天津市河东区2021-2022学年高一上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2022-02-14 类型：期末考试

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一、单选题

1. $c o s 15 0^{∘} =$ （）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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2. 已知 $c o s (π - α) = - \frac{4}{5}$ ，则 $s i n (α + \frac{π}{2}) =$ （）

A、 $\frac{3}{5}$ B、 $\frac{4}{5}$ C、 $- \frac{3}{5}$ D、 $- \frac{4}{5}$

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3. 函数 $f (x) = \frac{x^{2} - 1}{e^{x} + 1}$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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4. 已知 $a = l o g_{3} \sqrt{5}$ ， $b = 5^{\frac{2}{5}}$ ， $c = l o g_{5} 2$ 的大小关系是（）

A、 $a > c > b$ B、 $a > b > c$ C、 $b > a > c$ D、 $c > b > a$

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5. 函数 $f (x) = l n (x + 1) - \frac{1}{x}$ 的一个零点所在的区间是（）

A、 $(0 ， 1)$ B、 $(1 ， 2)$ C、 $(2 ， 3)$ D、 $(3 ， 4)$

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6. 要得到函数 $y = 2 s i n (2 x - \frac{π}{3})$ 的图象，只需将 $y = 2 s i n 2 x$ 的图象（）

A、向左平移 $\frac{π}{3}$ 长度 B、向右平移 $\frac{π}{3}$ 长度 C、向左平移 $\frac{π}{6}$ 长度 D、向右平移 $\frac{π}{6}$ 长度

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7. 被誉为信息论之父的香农提出了一个著名的公式： $C = W l o g_{2} (1 + \frac{S}{N})$ ，其中 $C$ 为最大数据传输速率，单位为 $b i s / s$ ； $W$ 为信道带宽，单位为Hz； $\frac{S}{N}$ 为信噪比. 香农公式在5G技术中发挥着举足轻重的作用.当 $\frac{S}{N} = 99$ ， $W = 2000 H z$ 时，最大数据传输速率记为 $C_{1}$ ；当 $\frac{S}{N} = 9999$ ， $W = 3000 H z$ 时，最大数据传输速率记为 $C_{2}$ ，则 $\frac{C_{2}}{C_{1}}$ 为（）

A、1 B、 $\frac{5}{2}$ C、 $\frac{15}{4}$ D、3

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8. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} e^{| x - 1 |} ， x > 0 \\ - x^{2} - 2 x + 1 ， x ⩽ 0 \end{array}$ ，若关于 $x$ 的方程 $f^{2} (x) - 3 f (x) + a = 0 (a \in R)$ 有8个不等的实数根，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(0 ， \frac{1}{4})$ B、 $(\frac{1}{3} ， 3)$ C、 $(1 ， 2)$ D、 $(2 ， \frac{9}{4})$

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二、填空题

9. 已知在半径为4的圆上，有一条弧所对的圆心角的弧度数为3，则这条弧的弧长为.

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10. 函数 $y = \sqrt{2 \sin x - 1}$ 的定义域是.

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11. 若 $tan α = \frac{1}{3}$ ，则 $sin α cos α =$ ．

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12. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} l o g_{2} x - 3 ， (x > 0) \\ 2^{- x} + 3 ， (x ⩽ 0) \end{array}$ ，则 $f (\frac{1}{4}) + f (l o g_{2} \frac{1}{3})$ 的值为．

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13. 已知 $α \cdot β \in (0 ， \frac{π}{2})$ ，且 $\sin α = \frac{2 \sqrt{2}}{3}$ ， $\sin (α + β) = \frac{2}{3}$ ，则 $\cos β =$ ．

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14. 已知函数 $f (x) = 2 s i n (ω x + φ) (ω > 0)$ 满足 $f (\frac{π}{4}) = 2$ ， $f (\frac{4 π}{3}) = 0$ ，且 $f (x)$ 在区间 $(\frac{π}{4} ， \frac{2 π}{3})$ 上单调，则 $ω$ 的最大值为.

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三、解答题

15. 已知 $\frac{π}{2} < α < π$ ， $s i n α = \frac{4}{5}$ ．

(1)、分别求 $t a n α$ ， $s i n (α + \frac{π}{3})$ 的值；

(2)、若角 $β$ 终边上一点 $P (7 ， 1)$ ，求 $t a n (2 α + β)$ 的值．

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16. 已知函数 $f (x) = (\log_{2} x - 2) (2 \log_{2} x + 1)$ ．

(1)、当 $x \in [1 ， 8]$ 时，求该函数的值域；

(2)、若 $f (x) < m \log_{2} x$ 对 $x \in [2 ， 4]$ 恒成立，求 $m$ 的取值范围．

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17. 已知函数 $f (x) = 3 s i n (ω x + φ)$ $(ω > 0 ， - \frac{π}{2} < φ < 0)$ 的最小正周期为 $π$ ，且其图象经过点 $(\frac{2 π}{3} ， 0)$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若函数 $g (x) = f (\frac{x}{2} + \frac{5 π}{12})$ ， $α$ ， $β \in (0 ， π)$ ，且 $g (α) = 1$ ， $g (β) = \frac{3 \sqrt{2}}{4}$ ，求 $g (α - β)$ 的值．

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18. 已知函数 $f (x) = 2 \sqrt{3} t a n x c o s^{2} x + 2 s i n^{2} x - 1$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的定义域和最小正周期 $T$ ；

(2)、当 $x \in (- \frac{π}{2} ， \frac{π}{3})$ 时，求 $f (x)$ 的值域.

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19. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} \frac{1}{2} - \frac{2}{e^{x} + 1} ， x \geq 0 \\ \frac{2}{e^{x} + 1} - \frac{3}{2} ， x < 0 \end{array}$

(1)、求函数 $f (x)$ 的零点；

(2)、若实数 $t$ 满足 $f (l o g_{2} t) + f (l o g_{2} \frac{1}{t}) \leq 2 f (2)$ ，求 $t$ 的取值范围.

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