2022年高考数学二轮复习解答题型 23 三角函数解答题题型猜想

试卷更新日期：2022-02-14 类型：二轮复习

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一、解答题

1. 在 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c， $(c + 2 b) c o s A + a c o s C = 0$ ，点D为边BC上一点，且 $A D ⊥ A C$ ．

(1)、求角A的大小；

(2)、若 $A C = \sqrt{2} A D$ ，求 $s i n B$ 的值．

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2. 已知 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c， $2 c s i n C = (2 a + b) s i n A + (a + 2 b) s i n B$ .

(1)、求C的大小；

(2)、若 $2 s i n A c o s B = 5 c o s A s i n B$ ，求 $\frac{b}{a}$ 的值.

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3. 某水产养殖户承包一片靠岸水域.如图， $A O$ 、 $O B$ 为直线岸线， $O A = 1000$ 米， $O B = 1500$ 米， $∠ A O B = \frac{π}{3}$ ，该承包水域的水面边界是某圆的一段弧 $\overset{⌢}{A B}$ ，过弧 $\overset{⌢}{A B}$ 上一点 $P$ 按线段 $P A$ 和 $P B$ 修建养殖网箱，已知 $∠ A P B = \frac{2 π}{3}$ .

(1)、求岸线上点 $A$ 与点 $B$ 之间的直线距离；

(2)、如果线段 $P A$ 上的网箱每米可获得40元的经济收益，线段 $P B$ 上的网箱每米可获得30元的经济收益.记 $∠ P A B = θ$ ，则这两段网箱获得的经济总收益最高为多少？（精确到元）

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4. $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别是 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $c = \frac{\sqrt{3}}{3} a s i n B + b c o s A$ ．

(1)、求 $B$ ；

(2)、若 $△ A B C$ 是锐角三角形， $b = 3$ ，求 $△ A B C$ 周长的取值范围．

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5. $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $\sqrt{3} b s i n C + c c o s B = \sqrt{3} c$ ，且 $C = \frac{2 π}{3}$ ．

(1)、求 $A$ 的大小；

(2)、若 $△ A B C$ 的周长为 $8 + 4 \sqrt{3}$ ，求 $A C$ 边上中线 $B D$ 的长度．

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6. $△ A B C$ 的内角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c ， t a n A ： t a n B ： t a n C = 1 ： 2 ： 3$ .

(1)、求 $A$ ；

(2)、若 $△ A B C$ 的面积为30，求 $△ A B C$ 的周长.

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7. 在① $\frac{s i n A}{s i n B} + \frac{s i n B}{s i n A} + 1 = \frac{c^{2}}{a b}$ ， ② $(a + 2 b) c o s C + c c o s A = 0$ ， ③ $\sqrt{3} a s i n \frac{A + B}{2} = c s i n A$ 这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答.
在 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且____.

(1)、求角C的大小；

(2)、若 $c = \sqrt{7}$ ， $s i n A s i n B = \frac{3}{14}$ ，求 $△ A B C$ 的面积.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

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8. 在锐角 $Δ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 所对的边分别为 $a ， b ， c$ ， $a (\sqrt{3} \cos C + \sin C) = \sqrt{3} b$ .

(1)、求角 $A$ 的值；

(2)、若 $a = 1$ ，求 $2 b - c$ 的取值范围.

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9. 福建省平潭综合实验区澳前68小镇的猴研岛，是祖国大陆距宝岛台湾最近的地方，直线距离仅68海里.为了更好地完善硬件设施提升小镇旅游面貌，68小镇管理处在水泥路边安装路灯，路灯的设计如图所示， $O M$ 为地面， $O A$ ､ $A B$ 为路灯灯杆， $O A ⊥ O M$ ， $∠ O A B = \frac{3 π}{4}$ ，在 $B$ 处安装路灯，路灯采用可旋转灯口方向的锥形灯罩，灯罩的照明张角 $∠ C B D = \frac{π}{4}$ ，已知 $O A = 6 \sqrt{2}$ ， $A B = 2$ ， $∠ A B C = θ$

(1)、若 $θ = \frac{π}{4}$ ，求此路灯在路面OM上的照明宽度 $C D$ ；

(2)、为了控制的路灯照明效果，令 $\tan θ \in [\frac{3}{4} ， \frac{4}{3}]$ ，求此路灯在路面OM上的照明宽度 $C D$ 的取值范围.

