湖北省新高考2021-2022学年高三上学期12月质量检测巩固卷数学试题

试卷更新日期：2022-02-17 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 设集合 $U = {1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5}$ ， $A = {1 ， 3}$ ， $B = {2 ， 3 ， 4}$ ，则 $(∁_{U} B) ∪ A =$ （）

A、 ${1}$ B、 ${1 ， 3}$ C、 ${1 ， 3 ， 5}$ D、 ${1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5}$

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2. 在复平面内，已知平行四边形 $O A B C$ 的三个顶点O，A，C对应的复数分别为0， $2 + 4 i$ ， $- 3 + 2 i$ ，则点B对应的复数为（）

A、 $- 1 + 6 i$ B、 $1 + 6 i$ C、 $5 + i$ D、 $- 1 + 5 i$

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3. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的渐近线方程为 $y = \pm 2 x$ ，则该双曲线的离心率为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、 $\sqrt{5}$

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4. 两千多年前我们的祖先就使用“算筹”表示数，后渐渐发展为算盘.算筹有纵式和横式两种排列方式，0~9各个数字及其算筹表示的对应关系如下表：

0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
纵式
横式
排列数字时，个位采用纵式，十位采用横式，百位采用纵式，千位采用横式，……，纵式和横式依次交替出现.如“”表示87，“”中表示502.在将“”“”“”“”“”按照一定顺序排列成无重复数字的三位数中任取一个，取到奇数的概率是（）

A、0.7 B、0.6 C、0.4 D、0.3

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5. 已知 $α \in (π ， 2 π)$ ， $t a n (α - \frac{π}{4}) = \frac{1}{3}$ ，则 $2 s i n α - c o s α =$ （）

A、 $\frac{3}{5} \sqrt{5}$ B、 $- \frac{3}{5} \sqrt{5}$ C、 $\frac{3}{5} \sqrt{5}$ 或 $- \frac{3}{5} \sqrt{5}$ D、0

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6. 已知圆台下底面的半径为 $2$ ，高为 $2$ ，母线长为 $\sqrt{5}$ ，则这个圆台的体积为（）

A、 $\frac{14}{3} π$ B、 $\frac{7}{2} π$ C、 $\frac{14}{5} π$ D、 $\frac{7}{3} π$

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7. 已知 $a = l o g_{2} 3$ ， $b = 2^{\sqrt{3}}$ ， $c = \sqrt{3}$ ，则下列判断正确的是（）

A、 $c < b < a$ B、 $c < a < b$ C、 $a < c < b$ D、 $a < b < c$

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8. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 的各项均为正数，公比为q， $a_{1} > 1$ ， $a_{6} + a_{7} > a_{6} a_{7} + 1 > 2$ ，记 ${a_{n}}$ 的前n项积为 $T_{n}$ ，则下列选项错误的是（）.

A、 $0 < q < 1$ B、 $a_{6} > 1$ C、 $T_{12} > 1$ D、 $T_{13} > 1$

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二、多选题

9. 函数 $f (x) = s i n (\frac{π}{6} - 2 x)$ 在下列区间上单调递增的是（）

A、 $(0 ， \frac{π}{2})$ B、 $(\frac{π}{3} ， \frac{π}{2})$ C、 $(- \frac{2 π}{3} ， - \frac{π}{6})$ D、 $(\frac{π}{3} ， π)$

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10. 已知圆 $O ： x^{2} + y^{2} = 9$ ，点 $P (a ， b)$ 在圆O外，以线段OP为直径作圆M，与圆O相交于A，B两点，则（）

A、直线PA，PB均与圆O相切 B、当 $P A = P B = 4$ 时，点P在圆 $x^{2} + y^{2} = 5$ 上运动 C、当 $P A = P B = 3$ 时，点M在圆 $x^{2} + y^{2} = \frac{9}{2}$ 上运动 D、若 $a = 4 ， b = - 2$ ，则直线AB的方程为 $4 x - 2 y - 9 = 0$

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11. 一口袋中有大小和质地相同的4个红球和2个白球，则下列结论正确的是（）

A、从中任取3球，恰有一个白球的概率是 $\frac{3}{5}$ B、从中有放回的取球6次，每次任取一球，恰好有两个白球的概率为 $\frac{80}{243}$ C、从中不放回的取球2次，每次任取1球，若第一次已取到了红球，则第二次再次取到红球的概率为 $\frac{2}{5}$ D、从中有放回的取球3次，每次任取一球，则至少有一次取到红球的概率为 $\frac{26}{27}$

