2022年高考数学二轮复习解答题型 24 数列解答题型猜想

试卷更新日期：2022-02-14 类型：二轮复习

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一、解答题

1. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且满足 $a_{1} = 1$ ， $S_{n + 1} = 2 S_{n} + 1$ ， $n \in N^{*}$ ．

(1)、证明：数列 ${S_{n} + 1}$ 为等比数列；

(2)、设 $b_{n} = \frac{a_{n + 1}}{S_{n} S_{n + 1}}$ ，数列 ${b_{n}}$ 的前n项和为 $T_{n}$ ，证明： $T_{n} < 1$ ．

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2. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n} ， S_{n + 1} = 4 a_{n} ， n \in N^{*}$ ，且 $a_{1} = 4$ .

(1)、证明： ${a_{n + 1} - 2 a_{n}}$ 是等比数列，并求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、在① $b_{n} = a_{n + 1} - a_{n}$ ；② $b_{n} = l o g_{2} \frac{a_{n}}{n}$ ；③ $b_{n} = \frac{a_{n + 2}}{a_{n + 1} a_{n}}$ 这三个条件中任选一个补充在下面横线上，并加以解答.
已知数列 ${b_{n}}$ 满足_______，求 ${b_{n}}$ 的前n项和 $T_{n}$ .

注：如果选择多个方案分别解答，按第一个方案解答计分.

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3. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1 ， a_{3} + 1$ 是 $a_{2} ， a_{4}$ 的等差中项．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、记 $b_{n} = a_{n + 1} l o g_{2} a_{n + 1}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ .

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4. 已知 ${a_{n}}$ 是等差数列，且 $a_{3} + a_{4} = 8$ ， $a_{2} + 4 = a_{4}$ ；数列 ${b_{n}}$ 满足： $b_{n} = \frac{1}{a_{n + 1} a_{n + 2}}$ ．
（Ⅰ）求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；
（Ⅱ）设数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $\frac{S_{n}}{n + 1} > \frac{1}{20}$ ，求 $n$ 的最大值．

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5. 在等差数列 ${a_{n}}$ 中，已知公差 $d < 0 ， a_{1} = 10$ ，且 $a_{2} ， a_{5} ， a_{7}$ 成等比数列．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式 $a_{n}$ ；

(2)、求 $| a_{1} | + | a_{2} | + \dots + | a_{30} |$ 的值．

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6. 已知正项数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且 $6 S_{n} = a_{n} a_{n + 1} + 2$ ， $a_{1} = 1$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若数列 ${c_{n}}$ 满足 $c_{n} = 2^{\frac{a_{n} + 2}{3}} \cdot a_{n}$ ，求数列 ${c_{n}}$ 的前n项和 $T_{n}$ ．

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7. 已知等差数列 $A ： a_{1} ， a_{2} ， ⋯ ， a_{n} ， ⋯$ ，若存在有穷等比数列 $B ： b_{1} ， b_{2} ， ⋯ ， b_{N}$ ，其中 $b_{1} = 1$ ，公比为 $q$ ，满足 $b_{k - 1} \leq a_{k - 1} \leq b_{k}$ ，其中 $k = 2 ， 3 ， ⋯ ， N$ ，则称数列 $B$ 为数列 $A$ 的长度为 $N$ 的“等比伴随数列”．

(1)、数列 ${a_{n}}$ 的通项公式为 $a_{n} = 8 n - 5$ ，写出数列 ${a_{n}}$ 的一个长度为 $4$ 的“等比伴随数列”；

(2)、等差数列 ${a_{n}}$ 的公差为 $d$ ，若 ${a_{n}}$ 存在长度为 $5$ 的“等比伴随数列” ${b_{n}}$ ，其中 $b_{n} = 2^{n - 1}$ ，求 $d$ 的最大值；

(3)、数列 $A$ 的通项公式为 $a_{n} = n$ ，数列 $B$ 为数列 $A$ 的长度为 $N$ 的“等比伴随数列”，求 $N$ 的最大值．

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8. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n} = \frac{a_{n} (a_{n} + 1)}{2}$ ，且 $a_{n} > 0$ ．

(1)、证明：数列 ${a_{n}}$ 为等差数列；

(2)、设 $b_{n} = \frac{a_{n}}{2^{n}}$ ，记数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，若 $2 - T_{n} \leq λ b_{n}$ ，对任意 $n \in N^{*}$ 恒成立，求实数 $λ$ 的取值范围．

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9. 设 $q$ ､ $d$ 为常数，若存在大于1的整数 $k$ ，使得无穷数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{n + 1} = {\begin{array}{l} a_{n} + d ， \frac{n}{k} \notin N^{*} \\ q a_{n} ， \frac{n}{k} \in N^{*} \end{array}$ ，则称数列 ${a_{n}} (n \in N^{*})$ 为“ $M (k)$ 数列”.

