初中数学北师大版八年级下册第一章第三节线段的垂直平分线同步练习

试卷更新日期：2022-02-16 类型：同步测试

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一、单选题

1. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B$ 的垂直平分线交 $A B$ 于点D，交 $B C$ 于点E，连接 $A E$ .若 $A D = 3$ ， $△ A C E$ 的周长为13，则 $△ A B C$ 的周长为（）

A、19 B、16 C、29 D、18

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2. 下列选项中的尺规作图，能推出PA=PC的是（）

A、 B、 C、 D、

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3. “已知等腰三角形的底边和底边上的高，用尺规作图求作等腰三角形”里用到的基本作图是

A、作一条线段等于已知线段，作已知线段的垂直平分线 B、作已知角的平分线 C、过直线外一点作已知直线的垂线 D、作一个角等于已知角

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4. 如图，在△ABC中， AB的垂直平分线交BC于D，AC的中垂线交BC于E，∠BAC=124°，则∠DAE的度数为（）

A、68° B、62° C、66° D、56°

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5. 如图所示，在直角三角形ACB中，已知∠ACB=90°，点E是AB的中点，且 $D E ⊥ A B$ ， DE交AC的延长线于点D、交BC于点F，若∠D=30°，EF=2，则DF的长是（）

A、5 B、4 C、3 D、2

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6. 如图是李老师在黑板上演示的尺规作图及其步骤，

已知钝角 $Δ A B C$ ，尺规作图及步骤如下：

步骤一：以点 $C$ 为圆心， $C A$ 为半径画弧；

步骤二：以点 $B$ 为圆心， $B A$ 为半径画弧，两弧交于点 $D$ ；

步骤三：连接 $A D$ ，交 $B C$ 延长线于点 $H$ ．

下面是四位同学对其做出的判断：

小明说： $B H ⊥ A D$ ；

小华说： $∠ B A C = ∠ H A C$ ；

小强说： $B C = H C$ ；

小方说： $A H = D H$ ．

则下列说法正确的是（）

A、只有小明说得对 B、小华和小强说的都对 C、小强和小方说的都不对 D、小明和小方说的都对

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7. 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝46°，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线OD交于点O，点E在BC上，点F在AC上，连接EF.将∠C沿EF折叠，点C与点O恰好重合时，则∠OEC的度数（　　）

A、90° B、92° C、95° D、98°

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8. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于 $\frac{1}{2}$ MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP，并廷长交BC于点D，则下列说法中正确的个数是（）
①AD是∠BAC的平分线
②∠ADC＝60°
③点D在AB的垂直平分线上
④若AD＝2dm，则点D到AB的距离是1dm
⑤S_△DAC：S_△DAB＝1：2

A、2 B、3 C、4 D、5

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二、填空题

9. 如图，△ABC中，AC＝6，BC＝4，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交边AC于点E，则△BCE的周长为.

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10. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $∠ B = 20 °$ ， $P Q$ 垂直平分 $A B$ ，垂足为Q，交 $B C$ 于点P.按以下步骤作图：①以点A为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交边 $A C ， A B$ 于点D，E；②分别以点D，E为圆心，以大于 $\frac{1}{2} D E$ 的长为半径作弧，两弧相交于点F；⑤作射线 $A F$ .若 $A F$ 与 $P Q$ 的夹角为 $α$ ，则 $α =$ °.

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11. 如图，∠ $A = 8 0^{°}$ ， $O$ 是 $A B$ ， $A C$ 垂直平分线的交点，则 $∠ B O C$ 的度数是．

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12. 如图，在△ABC中，AB的垂直平分线EF交BC于点E，交AB于点F，D为线段CE的中点，BE＝AC.∠BAC＝75°，则∠B的度数为.

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13. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB的垂直平分线DE交AC于E，交BC的延长线于F，若∠F=30°，DE=1，则BE的长是．

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14. 如图，已知 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $∠ B A C = 30 °$ ， $B C = 1$ ，作AC的垂直平分线交AB于点 $B_{1}$ 、交AC于点 $C_{1}$ ，连接 $B_{1} C$ ，得到第一条线段 $B_{1} C$ ；作 $A C_{1}$ 的垂直平分线交AB于点 $B_{2}$ 、交AC于点 $C_{2}$ ，连接 $B_{2} C_{1}$ ，得到第二条线段 $B_{2} C_{1}$ ；作 $A C_{2}$ 的垂直平分线交AB于点 $B_{3}$ 、交 $A C_{2}$ 于点 $C_{3}$ ，连接 $B_{3} C_{2}$ ，得到第三条线段 $B_{3} C_{2}$ ；……，如此作下去，则第n条线段 $B_{n} C_{n - 1}$ 的长为．

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15. 如图，已知△ABC中，OE、OF分别是AB、AC的垂直平分线，∠OBC，∠OCB的平分线相交于点I，有如下结论：①AO＝CI；②∠ABC+∠ACO＝90°；③∠BOI＝∠COI；④OI⊥BC.其中正确的结论是 .

