初中数学北师大版八年级下册第一章第一节第4课时 等边三角形的判定及含30°角的直角三角形的性质 同步练习

试卷更新日期：2022-02-16 类型：同步测试

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一、单选题

  • 1. 如图，正方形ABCD外侧作等边三角形ADE，则∠AEB的度数为（   ）

    A、30° B、20° C、15° D、10°

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  • 2. 下列说法不正确的是（　）
    A、等腰三角形的对称轴是底边的垂直平分线 B、等腰直角三角形底边上的高线等于底边的一半 C、直角三角形中有一个角是30°，则这个角所对的直角边是斜边的一半 D、等边三角形有一条对称轴

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  • 3. 如图，在 △ABC 中， ∠ACB=90° ， CD 是 AB 边上的高， ∠A=30° ，则下列结论中正确的是（   ）

    A、AC=2AD B、 CD=2BD C、BC=2CD D、BC=2BD

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  • 4. 图1是一个地铁站入口的双翼闸机.如图2，当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度是64cm，它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为10cm，此时双翼的边缘AC、BD与闸机侧立面夹角∠PCA＝∠BDQ＝30°，则双翼的边缘AC、BD（AC＝BD）的长度为（   ）

    A、273 cm B、272 cm C、27cm D、54cm

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  • 5. 如图，E是等边ΔABC中AC边上的点，∠1=∠2 ， BE=CD ， 则ΔADE是（ ）

    A、等腰三角形 B、等边三角形 C、不等边三角形 D、无法确定

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  • 6. 如图，已知P是∠AOB平分线上的一点，∠AOB=60° ， PD⊥OA ， M是OP的中点，DM=4cm ， 如果C是OB上一个动点，则PC的最小值为（ ）

    A、8cm B、5cm C、4cm D、2cm

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  • 7. 如图，△ABC与△CED均为等边三角形，且B，C，D三点共线.线段BE，AD相交于点O，AF⊥BE于点F.若OF=1，则AF的长为（      ）

    A、1 B、2 C、3 D、2

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  • 8. 如图，在 △ABC 中， AC=BC ， ∠B=30° ，D为 AB 的中点，P为 CD 上一点，E为 BC 延长线上一点，且 PA=PE. 有下列结论：① ∠PAD+∠PEC=30° ；② △PAE 为等边三角形；③ PD=CE−CP ；④ S四边形AECP=S△ABC. 其中正确的结论是（   ）

    A、①②③④ B、①② C、①②④ D、③④

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二、填空题

  • 9. △ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，若BC=3，则AB=.

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  • 10. 在△ABC中，AC＝3，AB＝ 23 ，∠BAC＝150°，S△ABC＝.

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  • 11. 如图，在等边△ABC中，E为AC边的中点，AD垂直平分BC，P是AD上的动点.若AD=6，则EP+CP的最小值为.

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  • 12. 如图，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝10，点M、N在边OB上，PM＝PN，若MN＝2，则OM＝

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  • 13. 如图，在三角形纸片ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AC＝6，折叠该纸片，使点C落在AB边上的D点处，折痕BE与AC交于点E，则折痕BE的长为 ．

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  • 14. 勾股定理有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣．l955年希腊发行了二枚以勾股图为背景的邮票．所谓勾股图是指以直角三角形的三边为边向外作正方形构成，它可以验证勾股定理．在右图的勾股图中，已知∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=4．作△PQR使得∠R=90°，点H在边QR上，点D，E在边PR上，点G，F在边_PQ上，那么△PQR的周长等于

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  • 15. 如图，边长为24的等边三角形ABC中，M是高CH所在直线上的一个动点，连接MB，将线段BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接HN.则在点M运动过程中，线段HN长度的最小值是.

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三、解答题

  • 16. 如图，△ABC是等边三角形，DF⊥AB，DE⊥CB，EF⊥AC，求证：△DEF是等边三角形．

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  • 17. 如图，在ΔABC中，AB=AC=10 ， ∠ABC=60° ， D是BC边上的点，且DC=3 ， 过点D作BC边的垂线交AC边于点E ， 求AE的长.

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  • 18. 如图所示，A，B两地之间有一座山，汽车原来从A地到B地时需经过C地沿折线A→C→B行驶，开通隧道后，汽车直接沿直线AB行驶．已知AC=10 km，∠A=30°∠B=45°．则隧道开通后，汽车从A地到B地比原来少走多少千米？

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  • 19. 已知点P是线段MN上一动点，分别以PM，PN为一边，在MN的同侧作△APM，△BPN，并连接BM，AN．

    （Ⅰ）如图1，当PM＝AP，PN＝BP且∠APM＝∠BPN＝90°时，试猜想BM，AN之间的数量关系与位置关系，并证明你的猜想；

    （Ⅱ）如图2，当△APM，△BPN都是等边三角形时，（Ⅰ）中BM，AN之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请证明你的结论；若不成立，试说明理由．

    （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，连接AB得到图3，当PN＝2PM时，求∠PAB度数．

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  • 20. 点P为等边△ABC的边AB延长线上的动点，点B关于直线PC的对称点为D，连接AD．

    (1)、如图1，若BP=AB=2 ， 依题意补全图形，并直接写出线段AD的长度；
    (2)、如图2，线段AD交PC于点E，

    ①设∠BCP=α ， 求∠AEC的度数；

    ②求证：AE=CE+DE ．

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四、综合题

  • 21. 如图

    (1)、如图1，已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E. 证明：DE=BD+CE.（提示：由于DE=AD+AE，证明AD=CE，AE=BD即可）
    (2)、如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α ， 其中α为任意钝角，请问结论DE=BD+CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由.
    (3)、如图3，D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合），点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD、CE，若∠BDA=∠AEC=∠BAC，试证明△DEF是等边三角形.

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  • 22. 如图1，在边长为6的等边∆ABC中，点D是边AB上一个动点，过点D作DE⊥AC于点E.

    (1)、求证：AE=12AD；
    (2)、如图2，过点D向BC引垂线交BC于点F ， 当DE=DF时，试判断D点在AB上的位置，并说明理由；
    (3)、如图3，延长BC至G ， 使CG=AD ， 连接DG交AC于点H ， 随着D点的移动，请判断线段EH的长度是否发生变化；若变化，请说明理由；若不变，请求出EH的值.

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