天津市西青区2021-2022学年高二上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2022-02-14 类型：期末考试

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一、单选题

1. 若向量 $\vec{a} = (2, 0, - 1)$ ，向量 $\vec{b} = (0, 1, - 2)$ ，则 $2 \vec{a} - \vec{b} =$ （）

A、 $(- 4, 1, 0)$ B、 $(- 4, 1, - 4)$ C、 $(4, - 1, 0)$ D、 $(4, - 1, - 4)$

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2. 命题“ $\exists x_{0} \in (0 ， + \infty)$ ， $\ln x_{0} = x_{0} - 1$ ”的否定是（）

A、 $\forall x \in (0 ， + \infty)$ ， $\ln x \neq x - 1$ B、 $\forall x \notin (0 ， + \infty)$ ， $\ln x = x - 1$ C、 $\exists x_{0} \in (0 ， + \infty)$ ， $\ln x_{0} \neq x_{0} - 1$ D、 $\exists x_{0} \notin (0 ， + \infty)$ ， $\ln x_{0} = x_{0} - 1$

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3. 某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组一次为 $[20 ， 40) ， [40 ， 60) ， [60 ， 80) ， [80 ， 100] .$ 若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是（）

A、45 B、50 C、55 D、60

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4. 已知过双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 右焦点且倾斜角为 $45 °$ 的直线与双曲线右支有两个交点，则双曲线的离心率 $e$ 的取值范围是（）

A、 $(1 ， \frac{3}{2})$ B、 $(1 ， \sqrt{2})$ C、 $(\sqrt{2} ， \sqrt{3})$ D、 $(\sqrt{2} ， \frac{3}{2})$

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5. 二次函数 $y = x^{2}$ 的图象的焦点坐标是（）

A、 $(0 ， \frac{1}{4})$ B、 $(- \frac{1}{4} ， 0)$ C、 $(\frac{1}{4} ， 0)$ D、 $(0 ， - \frac{1}{4})$

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6. 若直线 $l_{1}$ ： $a x + 2 y + 2 = 0$ 与直线 $l_{2}$ ： $3 x - y - 2 = 0$ 平行，则a的值为（）

A、-3 B、-6 C、6 D、3

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7. 已知直线 $2 \sqrt{2} x - y + 4 \sqrt{2} = 0$ 经过椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左焦点 $F_{1}$ ，且与椭圆在第二象限的交点为M，与 $y$ 轴的交点为N， $F_{2}$ 是椭圆的右焦点，且 $| M N | = | M F_{2} |$ ，则椭圆的方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{40} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{5} + y^{2} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{10} + y^{2} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{5} = 1$

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8. 过双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 的左焦点 $F_{1} (- c ， 0)$ 作圆 $x^{2} + y^{2} = a^{2}$ 的切线，切点为E，延长F₁E交抛物线 $y^{2} = 4 c x$ 于点P，若 $\overset{⇀}{F_{1} E} = \frac{1}{2} \overset{⇀}{F_{1} P}$ ，则双曲线的离心率是（）

A、 $\frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ B、 $\frac{1 + \sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{3 + \sqrt{5}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$

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9. 已知三角形的三个顶点A（4，3），B（﹣1，2），C（1，﹣3），则△ABC的高CD所在的直线方程是（　　）

A、5x+y﹣2=0 B、x﹣5y﹣16=0 C、5x﹣y﹣8=0 D、x+5y+14=0

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二、填空题

10. 已知抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 上一点 $M (1 ， m)$ 到其焦点的距离为5，则该抛物线的准线方程为．

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11. 过点P(-1，3)，且在x轴，y轴上截距相等的直线方程为

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12. 当曲线 $y = 1 + \sqrt{4 - x^{2}}$ 与直线 $y = k (x - 2) + 4$ 有两个相异交点时，实数 $k$ 的取值范围是．

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13. 已知点 $P$ 是直线 $3 x + 4 y - 2 = 0$ 上的点，点 $Q$ 是圆 $(x + 1)^{2} + (y + 1)^{2} = 1$ 上的点，则 $| P Q |$ 的最小值是.

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14. 如图，在三棱锥 $O - A B C$ 中， $\vec{O A} = \vec{a}$ ， $\vec{O B} = \vec{b}$ ， $\vec{O C} = \vec{c}$ ，点 $M$ 在 $O A$ 上，且 $O M = 2 M A$ ， $N$ 为 $B C$ 中点， ${\vec{a} ， \vec{b} ， \vec{c}}$ 构成空间的一个基底，将 $\vec{M N}$ 用基底表示， $\vec{M N}$ =.

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15. 已知点 $F_{1}$ 是椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左焦点，过原点作直线 $l$ 交椭圆于 $A ， B$ 两点， $M ， N$ 分别是 $A F_{1}$ ， $B F_{1}$ 的中点，若存在以 $M N$ 为直径的圆过原点，则椭圆的离心率的范围是.

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三、解答题

16. 已知圆 $C$ ： $x^{2} + y^{2} + 4 x - 6 y + 9 = 0$ ，直线 $l$ ： $y = k (x + 1) + 2 (k \in R)$ .

(1)、求证：直线 $l$ 与圆 $C$ 相交，并求相交所得弦中最短弦的长；

(2)、若圆 $M$ ： $x^{2} + y^{2} + (k + 1) x - (k + 3) y + 3 k = 0 (k \neq 3)$ ，圆 $C$ ､直线 $l$ 三者有公共点，求 $k$ 的值.

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17. 如图， $A E ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $C F ∥ A E ， A D ∥ B C$ ， $A D ⊥ A B ， A B = A D = 1 ， A E = B C = 2$ .
（Ⅰ）求证： $B F ∥$ 平面 $A D E$ ；
（Ⅱ）求直线 $C E$ 与平面 $B D E$ 所成角的正弦值；
（Ⅲ）若二面角 $E - B D - F$ 的余弦值为 $\frac{1}{3}$ ，求线段 $C F$ 的长.

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18. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 与双曲线 $\frac{y^{2}}{4} - \frac{x^{2}}{2} = 1$ 有相同的渐近线，且经过点 $M (\sqrt{2} ， - \sqrt{2})$ .

(1)、求双曲线 $C$ 的方程；

(2)、求双曲线 $C$ 的实轴长，离心率，焦点到渐近线的距离.

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19. 已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的一个焦点与抛物线 $y^{2} = 4 \sqrt{3} x$ 的焦点相同，且椭圆 $C$ 过点 $(\sqrt{3} ， \frac{1}{2}) .$

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、若椭圆 $C$ 的右顶点为 $A$ ，与 $x$ 轴不垂直的直线 $l$ 交椭圆 $C$ 于 $M$ ， $N$ 两点 $(M N$ 与 $A$ 点不重合， $)$ ，且满足 $A M ⊥ A N$ ，若点 $P$ 为 $M N$ 中点，求直线 $M N$ 与 $A P$ 的斜率之积的取值范围.

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