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三、作图题

16. 作图题：如图，已知 $△$ ABC，在BC上找一点D，使 $△$ ABD的周长等于AB＋BC．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）

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四、解答题

17.
如图，在△ABC中，ME和NF分别垂直平分AB和AC．

(1) 若BC = 10 cm，试求△AMN的周长．
(2) 在△ABC中，AB = AC，∠BAC = 100°，求∠MAN的度数．
(3) 在 (2) 中，若无AB = AC的条件，你还能求出∠MAN的度数吗？若能，请求出；若不能，请说明理由．

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18. 如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AC于点D，△ABC和△DBC的周长分别是60cm和38cm，求AB，BC．

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19. 已知：如图∠BAC的角平分线与BC的垂直平分线交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F.求证：BE=CF.

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五、综合题

20. 如图1所示，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $A B$ 的垂直平分线交 $A B$ 于点 $N$ ，交 $B C$ 或 $B C$ 的延长线于点 $M$ ．

(1)、如图1所示，若 $∠ A = 40 °$ ，求 $∠ N M B$ 的大小；

(2)、如图2所示，如果将（1）中的 $∠ A$ 的度数改为 $70 °$ ，其余条件不变，再求 $∠ N M B$ 的大小；

(3)、你发现了什么规律？写出猜想，并说明理由．

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21. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B$ 边的垂直平分线 $l_{1}$ 交 $B C$ 于点 $D$ ， $A C$ 边的垂直平分线 $l_{2}$ 交 $B C$ 于点 $E$ ， $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 相交于点 $O$ ，连结 $O A$ ， $O B$ ， $O C$ ，若 $△ A D E$ 的周长为 $8cm$ ， $△ O B C$ 的周长为 $20 cm$ ．

(1)、求线段 $B C$ 的长；

(2)、求线段 $O A$ 的长．

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22. 如图

（了解概念）如图1，已知 $A$ ， $B$ 为直线 $M N$ 同侧的两点，点 $P$ 为直线 $M N$ 的一点，连接 $A P$ ， $B P$ ，若 $∠ A P M = ∠ B P N$ ，则称点 $P$ 为点 $A$ ， $B$ 关于直线 $l$ 的“等角点”.

(1)、（理解运用）
如图2，在 $△ A B C$ 中， $D$ 为 $B C$ 上一点，且与点 $E$ 关于直线 $A B$ 对称，连接 $E B$ 并延长至点 $F$ ，判断点 $B$ 是否为点 $D$ ， $F$ 关于直线 $A B$ 的“等角点”，并说明理由；

(2)、（拓展提升）
如图2，在（1）的条件下，若 $∠ A = 70 °$ ， $A B = A C$ ，点 $Q$ 是射线 $E F$ 上一点，且点 $D$ ， $Q$ 关于直线 $A C$ 的“等角点”为点 $C$ ，请利用尺规在图2中确定点 $Q$ 的位置，并求出 $∠ B Q C$ 的度数；

(3)、如图3，在 $△ A B C$ 中， $∠ A B C$ ， $∠ B A C$ 的平分线交于点 $O$ ，点 $O$ 到 $A C$ 的距离为 $1$ ，直线 $l$ 垂直平分边 $B C$ ，点 $P$ 为点 $O$ ， $B$ 关于直线 $l$ 的“等角点”，连接 $O P$ ， $B P$ ，当 $∠ A C B = 60 °$ 时， $O P + B P$ 的值为.

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23. 如图，直线AB：y=x-4与x轴交于点A，与y轴交于点B，若点E在线段AB上，OE⊥OF，且OE＝OF，连接AF.

(1)、直接写出点A，B的坐标，并求出线段AB的长.

(2)、猜想线段AF与BE之间的数量与位置关系，并证明；

(3)、过点O作OM⊥EF垂足为D，OM分别交AF、BA的延长线于点C、M若BE= $3 \sqrt{2}$ ，求CF的长.

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