2022年高考数学二轮复习解答题型 27 解析几何

试卷更新日期：2022-02-14 类型：二轮复习

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一、解答题

1. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的一条渐近线斜率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，且双曲线C经过点 $M (2 ， 1)$ ．

(1)、求双曲线C的方程；

(2)、斜率为 $- \frac{1}{2}$ 的直线l与双曲线C交于异于M的不同两点A、B，直线MA、MB的斜率分别为 $k_{1}$ 、 $k_{2}$ ，若 $k_{1} + k_{2} = 1$ ，求直线l的方程．

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2. 如图，已知椭圆 $C_{1} ： \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ ，椭圆 $C_{2} ： \frac{y^{2}}{9} + \frac{x^{2}}{4} = 1$ ， $A (- 2 ， 0)$ 、 $B (2 ， 0)$ .P为椭圆 $C_{2}$ 上动点且在第一象限，直线PA、PB分别交椭圆 $C_{1}$ 于E、F两点，连接EF交 $x$ 轴于 $Q$ 点.过 $B$ 点作BH交椭圆 $C_{1}$ 于G，且 $B H / / P A$ .

(1)、证明： $k_{B F} \cdot k_{B G}$ 为定值；

(2)、证明直线 $G F$ 过定点，并求出该定点；

(3)、若记 $P$ 、 $Q$ 两点的横坐标分别为 $x_{P}$ 、 $x_{Q}$ ，证明： $x_{P} x_{Q}$ 为定值.

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3. 已知P，Q的坐标分别为 $(- \sqrt{2} ， 0)$ ， $(\sqrt{2} ， 0)$ ，直线PM，QM相交于点M，且它们的斜率之积是 $- \frac{1}{2}$ .设点M的轨迹为曲线C.

(1)、求曲线 $C$ 的方程；

(2)、设 $O$ 为坐标原点，圆 $O$ 的半径为1，直线 $l$ ： $y = k x + m$ 与圆 $O$ 相切，且与曲线 $C$ 交于不同的两点A，B.当 $\vec{O A} \cdot \vec{O B} = λ$ ，且满足 $\frac{2}{3} < λ < \frac{3}{4}$ 时，求 $△ A O B$ 面积的取值范围.

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4. 已知点M为直线 $l_{1}$ ：x=-2上的动点，N（2，0），过M作直线 $l_{1}$ 的垂线l，l交线段MN的垂直平分线于点P，记点P的轨迹为C．

(1)、求曲线C的方程；

(2)、设O是坐标原点，A，B是曲线C上的两个动点，且 $\vec{O A} \cdot \vec{O B} = - 16$ ，试问直线AB是否过定点？若不过定点，请说明理由；若过定点，请求出定点坐标．

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5. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ，焦点为 $F_{2}$ 的抛物线 $D ： y^{2} = 4 x$ 的准线被椭圆 $C$ 截得的弦长为 $\sqrt{2}$ ．

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、若点 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ 到直线 $l ： y = m x + n$ 的距离之积为 $1$ ，求证：直线 $l$ 与椭圆 $C$ 相切．

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6. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ ，离心率为 $\frac{1}{2}$ ，它的短轴长等于双曲线 $x^{2} - \frac{y^{2}}{12} = 1$ 的虚轴长

(1)、求椭圆C的方程

(2)、已知 $P (2 ， 3) ， Q (2 ， - 3)$ 是椭圆上的两点， $A ， B$ 是椭圆上位于直线 $P Q$ 两侧的动点
①若直线 $A B$ 的斜率为 $\frac{1}{2}$ ，求四边形 $A P B Q$ 面积的最大值
②当A，B运动时，满足 $∠ A P Q = ∠ B P Q$ ，试问直线 $A B$ 的斜率是否为定值？请说明理由．

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7. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 过点 $A (3 ， 1) ， B (0 ， 2)$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、若过点 $E (4 ， 0)$ 的直线与椭圆 $C$ 交于点 $M ， N$ ，直线 $M A ， N A$ 分别交直线 $x = 4$ 于点 $P ， Q$ .求证：线段 $P Q$ 的中点为定点.

