河南省高考联盟2021-2022学年高三上学期12月教学检测理科数学试题

试卷更新日期：2022-02-17 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {- 1 ， 1 ， 3} ， B = {1 ， 2 ， 3}$ ，则 $A ∩ B$ 的子集的个数为（）

A、2 B、4 C、8 D、16

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2. 下列说法中正确的是（）

A、若 $a c^{2} > b c^{2}$ ，则 $a > b$ B、若 $a > b$ ，则 $a c^{2} > b c^{2}$ C、若 $\frac{a}{c} > \frac{b}{c}$ ，则 $a > b$ D、若 $a > b$ ，则 $c - a > c - b$

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3. 已知 $p ： | 2 x - 1 | ⩽ 3 ， q ： x^{2} < 1$ ，则 $p$ 是 $q$ 的（）

A、充要条件 B、充分不必要条件 C、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 已知两条不同直线 $m ， n$ 和两个不同平面 $α ， β$ ，下列判断正确的是（）

A、若 $m$ $∥$ $α ， n$ $∥$ $β ， m$ $∥$ $n$ ，则 $α$ $∥$ $β$ B、若 $m ⊥ α ， n ⊥ β ， m$ $∥$ $n$ ，则 $α ⊥ β$ C、若 $m ⊥ α ， n ⊥ β ， α$ $∥$ $β$ ，则 $m$ $∥$ $n$ D、若 $m ⊥ α ， n ⊥ β ， m ⊥ β$ ，则 $m ⊥ n$

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5. 等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，首项 $a_{1} = 2$ ，若数列 ${S_{n} - 1}$ 也为等比数列，则数列 ${a_{n}}$ 的公比 $q$ 的值为（）

A、-1 B、1 C、±1 D、不能确定

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6. 若 $α \in (\frac{π}{2} ， π) ， t a n 2 α = \frac{s i n α}{2 + c o s α}$ ，则 $t a n α =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{15}}{15}$ B、 $- \frac{\sqrt{15}}{15}$ C、 $\sqrt{15}$ D、 $- \sqrt{15}$

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7. 加油站的汽油单价会出现波动，一段时间内小明的爸爸准备去加油站加两次油，且两次汽油单价不同，现有两种加油方式：①每次所加的油量固定；②每次加油的付款额固定.若平均单价越低则该加油方式越划算，不考虑其他因素影响，则（）

A、按方式①加油更划算 B、按方式②加油更划算 C、两种加油方式一样划算 D、无法比较哪种加油方式更划算

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8. 把函数 $y = f (x) - c o s 2 x$ 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，再将图象上所有点向右平移 $\frac{π}{2}$ 个单位，纵坐标不变，得到函数 $y = s i n x$ 的图象.则 $f (x) =$ （）

A、 $2 s i n 2 x$ B、 $2 s i n (2 x + \frac{π}{4})$ C、 $2 c o s 2 x$ D、 $2 c o s (2 x + \frac{π}{4})$

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9. 已知 $a$ 为常数，函数 $f (x) = \frac{1}{2} a x^{2} + x (l n x - 1)$ 有两个极值点 $x_{1} ， x_{2} (x_{1} < x_{2})$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $- \frac{1}{e} < a < 0$ B、 $0 < a < \frac{1}{e}$ C、 $a < - \frac{1}{e}$ D、 $a > \frac{1}{e}$

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10. 中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一，印信的形状多为长方体､正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美，如图是一个棱数为24的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的棱上，且此正方体的棱长为 $1 .$ 该多面体的外接球（即经过多面体所有顶点的球）的半径为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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11. 设 $a = l n 1.1 ， b = 0.21 ， c = e^{0.1} - 1$ ，则（）

A、 $a < b < c$ B、 $a < c < b$ C、 $b < a < c$ D、 $b < c < a$

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12. 已知 $P$ 是曲线 $y = c o s x (x \leq 0)$ 上一动点，过 $P$ 作抛物线 $y^{2} = 4 x$ 的两条切线，切点分别为 $A ， B$ ，则 $△ P A B$ 面积的最小值为（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{(2 π + 1)^{\frac{3}{2}}}{8}$ D、 $\frac{(2 π)^{\frac{3}{2}}}{2}$

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二、填空题

13. 已知曲线 $C ： m x^{2} + n y^{2} = 1$ （其中 $m ， n$ 为非零常数），若 $m + n = 0$ ，则曲线 $C$ 的离心率 $e$ 为.

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14. 已知幂函数 $f (x) = (2 n^{2} - n) x^{n}$ 在 $(0 ， + ∞)$ 上单调递减，则实数 $n$ 的值为.

