黑龙江省牡丹江地区四校2021-2022学年高二上学期12月联合考试数学试题

试卷更新日期：2022-02-17 类型：月考试卷

进入出卷网下载

一、单选题

1. 已知数列 ${a_{n}}$ 的一个通项公式为 $a_{n} = (- 1)^{n} \cdot 2^{n} - a$ ，且 $a_{2} = 7$ ，则 $a_{1}$ 等于（）

A、0 B、1 C、-1 D、3

查看试题解析
2. 若 $\vec{a} = (- 1 ， 2 ， \frac{1}{2})$ 与 $\vec{b} = (2 ， m ， - 1)$ 共线，则 $m =$ （）

A、2 B、-2 C、4 D、-4

查看试题解析
3. 在等差数列 ${a_{n}}$ 中，若 $a_{2} + a_{3} = 3$ ， $a_{5} + a_{6} = 4$ ，则公差 $d =$ （）

A、1 B、2 C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{6}$

查看试题解析
4. 下列求导运算不正确的是（）

A、 $(x^{3} - x^{2})' = 3 x^{2} - 2 x$ B、 $(c o s x)' = - s i n x$ C、 ${(2^{x})}^{^{'}} = 2^{x} l n 2$ D、 ${(e^{x} + l n 2)}^{'} = e^{x} + \frac{1}{2}$

查看试题解析
5. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{4} = 1 (a > 0)$ 与直线 $x - 2 y - 2 = 0$ 交于A，B两点，点 $M (\frac{2}{3} ， - \frac{2}{3})$ 为线段 $A B$ 的中点，则a的值为（）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、3 C、 $\sqrt{6}$ D、 $4 \sqrt{2}$

查看试题解析
6. 若直线 $x - y + 1 = 0$ 截圆 $(x - 2)^{2} + (y - 1)^{2} = r^{2} (r > 0)$ 所得劣弧所对的圆心角为 $\frac{π}{2}$ ，则r的值为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、 $2 \sqrt{3}$

查看试题解析
7. 设等比数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ， $S_{m - 1} = 2$ ， $S_{m + 1} = 4$ ， $S_{m + 3} = 6$ ，则m等于（）

A、2 B、3 C、4 D、5

查看试题解析
8. 古希腊数学家阿波罗尼奥斯（约公元前262~公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数 $k (k > 0 ， k \neq 1)$ 的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼奥斯圆.已知A，B是平面上的两定点， $| A B | = 2$ ，动点 $M$ 满足 $\frac{| M A |}{| M B |} = \sqrt{2}$ ， $∠ C A B = 120 °$ ，动点N在直线AC上，则MN距离的最小值为（）

A、 $\sqrt{11} - 2 \sqrt{2}$ B、 $3 - 2 \sqrt{2}$ C、 $2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{2}$ D、 $2 \sqrt{5} - 2 \sqrt{2}$

查看试题解析

二、多选题

9. 设等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ .若 $S_{3} = 6 ， a_{4} = 10$ ，则（）

A、 $S_{n} = 2 n^{2} - 4 n$ B、 $S_{n} = n^{2} - 2 n$ C、 $a_{n} = 4 n - 8$ D、 $a_{n} = 4 n - 6$

查看试题解析
10. 已知直线 $l_{1} ： k x - y + 2 - 3 k = 0$ 与直线 $l_{2} ： x + 2 y + 2 = 0$ 的交点在第三象限，则实数k的值可能为（）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、 $\frac{6}{7}$ D、2

查看试题解析
11. 已知正项的等比数列 ${a_{n}}$ 中 $a_{1} = 2$ ， $a_{4} = 2 a_{2} + a_{3}$ ，设其公比为 $q$ ，前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则（）

A、 $q = 2$ B、 $a_{n} = 2^{n}$ C、 $S_{10} = 2047$ D、 $a_{n} + a_{n + 1} < a_{n + 2}$