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12. 在棱长都相等的正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，E是AB的中点， $O$ 是 $B C_{1}$ 的中点，则（）

A、 $A C_{1} / /$ 平面 $B_{1} C E$ B、若P是 $A C_{1}$ 上的动点，则三棱锥 $O - P E C$ 的体积为该正三棱柱体积的 $\frac{1}{6}$ C、异面直线 $A C_{1}$ 与 $E B_{1}$ 所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{10}}{4}$ D、若在该三棱柱的内部放一个球，则该球的最大体积为该正三棱柱体积的 $\frac{8 π}{27}$

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三、填空题

13. 已知向量 $\vec{a} = (\sqrt{3} ， 1) ， \vec{b} = (1 ， \sqrt{3})$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 有夹角为．

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14. 某校篮球队某队员若干场比赛的得分数据统计表如下：
每场比赛得分
3
6
7
10
11
13
30
频数
2
1
2
3
1
1
1
则该队员得分的中位数是.

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15. 已知过抛物线 $C ： y^{2} = 4 x$ 的焦点F且斜率为 $- 1$ 的直线l交抛物线C于A、B两点，则 $| A B | =$ .

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16. 已知函数 $f (x) = a^{x} - x^{2}$ ，其中 $a > 1$ .若 $a = 2$ ，则 $f (x)$ 有个零点；若 $f (x)$ 有两个零点，则实数 $a$ 的值构成的集合是.

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四、解答题

17. 已知等差数列的前n项和为 $S_{n}$ ， $a_{2} = 4$ ， $S_{7} = 56$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{n} = 2^{a_{n}}$ ，求证： $\frac{3}{b_{1}} + \frac{3}{b_{2}} + ⋯ + \frac{3}{b_{n}} < 1$ .

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18. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $a < b < c$ ，三角形三边上的高之比为 $2 ： 3 ： 4$ .

(1)、求 $c o s C$ 的值；

(2)、若 $E$ 为边 $A C$ 上一点， $∠ C E B = 30 °$ ， $B C = 3$ ，求 $B E$ 的长.

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19. 某网络科技公司在年终总结大会上，为增添喜悦､和谐的气氛，设计了闯关游戏这一环节，闯关游戏必须闯过若干关口才能成功.其中第一关是答题，分别设置“文史常识题”“生活常识题”“影视艺术常识题”这3道题目，规定有两种答题方案：
方案一：答题3道，至少有两道答对；
方案二：在这3道题目中，随机选取2道，这2道都答对.
方案一和方案二中只要完成一个，就能通过第一关.假设程序员甲和程序员乙答对这3道题中每一道题的概率都是 $p (p \in (0 ， 1))$ ，且这 $3$ 道题是否答对相互之间没有影响.程序员甲选择了方案一，程序员乙选择了方案二.

(1)、求甲和乙各自通过第一关的概率；

(2)、设甲和乙中通过第一关的人数为 $ξ$ ，是否存在唯一的 $p$ 的值 $p_{0}$ ，使得 $E (ξ) = 1$ ？并说明理由.

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20. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，四边形ABCD为平行四边形， $P A = P D = \sqrt{2}$ ， $A B = 1$ ， $A D = 2$ ， $P D ⊥ A B$ .

(1)、证明：平面 $P C D ⊥$ 平面PAB；

(2)、若 $P B = \sqrt{3}$ ，试在棱PD上确定一点E，使得平面PAB与平面EAC所成锐二面角的余弦值为 $\frac{2 \sqrt{7}}{7}$ .

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21. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{1}{2}$ ，它的短轴长为 $2 \sqrt{3}$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、已知点 $M$ ， $N$ 在 $x$ 轴上，过椭圆 $C$ 上一点 $P (1 ， \frac{3}{2})$ 作直线 $P M$ ， $P N$ 分别交椭圆 $C$ 于另一点 $S$ ， $T$ ，若 $P M = P N$ ，求证： $△ P S T$ 的外接圆与过点 $P$ 的直线 $l ： x + 2 y - 4 = 0$ 相切.

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22. 已知函数 $f (x) = \frac{e^{x}}{x}$ ， $g (x) = t a n x$ .

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、设函数 $F (x) = f (x) - g (x)$ ，试判断 $F (x)$ 在 $(- \frac{π}{2} ， 0) ∪ (0 ， \frac{π}{2})$ 内的零点个数.

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	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
纵式
横式

每场比赛得分	3	6	7	10	11	13	30
频数	2	1	2	3	1	1	1