贵州省遵义市2022届高三上学期第三次联考数学试题

试卷更新日期：2022-02-17 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | 2 x^{2} - 7 x - 15 < 0}$ ， $B = {x | x = 2 n - 1 ， n \in Z}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 ${1 ， 3}$ B、 ${- 1 ， 1 ， 3}$ C、 ${- 3 ， - 1 ， 1}$ D、 ${- 1 ， 1}$

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2. 已知 $a \in R$ ，若复数 $z = a^{2} + 2 a + a i$ 是纯虚数，则 $a =$ （）

A、0 B、2 C、-1 D、-2

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3. 已知非零向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = 4 | \vec{b} |$ ，且 $(\vec{a} + 2 \vec{b}) ⊥ \vec{b}$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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4. 执行如图所示的程序框图，若输出的 $y = 8$ ，则输入的 $x =$ （）

A、 $\frac{11}{2}$ B、 $\frac{1}{8}$ C、2 D、3

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5. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）

A、 $8 \sqrt{3}$ B、 $\frac{8 \sqrt{3}}{3}$ C、 $8 \sqrt{5}$ D、 $\frac{8 \sqrt{5}}{3}$

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6. 已知 $f (x)$ 是R上的奇函数，且当 $x > 0$ 时， $f (x) = 2 x - \frac{a}{x}$ ，若 $f (2) + f (0) = 1$ ，则 $f (- 3) =$ （）

A、-4 B、-3 C、-2 D、1

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7. $(x - 2)^{6}$ 展开式中 $x^{3}$ 的系数为（）

A、120 B、-120 C、160 D、-160

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8. 甲､乙､丙､丁4人站成一排排练节目，且甲､乙2人必须相邻，则不同的站队方法有（）

A、12种 B、24种 C、36种 D、48种

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9. 将编号分别为a，b，c，d，e，f的6张卡片从左到右排成一行，若卡片a必须在卡片b的左边，则不同的排列方法有（）

A、240种 B、360种 C、480种 D、540种

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10. 不透明的袋子中有大小相同的2个白球，3个红球，4个黑球，从中一次性摸出4个球，则3种颜色的球都被摸出的不同的摸法种数为（）

A、12 B、36 C、72 D、81

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11. 有4个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，从中有放回的随机取两次，每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是5”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是6”，则（）

A、甲与丁相互独立 B、乙与丁相互独立 C、甲与丙相互独立 D、丙与丁相互独立

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12. 若对任意 $x \in [1 ， + \infty)$ ，不等式 $a l n x + e^{x} - e x ≥ 0$ 恒成立，则a的取值范围为（）

A、 $[\frac{1}{2} ， + \infty)$ B、 $[0 ， + \infty)$ C、 $[\sqrt{2} ， + \infty)$ D、 $[- 1 ， + \infty)$

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二、填空题

13. 已知实数x，y满足 ${\begin{array}{l} y \leq 2 ， \\ 2 x - y \leq 0 ， \\ x \geq - 2 ， \end{array}$ ，则目标函数 $z = 3 x + y$ 的最小值为.

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14. 已知 $s i n α + c o s α = \frac{1}{2}$ ，则 $c o s 4 α =$ .

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15. 定义一个同学数学成绩优秀的标准为“连续5次数学考试成绩均不低于120分（满分150分）”.现有甲､乙､丙三位同学连续5次数学考试成绩的数据（数据都是正整数）的描述：
①甲同学的5个数据的中位数为125，总体均值为128；
②乙同学的5个数据的中位数为127，众数为121；
③丙同学的5个数据的众数为125，极差为10，总体均值为125.
则数学成绩一定优秀的同学是.

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16. 已知 $a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \cdot \cdot \cdot + a_{9} x^{9} + a_{10} x^{10} = (x + 2)^{10}$ ，则 $a_{0} =$ ， $a_{0} - a_{1} + a_{2} - a_{3} + \cdot \cdot \cdot - a_{9} + a_{10} =$ .

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三、解答题

17.

(1)、用0，2，4，6，8这五个数字可以组成多少个不同且无重复数字的四位数？

(2)、将5件不同的礼物分给甲1件，乙､丙各2件，试问有多少种不同的分配方法？

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18. 已知复数 $z = b i (b \in R)$ ， $\frac{z + 3}{1 - i}$ 是实数.

