庆祝中国共产党成立100年大会上庄严宣告：我们实现了第一个百年奋斗目标，正向着全面建成社会主义现代化强国的第二个奋斗目标迈进.现有一个等差数列 ${a_{n}}$ ，其公差d与各项均为正整数， $a_{1} = 1921$ ， $a_{m} = 1949$ ， $a_{n} = 2021$ ，下列说法正确的是（）

A、d的最小值为4 B、m，n满足关系式 $25 m - 7 n = 18$ C、 $m + n$ 的最小值为34 D、满足条件的m，n有且仅有4组

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12. 已知抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为F，直线l过点F交抛物线C于A，B两点（A在第一象限），交抛物线C的准线于点D，若 $\vec{A F} = \vec{F D}$ ， $| \vec{A F} | = 4$ ，则以下结论正确的是（）

A、 $p = 2$ B、直线l的倾斜角为 $\frac{π}{3}$ C、 $| B F | = 2$ D、以 $A B$ 为直径的圆与抛物线C的准线相切

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三、填空题

13. 点 $P (2 ， 4)$ 关于直线 $x + y = 1$ 的对称点的坐标为.

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14. 已知矩形 $A B C D$ 中， $A E ⊥ B D$ ， $C F ⊥ B D$ ， $A E = C F = 4$ ， $E F = 3$ ， E，F为垂足.将矩形 $A B C D$ 沿对角线 $B D$ 折起，得到二面角 $A - B D - C$ ，若二面角 $A - B D - C$ 的大小为 $60 °$ ，则 $A C =$ .

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15. 已知圆 $O ： x^{2} + y^{2} = 4$ （O为坐标原点），直线 $l ： y = k x + \sqrt{3}$ 与圆O相交于A，B，则 $\vec{O A} \cdot \vec{A B}$ 的最大值为.

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16. 数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1$ ， $a_{2} = 9$ ， $a_{n + 2} = 6 a_{n + 1} - 8 a_{n} - 10$ （ $n \geq 1$ ）， $b_{n} = a_{n + 1} - 4 a_{n}$ ，则数列 ${b_{n}}$ 前n项和为.

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四、解答题

17. 已知圆C的圆心在x轴上，并且过 $A (- 1 ， 1)$ ， $B (3 ， 3)$ 两点.

(1)、求圆C的方程；

(2)、若P为圆C上任意一点，定点 $M (8 ， 0)$ ，点Q满足 $\vec{P Q} = 2 \vec{Q M}$ ，求点Q的轨迹方程.

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18. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ， $a_{7} = 13$ ， $S_{8} = 64$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = a_{n} + 3^{n}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前n项和 $T_{n}$ .

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19. 已知函数 $f (x) = c o s^{2} (x + π) - s i n x s i n (x - \frac{π}{3})$ （ $x \in R$ ）.

(1)、求 $f (x)$ 的最小正周期；

(2)、在 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c， $f (\frac{B}{2}) = 1$ ，若 $b = 3$ ， D为 $A C$ 边上一点， $B D = 2$ ，且________，求 $△ A B C$ 的面积.（从① $B D$ 为 $∠ A B C$ 的平分线，②D为 $A C$ 的中点，这两个条件中任选一个补充在上面的横线上并作答）

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20. 如下图所示， $P - A B C D$ 是一个四棱锥，已知四边形 $A B C D$ 是梯形， $P D ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $A D ⊥ C D$ ， $A B ∥ C D$ ， $P D = A D = A B = 2$ ， $C D = 4$ ，点E是棱 $P C$ 上的点， $B E ∥$ 平面 $P D A$ ，点F在棱 $P B$ 上， $\vec{P F} = λ \vec{P B}$ .

(1)、直线 $B E$ 与 $A D$ 所成的角的正切值：

(2)、若 $D F ⊥ P B$ ，证明： $D F ⊥ B E$ ；

(3)、问 $λ$ 为多少时，平面 $D E F ⊥$ 平面 $B D E$ ？

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21. 已知数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 1$ ， $a_{n + 1} = 2 S_{n} + 1$ （ $n \in N^{*}$ ）， $S_{n}$ 为数列 ${a_{n}}$ 的前n项和.

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = l o g_{3} a_{n}$ ，求数列 ${a_{n} b_{n}}$ 的前n项和 $T_{n}$ ；

(3)、在 $a_{n}$ ， $a_{n + 1}$ 之间插入n个数，使这 $n + 2$ 个数组成一个公差为 $d_{n}$ 的等差数列，在数列 ${d_{n}}$ 中是否存在3项 $d_{m}$ ， $d_{k}$ ， $d_{p}$ ，（其中m，k，p成等差数列）成等比数列？若存在，求出这3项；若不存在，请说明理由.

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22. 在直角坐标系 $x O y$ 中，椭圆 $C ： \frac{y^{2}}{a^{2}} + \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，其离心率为 $\frac{1}{2}$ .A为椭圆的左顶点，P为椭圆上的动点（不与椭圆的左右顶点重合）.已知 $△ P F_{1} F_{2}$ 的面积的最大值为 $\sqrt{3}$ .

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、如图，N为 $P A$ 的中点，直线 $O N$ 交直线 $x = 4$ 于点D，直线 $O H ∥ A P$ ，交 $x = 4$ 于点H.
（i）求 $\vec{H F_{2}} \cdot \vec{O D}$ ；
（ii）证明： $∠ O H F_{2} = ∠ O D F_{2}$ .

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