查看试题解析
12. 已知O为坐标原点，抛物线 $y^{2} = 4 x$ 的焦点为F，A，B为抛物线上的两个动点，M为弦 $A B$ 的中点，对A，B，M三点分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为C，D，N，则下列说法正确的是（）

A、当 $A B$ 过焦点F时， $△ M C D$ 为等腰三角形 B、若 $\vec{A F} = - 2 \vec{B F}$ ，则直线 $A B$ 的斜率为 $\pm \sqrt{3}$ C、若 $∠ A F B = 120 °$ ，且 $| B F | = 2 | A F |$ ，则 $\frac{| M N |}{| A B |} = \frac{3 \sqrt{7}}{7}$ D、若 $△ A O F$ 外接圆与抛物线的准线相切，则该圆的面积为 $\frac{9}{4} π$

查看试题解析

三、填空题

13. 已知函数 $f (x) = x^{2} + 2 f^{^{'}} (1) l n x$ ，则 $f' (1) =$ .

查看试题解析
14. 在等比数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{2} = 1 ， a_{7} = - 1$ ，则 $a_{2022} =$ .

查看试题解析
15. 在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A C = B C = 1$ ， $A B = \sqrt{2}$ ， $A A_{1} = 2$ ，则点C到平面 $A B C_{1}$ 的距离为.

查看试题解析
16. 已知双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ， A是C的左顶点，点P在过点 $F_{1}$ 且斜率为 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ 的直线上， $△ P F_{2} A$ 为等腰三角形， $∠ P F_{2} F_{1} = 120 °$ ，则双曲线的离心率为.

查看试题解析

四、解答题

17. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - 4 x + 1$ ， $f^{^{'}} (x)$ 为函数 $f (x)$ 的导数.

(1)、求 $f^{^{'}} (x) < 3 x$ 的解集；

(2)、求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(0 ， f (0))$ 处的切线方程.

查看试题解析
18. 公差不为0的等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，已知 $S_{3} = 9$ ，且 $a_{2} \cdot a_{8} = a_{3} \cdot a_{5}$ .

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、令 $b_{n} = \frac{1}{a_{n} \cdot a_{n + 1}}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前n项和 $T_{n}$ .

查看试题解析
19. 如图，在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，底面 $A B C D$ 是正方形， $B D = 2 A A_{1} = 2$ ，点M是正方形A₁B₁C₁D₁的中心.

(1)、证明： $A M ⊥$ 平面 $A_{1} B D$ ；

(2)、求 $B M$ 与平面 $A_{1} B D$ 所成角的正弦值.

查看试题解析
20. 已知各项均不为零的数列 ${a_{n}}$ 的首项 $a_{1} = 1$ ，且 $a_{n} - a_{n + 1} = a_{n} \cdot a_{n + 1}$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{n} = \frac{3^{n}}{a_{n}}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前n项和 $S_{n}$ .

查看试题解析
21. 已知斜率为 $2$ 的直线 $l$ 经过抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点 $F$ ，且与抛物线交于 $A$ 、 $B$ 两点，若 $| A B | = 10$ .

(1)、求抛物线方程；

(2)、若 $O$ 为坐标原点， $C$ 、 $D$ 为抛物线上异于原点 $O$ 的不同的两点，记 $O C$ 的斜率为 $k_{1}$ ， $O D$ 的斜率为 $k_{2}$ ，当 $k_{1} k_{2} = - 2$ 时，求证：直线 $C D$ 过定点.

查看试题解析
22. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左焦点为F，离心率为 $\frac{1}{2}$ ，点 $A (- 1 ， \frac{3}{2})$ 是椭圆C上一点.

(1)、求椭圆C的标准方程；

(2)、若M､N为椭圆C上不同于A的两点，且直线 $A M ， A N$ 关于直线 $A F$ 对称，设直线 $M N$ 与y轴交于点 $D (0 ， d)$ ，求d的取值范围.

查看试题解析