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10. 已知函数 $f (x) = \cos (x + \frac{3 π}{2}) \cos x - \sqrt{3} \sin^{2} (\frac{π}{2} + x) + \frac{\sqrt{3}}{2}$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的最小正周期；

(2)、设函数 $g (x) = 2 f (x) + 1$ ，求 $g (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{4} ， \frac{π}{4}]$ 上的值域．

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11. 在 $△ A B C$ 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知 $\sin B + \sin C = 2 \sin A$ ， $3 b \sin C = 4 c \sin A$ ，点D在射线AC上，满足 $\cos ∠ A B D = 2 \cos B$ .

(1)、求 $∠ A B D$ ；

(2)、设 $∠ A B D$ 的角平分线与直线AC交于点E，求证： $\frac{1}{B A} + \frac{1}{B D} = \frac{1}{B E}$ .

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12. 在① $a \sin B = \frac{\sqrt{3}}{2} b$ ；② $△ A B C$ 的面积 $S_{△ A B C} = \frac{\sqrt{3}}{4} b c$ ；③ $b c = b^{2} + c^{2} - a^{2}$ 这三个条件中任选一个补充在下面横线上，并解决该问题．
问题：在 $△ A B C$ 中，它的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $A$ 为锐角， $b + c = 6$ ，______．

(1)、求 $a$ 的最小值；

(2)、若 $D$ 为 $B C$ 上一点，且满足 $A D = C D = 2 B D$ ，判断 $△ A B C$ 的形状．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

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13. 在① $b \sin \frac{A + B}{2} = c \sin B$ ，② $\sqrt{3} (c \cos A - b) = - a \sin C$ ，③ $\frac{c}{\cos C} = \frac{a + b}{\cos A + \cos B}$ 这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题.在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且满足________.

(1)、求 $C$ ；

(2)、若 $△ A B C$ 的面积为 $8 \sqrt{3}$ ， $A C$ 的中点为 $D$ ，求 $B D$ 的最小值.

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14. 1.已知 $a$ ， $b$ ， $c$ 分别是 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边， $3 a (b \cos A + a \cos B) = 4 (c \cos A + a \cos C) c$ ，再从下面条件①与②中任选1个作为已知条件，完成以下问题．

(1)、证明： $△ A B C$ 为锐角三角形；

(2)、若 $\vec{C A} \cdot \vec{C B} = 8$ ， $C D$ 为 $△ A B C$ 的内角平分线，且与 $A B$ 边交于 $D$ ，求 $C D$ 的长．
① $\cos C = \frac{2}{3}$ ；② $\cos A = \frac{1}{9}$ ．

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15. 某旅游景点有一座风景秀丽的山峰，山上有一条笔直的山路 $B C$ 和两条索道 $A C$ ， $A D$ ，如图所示.山顶 $C$ 处有一个宾馆，宾馆需要将储存在 $A$ 处的一批蔬菜一次性运送到宾馆 $C$ 处，有三种运输的方案：方案一，先将这批蔬菜运送到 $B$ 处，然后由挑夫（专门负责将山下物品以肩挑的形式将物品运送到山上的工作人员）从 $B$ 处挑到 $C$ 处；方案二，先通过索道 $A D$ 将 $A$ 处的蔬菜运送到 $D$ 处，然后由挑夫从 $D$ 处挑到 $C$ 处；方案三，通过索道 $A C$ 直接将 $A$ 处的蔬菜运送到 $C$ 处.已知 $\cos B + \cos \frac{B}{2} = 0$ ， $∠ A D C = \frac{5 π}{6}$ ， $B D = 2 km$ ， $A C = 2 \sqrt{13} km$ ，挑夫挑这批蔬菜每走 $1 km$ 的山路，宾馆需支付100元的费用，将这批蔬菜从 $A$ 处运送到 $B$ 处，宾馆需要付出30元的费用，两条索道运送这批蔬菜每 $1 km$ 需要付给景区相关部门85元的费用，问选择哪一种方案，可使宾馆付出的费用最少？（参考数据： $\sqrt{13} \approx 3.606$ ， $\sqrt{3} \approx 1.732$ ）

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