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8. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ ，以原点O为圆心，椭圆C的长半轴长为半径的圆与直线 $2 x - \sqrt{2} y + 6 = 0$ 相切．

(1)、求椭圆C的标准方程；

(2)、已知点A，B为动直线y=k(x-2)(k≠0)与椭圆C的两个交点，问：在x轴上是否存在定点E，使得 $\vec{E A^{2}} + \vec{E A} \cdot \vec{A B}$ 为定值？若存在，试求出点E的坐标和定值；若不存在，请说明理由．

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9. 设抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为F，准线为l，过焦点F且斜率为1的直线与抛物线C交于A，B两点，若 $A B$ 的中点到准线l的距离为4．

(1)、求抛物线C的方程；

(2)、设P为l上任意一点，过点P作C的切线，切点为Q，试判断F是否在以 $P Q$ 为直径的圆上．

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10. 抛物线E的顶点为坐标原点O，焦点在x轴上，直线 $l ： x = 1$ 交E于P，Q两点，且 $O P ⊥ O Q$ .

(1)、求E的方程；

(2)、直线 $x + 2 \sqrt{2} y + 1 = 0$ 与E相交于A，B两点，点C在E上，直线 $A C$ 的斜率与直线 $B C$ 的斜率互为相反数，求 $△ A B C$ 内切圆D的方程.

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11.

(1)、已知双曲线E： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的焦距为6，实轴长为2，求E的渐近线方程；

(2)、已知F是抛物线C： $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点， $A (m ， - 4)$ 是C上一点，且 $| A F | = 4$ ，求C的方程.

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12. 已知椭圆 $E ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 经过 $A (2 ， 0) ， B (1 ， 1) ， C (- 1 ， - 1) ， D (1 ， 2)$ 四个点中的三个.

(1)、求 $E$ 的方程.

(2)、若 $M ， N$ 为 $E$ 上不同的两点， $O$ 为坐标原点，且 $\frac{\vec{B M}}{| \vec{B M} |} + \frac{\vec{B N}}{| \vec{B N} |}$ 与 $\vec{O A}$ 垂直，试问 $E$ 上是否存在点 $G$ （异于点 $A$ ），使得 $\vec{M N} / / \vec{A G}$ ？若存在，求点 $G$ 的坐标；若不存在，说明理由.

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13. 已知点 $M (x ， y)$ 与定点 $F (1 ， 0)$ 的距离是点 $M$ 到直线 $x - 2 = 0$ 距离的 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 倍，设点 $M$ 的轨迹为曲线 $Γ$ ，直线 $l ： x + m y + 1 = 0 (m \in R)$ 与 $Γ$ 交于 $A$ 、 $B$ 两点，点 $C$ 是线段 $A B$ 的中点， $P$ 、 $Q$ 是 $Γ$ 上关于原点 $O$ 对称的两点，且 $\vec{P O} = λ \vec{O C} (λ > 0)$ .

(1)、求曲线 $Γ$ 的方程；

(2)、当 $λ = \sqrt{3}$ 时，求直线 $l$ 的方程；

(3)、当四边形 $P A Q B$ 的面积 $S = \sqrt{6}$ 时，求 $λ$ 的值.

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14. 已知双曲线 $Γ ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的焦距为 $2 \sqrt{3}$ 渐近线方程为 $y = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} x$ .

(1)、求双曲线 $Γ$ 的方程；

(2)、若对任意的 $m \in R$ ，直线 $y = k x + m$ 与双曲线 $Γ$ 总有公共点，求实数 $k$ 的取值范围；

(3)、若过点 $(1 ， 0)$ 的直线 $l$ 与双曲线 $Γ$ 交于M、N两点，问在 $x$ 轴上是否存在定点 $P$ ，使得 $\vec{P M} \cdot \vec{P N}$ 为常数？若存在，求出点 $P$ 的坐标及此常数的值，若不存在，请说明理由.

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15. 已知圆 $(x + 1)^{2} + y^{2} = 16$ 的圆心为 $A$ ，点 $P$ 是圆 $A$ 上的动点，点 $B$ 是抛物线 $y^{2} = 4 x$ 的焦点，点 $G$ 在线段 $A P$ 上，且满足 $| G P | = | G B |$ .

(1)、求点 $G$ 的轨迹 $E$ 的方程；

(2)、不过原点的直线 $l$ 与（1）中轨迹 $E$ 交于 $M ， N$ 两点，若线段 $M N$ 的中点 $Q$ 在抛物线 $y^{2} = 4 x$ 上，求直线 $l$ 的斜率 $k$ 的取值范围.

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