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15. 在 $△ A B C$ 中，动点 $D$ 满足 $\vec{A D} = \frac{1}{2} (1 - λ) \vec{A B} + \frac{1}{3} λ \vec{A C} (0 \leq λ \leq 1) ， A B = 4 ， A C = 6 ， B C = 2 \sqrt{7}$ ，则动点 $D$ 的轨迹与直线 $A B ， A C$ 所形成封闭图形的面积为.

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16. 满足方程 $x^{2} - D y^{2} = 1$ 的整点 $(x ， y)$ （即 $x ， y$ 都是整数）称为佩尔方程 $x^{2} - D y^{2} = 1$ 的解，其中 $D$ 是给定的整数.当 $\sqrt{D}$ 是无理数时，记 $Ω = {(x ， y) ∣ x^{2} - D y^{2} = 1 ， x \in N^{*} ， y \in N^{*}}$ .若 $\forall (x ， y) \in Ω ， \exists (x_{1} ， y_{1}) \in Ω$ ，使得 $x_{1} + \sqrt{D} y_{1} ⩽ x + \sqrt{D} y$ 恒成立，则称 $(x_{1} ， y_{1})$ 为方程的基本解.佩尔方程的所有正整数解 $(x_{n} ， y_{n})$ 可由基本解 $(x_{1} ， y_{1})$ 导出，具体关系为： $x_{n} + \sqrt{D} y_{n} = {(_{x} + {\sqrt{D}}_{y})}^{n} ， n ， x_{n} ， y_{n} \in N^{*}$ .则佩尔方程 $x^{2} - 3 y^{2} = 1$ 的基本解为；佩尔方程 $x^{2} - 3 y^{2} = 1$ 满足 $x \in [1000 ， 5000]$ 的正整数解构成的集合为.

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三、解答题

17. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的公差不为0，且满足 $a_{1} a_{4} = a_{2}^{2} ， a_{1} + a_{2} + a_{3} = a_{4} + 4$ .

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求证： $\frac{1}{a_{1} a_{2}} + \frac{1}{a_{2} a_{3}} + ⋯ + \frac{1}{a_{n} a_{n + 1}} < \frac{1}{4}$ .

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18. 已知向量 $\vec{a} = (s i n (ω x + \frac{π}{6}) ， - 2) ， \vec{b} = (2 ， c o s ω x) ， f (x) = \vec{a} \cdot \vec{b}$ ，其中 $ω > 0$ .

(1)、若 $ω = 1$ ，求 $f (x)$ 在区间 $[0 ， π]$ 上的值域；

(2)、若 $f (x)$ 的一条对称轴为 $x = \frac{π}{6}$ ，求 $ω$ 的最小值.

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19. 如图所示，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为正方形， $E$ 为侧棱 $P C$ 上靠近 $P$ 的三等分点， $P A ⊥$ 底面 $A B C D$ ，且 $P A = A D = 2$ .

(1)、在侧棱 $P D$ 上是否存在点 $F$ ，使得点 $A ， B ， E ， F$ 四点共面？若存在，指出点 $F$ 的位置，并证明；若不存在，请说明理由；

(2)、求二面角 $P - A B - E$ 的余弦值.

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20. 在平面四边形 $A B C D$ 中 $， | A B | = \sqrt{2} ， | A D | = | D C | = | B C | = 1$ ，记 $△ A B D$ 和 $△ B C D$ 的面积分别为 $S_{1}$ 和 $S_{2}$ .

(1)、求 $S_{1}$ 的最大值；

(2)、求 $S_{1}^{2} + S_{2}^{2}$ 的最大值.

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21. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的焦距为4，其左､右顶点为 $A_{1} ， A_{2}$ ，点 $P$ 为其上一动点，且 $△ P A_{1} A_{2}$ 的面积最大值为 $3 \sqrt{5}$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、如图，若 $M ､ N$ 为曲线 $C$ 上异于 $A_{1} ､ A_{2}$ 的两点，直线 $M N$ 不过坐标原点 $O$ ，且不与坐标轴平行.点 $M$ 关于原点 $O$ 的对称点为 $S$ ，若直线 $A_{1} S$ 与直线 $A_{2} N$ 相交于点 $T$ ，是否存在直线 $M N$ 与直线 $O T$ 平行？若存在，求出直线 $M N$ 的方程；若不存在，请说明理由.

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22. 已知函数 $f (x) = (x - m) e^{x} - x + n (m ， n \in R)$ ，曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线斜率为 $e - 1$ ，在点 $(0 ， f (0))$ 处的切线经过原点.

(1)、求实数 $m ， n$ 的值；

(2)、若 $f (x) = a$ 有两个根 $x_{1} ， x_{2} (x_{1} < x_{2})$ ，求证： $x_{2} - x_{1} ⩽ \frac{a e + e - 1}{e - 1}$ .

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