(1)、设 $d = 3 ， q = 0$ ，若首项为1的数列 ${a_{n}}$ 为“ $M$ （3）数列”，求 $a_{2021}$ ；

(2)、若首项为1的等比数列 ${b_{n}}$ 为“ $M (k)$ 数列”，求数列 ${b_{n}}$ 的通项公式，并指出相应的 $k ､ d ､ q$ 的值；

(3)、设 $d = 1 ， q = 2$ ，若首项为1的数列 ${c_{n}}$ 为“ $M (10)$ 数列”，求数列 ${c_{n}}$ 的前 $10 n$ 项和 $S_{10 n}$ .

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10. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且满足 $a_{1} = 4$ ， $S_{n + 1} - 3 S_{n} = 1$ ， $n \in N^{*}$ .

(1)、求 $a_{2}$ ， $a_{3}$ 的值及数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = \frac{3}{a_{n} + 1}$ ，数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，求证： $T_{n} < \frac{11}{10}$ .

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11. 已知正项等比数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{2} = 4 ， a_{2} a_{4} = 81$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{1} = 1$ ，当 $n \geq 2$ 时， $b_{n} = \frac{1}{l o g_{3} a_{n} \cdot l o g_{3} a_{n + 1}}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前n项和 $T_{n}$ ．

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12. 在数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{3} = 12$ ，且数列 ${a_{n} - 2^{n}}$ 是公差为2的等差数列.

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = 2^{n} \cdot \frac{a_{n + 1} - 2 a_{n}}{a_{n} a_{n + 1}}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ .

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13. 在各项都为正数的等比数列 ${a_{n}}$ 中，已知 $a_{1} = 4$ ，其前 $n$ 项的积为 $T_{n}$ ，且 $T_{5} = 4^{10}$ ， $S_{n}$ 是数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和，且 $S_{n} = \frac{3}{2} n^{2} + \frac{1}{2} n$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求数列 ${a_{b_{n}}}$ 的前 $n$ 项和 $R_{n}$ .

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14. 已知有穷数列 ${a_{n}}$ 的各项均不相等，将 ${a_{n}}$ 的项从大到小重新排序后相应的项数构成新数列 ${p_{n}}$ ，称 ${p_{n}}$ 为 ${a_{n}}$ 的“序数列”.例如，数列 $a_{1}$ ､ $a_{2}$ ､ $a_{3}$ 满足 $a_{1} > a_{3} > a_{2}$ ，则其“序数列” ${p_{n}}$ 为1､3､2，若两个不同数列的“序数列”相同，则称这两个数列互为“保序数列”.

(1)、若数列 $3 - 2 x$ ､ $5 x + 6$ ､ $x^{2}$ 的“序数列”为2､3､1，求实数x的取值范围；

(2)、若项数均为2021的数列 ${x_{n}}$ ､ ${y_{n}}$ 互为“保序数列”，其通项公式分别为 $x_{n} = (n + \frac{1}{2}) \cdot {(\frac{2}{3})}^{n}$ ， $y_{n} = - n^{2} + t n$ （t为常数），求实数t的取值范围；

(3)、设 $a_{n} = q^{n - 1} + p$ ，其中p､q是实常数，且 $q > - 1$ ，记数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，若当正整数 $k \geq 3$ 时，数列 ${a_{n}}$ 的前k项与数列 ${S_{n}}$ 的前k项（都按原来的顺序）总是互为“保序数列”，求p､q满足的条件.

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15. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{5} = 9$ ， $a_{4} + a_{8} = 22$ .

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、等比数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $b_{1} = a_{1}$ ，再从下面①②③中选取两个作为条件，求满足 $S_{n} < 2021$ 的 $n$ 的最大值.
① $b_{3} = a_{1} + a_{2}$ ；② $S_{3} = 7$ ；③ $b_{n + 1} > b_{n}$ .
（注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.）

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