(1)、求复数z；

(2)、若复数 $(m - z)^{2} - 8 m$ 在复平面内所表示的点在第二象限，求实数m的取值范围.

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19. 2021年7月，中共中央办公厅､国务院办公厅印发了《关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见》，并发出通知，要求各地区各部门结合实际认真贯彻落实.该文件被称为“双减”，“双减”提出要全面压减作业总量和时长，减轻学生过重作业负担，同时坚持从严治理，全面规范校外培训行为.在“双减”颁布前，某地教育局为了解当地中学生参加校外培训的情况，随机调查了当地100名学生，得到的数据如下表：

参加校外培训
未参加校外培训
总计
初中生
30
20
50
高中生
40
10
50
总计
70
30
100
附： $K^{2} = \frac{n (a d - b c)^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)} ， n = a + b + c + d .$ .
$P (K^{2} \geq k_{0})$
0.10
0.05
0.010
0.001
$k_{0}$
2.706
3.841
6.635
10.828

(1)、在“双减”颁布前，以这100名学生参加校外培训的情况分别估计当地初中生和高中生参加校外培训的概率；

(2)、在“双减”颁布前，能否有95%的把握认为学生是否参加校外培训与年级段有关？

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20. 某企业组织篮球赛，已知A，B，C，D四支篮球队进入决赛，决赛采用单循环赛制（即每支球队和其他球队各进行一场比赛）.根据以往多次比赛的统计，A篮球队与B，C，D三支篮球队比赛获胜的概率分别是 $\frac{2}{3}$ ， $\frac{3}{5}$ ， $\frac{1}{2}$ ，且各场比赛互不影响.

(1)、求A篮球队至少获胜2场的概率；

(2)、求A篮球队在决赛中获胜场数X的分布列和数学期望.

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21. 在2021年“双11”网上购物节期间，某电商平台销售了一款新手机，现在该电商为调查这款手机使用后的“满意度”，从购买了该款手机的顾客中抽取1000人，每人在规定区间 $[50 ， 100]$ 内给出一个“满意度”分数，评分在60分以下的视为“不满意”，在60分到80分之间（含60分但不含80分）的视为“基本满意”，在80分及以上的视为“非常满意”.现将他们的评分按 $[50 ， 60)$ ， $[60 ， 70)$ ， $[70 ， 80)$ ， $[80 ， 90)$ ， $[90 ， 100]$ 分成5组，得到如图所示的频率分布直方图.

(1)、求这1000人中对该款手机“非常满意”的人数和“满意度”评分的中位数的估计值.

(2)、若按“满意度”采用分层抽样的方法从这1000名被调查者中抽取20人，再从这20人中随机抽取3人，记这3人中对该款手机“非常满意”的人数为X.
①写出X的分布列，并求数学期望 $E (X)$ ；
②若被抽取的这3人中对该款手机“非常满意”的被调查者将获得100元话费补贴，其他被调查者将获得50元话费补贴，请求出这3人将获得的话费补贴总额的期望.

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22. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左､右焦点分别为 $F_{1}$ 和 $F_{2}$ ，且 $M_{1} (1 ， 1)$ ， $M_{2} (0 ， 1)$ ， $M_{3} (- 1 ， \frac{2 \sqrt{2}}{3})$ ， $M_{4} (1 ， \frac{2 \sqrt{2}}{3})$ 四点中恰有三点在椭圆C上.

(1)、求椭圆C的标准方程；

(2)、点P是椭圆C上位于x轴上方的动点，直线 $F_{1} P$ 和 $F_{2} P$ 与直线 $y = 4$ 分别交于G和H两点，设直线 $F_{1} P$ 和 $F_{2} P$ 的斜率分别为 $k_{1}$ 和 $k_{2}$ ，若线段GH的长度小于 $16 \sqrt{2}$ ，求 $k_{1} k_{2}$ 的最大值.

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	参加校外培训	未参加校外培训	总计
初中生	30	20	50
高中生	40	10	50
总计	70	30	100

$P (K^{2} \geq k_{0})$	0.10	0.05	0.010	0.001
$k_{0}$	2.706	3.841	6.635	10.828