甘肃省庆阳市2021-2022学年高二上学期1月月考数学（理）试题

试卷更新日期：2022-02-17 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 命题“ $\exists x > 0$ ， $2^{x} - 3 x^{2} > 0$ ”的否定为（）

A、 $\exists x > 0$ ， $2^{x} - 3 x^{2} \leq 0$ B、 $\exists x \leq 0$ ， $2^{x} - 3 x^{2} \leq 0$ C、 $\forall x > 0$ ， $2^{x} - 3 x^{2} \leq 0$ D、 $\forall x \leq 0$ ， $2^{x} - 3 x^{2} \leq 0$

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2. 抛物线 $y = 2 x^{2}$ 的焦点坐标为（）

A、 $(0 ， \frac{1}{8})$ B、 $(0 ， \frac{1}{2})$ C、 $(\frac{1}{8} ， 0)$ D、 $(\frac{1}{2} ， 0)$

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3. 若x，y满足约束条件 ${\begin{array}{l} x - y + 2 \geq 0 ， \\ x - 4 \leq 0 ， \\ x + y \geq 0 ， \end{array}$ 则 $z = 2 x + y$ 的最大值为（）

A、16 B、14 C、4 D、-1

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4. $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 $a = 6$ ， $b = 4$ ， $c o s A = \frac{1}{7}$ ，则 $s i n B =$ （）

A、 $\frac{8 \sqrt{3}}{21}$ B、 $\frac{6 \sqrt{3}}{7}$ C、 $\frac{2}{21}$ D、 $\frac{3}{14}$

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5. 在正项等比数列 ${a_{n}}$ 中， $3 a_{2}$ 是 $a_{3}$ 和 $a_{4}$ 的等差中项，则 ${a_{n}}$ 的公比 $q =$ （）

A、4 B、3 C、2 D、 $\frac{1}{2}$

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6. 已知 $P = x^{2} + x y + y^{2}$ ， $Q = 3 x y - 1$ ，则（）

A、 $P > Q$ B、 $P = Q$ C、 $P < Q$ D、P，Q的大小关系不确定

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7. $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则“ $a c o s A c o s C + c c o s^{2} A = a c o s A$ ”是“ $A = B$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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8. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，双曲线C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左焦点为F，过F且与x轴垂直的直线与C交于A，B两点，若 $△ A B O$ 是正三角形，则C的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{3} + \sqrt{39}}{6}$ B、 $\frac{\sqrt{3} + \sqrt{7}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3} + \sqrt{39}}{3}$ D、 $\sqrt{3} + \sqrt{7}$

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9. 《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱.如图，在堑堵 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，M是 $A_{1} C_{1}$ 的中点， $A B = 2 A A_{1} = 2 A C$ ， $\vec{B N} = \frac{1}{3} \vec{B B_{1}}$ ， $\vec{M G} = 3 \vec{G N}$ ，若 $\vec{A G} = x \vec{A A_{1}} + y \vec{A B} + z \vec{A C}$ ，则 $x + y + z =$ （）

A、 $\frac{7}{8}$ B、 $\frac{9}{8}$ C、 $\frac{11}{8}$ D、 $\frac{13}{8}$

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10. $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知 $b = 2$ ， $\frac{c}{a} + \frac{a}{c} = 3$ ， $B = \frac{2 π}{3}$ ，则 $△ A B C$ 的面积为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、1 D、 $\frac{\sqrt{3}}{4}$

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11. 我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述：“今有良马和驽马发长安至齐，良马初日行一百九十三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，九日后二马相逢.”其大意为今有良马和驽马从长安出发到齐国，良马第一天走193里，以后每天比前一天多走13里；驽马第一天走97里，以后每天比前一天少走0.5里.良马先到齐国，再返回迎接驽马，9天后两马相遇.下列结论不正确的是（）

A、长安与齐国两地相距1530里 B、3天后，两马之间的距离为328.5里 C、良马从第6天开始返回迎接驽马 D、8天后，两马之间的距离为390里

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12. 正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为2，且 $\vec{D P} = λ \vec{D B_{1}} (0 < λ < 1)$ ，过P作垂直于平面 $B D D_{1} B_{1}$ 的直线l，l交正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的表面于M，N两点.下列说法正确的是（）

A、 $B D_{1} ⊥$ 平面 $D M B_{1} N$ B、四边形 $D M B_{1} N$ 面积的最大值为 $2 \sqrt{6}$ C、若四边形 $D M B_{1} N$ 的面积为 $\sqrt{6}$ ，则 $λ = \frac{1}{4}$ D、若 $λ = \frac{1}{2}$ ，则四棱锥 $B - D M B_{1} N$ 的体积为 $2 \sqrt{2}$

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二、填空题

13. 已知 $\vec{A B} = (2 ， 0 ， 3)$ ， $\vec{A C} = (1 ， 2 ， 1)$ ，则 $\vec{A B} \cdot \vec{A C} =$ .

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14. 古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆C的中心为原点，焦点 $F_{1} ， F_{2}$ 均在x轴上，C的面积为 $8 π$ ，且离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，则C的标准方程为．

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15. 已知正数a，b，c满足 $a > b > c$ ，且 $a - c = 2$ ，则 $\frac{1}{a - b} + \frac{1}{b - c}$ 的最小值为.

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16. 如图， $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别是双曲线C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左､右焦点，以 $F_{1} F_{2}$ 为直径的圆与C交于点B，弦 $B F_{2}$ 与C交于A点，连接 $A F_{1}$ ，若 $t a n ∠ B A F_{1} = \frac{3}{4}$ ，则C的离心率为.

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三、解答题

17.

(1)、已知双曲线E： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的焦距为6，实轴长为2，求E的渐近线方程；

(2)、已知F是抛物线C： $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点， $A (m ， - 4)$ 是C上一点，且 $| A F | = 4$ ，求C的方程.

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18. 已知p：函数 $f (x) = s i n x + a$ 的最大值大于3；q：关于x的方程 $x^{2} + 2 x - a = 0$ 有解.

(1)、若 $p \land q$ 为真，求实数a的取值范围；

(2)、若 $p \lor q$ 为真， $p \land q$ 为假，求实数a的取值范围.

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19. 已知 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c， $2 c s i n C = (2 a + b) s i n A + (a + 2 b) s i n B$ .

(1)、求C的大小；

(2)、若 $2 s i n A c o s B = 5 c o s A s i n B$ ，求 $\frac{b}{a}$ 的值.

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20. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{n} = 3 a_{n} - 2$ .

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；.

(2)、求数列 ${n a_{n}}$ 的前n项和 $T_{n}$ .

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21. 如图1，在边长为4的等边三角形ABC中，D，E，F分别是AB，AC，BC的中点，沿DE把 $△ A D E$ 折起，得到如图2所示的四棱锥.

(1)、证明： $E F / /$ 平面 $A_{1} B D$ .

(2)、若二面角 $A_{1} - D E - B$ 的大小为60°，求平面 $A_{1} B C$ 与平面 $A_{1} E C$ 的夹角的大小.

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22. 已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的焦距为 $4 \sqrt{3}$ ，点 $P (2 \sqrt{3} ， 1)$ 在C上

(1)、求C的方程；

(2)、过点 $Q (2 ， 0)$ 的直线 $l_{1}$ 与C交于M，N两点，点R是直线 $l_{2}$ ： $x = m$ 上任意一点，设直线RM，RQ，RN的斜率分别为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ， $k_{3}$ ，若 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ， $k_{3}$ 成等差数列，求 $l_{2}$ 的方程.

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