上海市浦东新区2021-2022学年高一上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2022-02-14 类型：期末考试

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一、填空题

1. 已知全集 $U = {1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5}$ ，集合 $A = {1 ， 2 ， 3}$ ，则∁_UA= ．

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2. 函数 $y = \frac{\ln (x - 1)}{\sqrt{2 - x}}$ 的定义域为 .

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3. 已知幂函数 $y = f (x)$ 的图象过点 $(2 ， \sqrt{2})$ ，则 $f (3) =$ .

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4. 当 $a < 0$ 时，求 $| a | + \sqrt[6]{a^{6}} + 2 \sqrt[3]{a^{3}}$ 的值．

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5. 计算： $2^{l o g_{2} 2} + l o g_{2} 24 - l o g_{2} 3 =$ ．

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6. 用反证法证明“设 $a^{3} + b^{3} = 2$ ，求证 $a + b \leq 2$ ”时，第一步的假设是．

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7. 已知 $α 、 β$ 是关于 $x$ 的方程 $x^{2} - 2 m x + m^{2} - 4 = 0 (m \in R)$ 的两个根，则 $| α - β | =$ .

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8. 已知 $x > - 3$ ，则 $x + \frac{1}{x + 3}$ 的最小值为．

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9. 若函数f（x）=x³-x-1在区间 $[1 ， 1.5]$ 内的一个零点的近似值用二分法逐次计算列表如下：那么方程 $x^{3} - x - 1 = 0$ 的一个近似解为 $x =$ （精确到0.1）．

$f (1) < 0$

$f (1.5) > 0$

$f (1.25) < 0$

$f (1.375) > 0$

$f (1.3125) < 0$

$f (1.34375) > 0$

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10. 若 $y = f (x)$ 是奇函数，当 $x > 0$ 时 $f (x) = l o g_{2} (2 + x)$ ，则 $f (- 2) =$ ．

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11. 已知问题：“ $| x + 3 | + | x - a | \geq 5$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围”.两位同学对此问题展开讨论：小明说可以分类讨论，将不等式左边的两个绝对值打开；小新说可以利用三角不等式解决问题.请你选择一个适合自己的方法求解此题，并写出实数 $a$ 的取值范围．

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12. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 2^{x} + 1 ， x \leq 0 \\ 2 ， x > 0 \end{array}$ ，若 $f (a^{2} - 2 a) \leq f (a - 1)$ ，则实数 $a$ 的取值范围是．

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二、单选题

13. “ $a = \frac{1}{2}$ ”是“指数函数 $y = a^{x}$ 在 $R$ 上是严格减函数”的（）

A、充分非必要条件 B、必要非充分条件 C、充要条件 D、既非充分也非必要条件

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14. 任意 $x \in R$ ，下列式子中最小值为2的是（）

A、 $x + \frac{1}{x}$ B、 $2^{x} + 2^{- x}$ C、 $x^{2} + \frac{2}{x^{2}}$ D、 $\sqrt{x^{2} + 2} + \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 2}}$

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15. 若 $l o g_{18} 9 = a ， 1 8^{b} = 5$ ，则 $l o g_{36} 45$ 等于（）

A、 $\frac{a + b}{2 + a}$ B、 $\frac{a + b}{2 - a}$ C、 $\frac{a + b}{2 a}$ D、 $\frac{a + b}{a^{2}}$

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16. 我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休.”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数图象的特征，如函数 $f (x) = x^{2} + \frac{a}{| x |}$ （ $a \in R$ ）的图像不可能是（）

A、 B、 C、 D、

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三、解答题

17. 已知a，b都是正实数，求证： $a^{3} + b^{3} \geq a^{2} b + a b^{2}$ ，并指出等号成立的条件.

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18. 设不等式 $| 2 x - 1 | \leq 3$ 的解集为 $P$ ，不等式 $2 \leq 2^{x} \leq 8$ 的解集为 $Q$ .

(1)、求集合 $P$ 、 $Q$ ；

(2)、已知全集 $U = R$ ，求 $\bar{P ∩ Q}$ .

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19. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{2^{x} + 1}$

(1)、求函数 $f (x)$ 的值域；

(2)、求证：函数 $y = f (x)$ 在 $R$ 上是严格减函数.

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20. 浦东某购物中心开业便吸引了市民纷纷来打卡（观光或消费），某校数学建模社团根据调查发现：该购物中心开业一个月内（以30天计），每天打卡人数 $P (x)$ 与第 $x$ 天近似地满足函数 $P (x) = 8 + \frac{k}{x}$ （万人），k为正常数，且第8天的打卡人数为9万人.

(1)、求k的值；

(2)、经调查，打卡市民（含观光）的人均消费 $C (x)$ （元）与第 $x$ 天近似地满足下表：
x(天)
10
14
18
22
26
30
$C (x)$ (元)
131
135
139
143
139
135
现给出以下三种函数模型：① $C (x) = a x + b$ ， ② $C (x) = a | x - 22 | + b$ ，
③ $C (x) = a^{x} + b$ .请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数来描述打卡市民（含观光）的人均消费 $C (x)$ （元）与第 $x$ 天的关系，并求出该函数的解析式；

(3)、请在问题（1），（2）的基础上，求出该购物中心日营业收入 $f (x)$ （ $1 \leq x \leq 30$ ， x为正整数）的最小值（单位：万元）.
（注：日营业收入=日打卡人数 $P (x)$ $\times$ 人均消费 $C (x)$ ）.

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21. 已知函数 $f (x) = 2^{x} - 4$ .

(1)、求方程 $f (x) = 3$ 的解；

(2)、若关于 $x$ 的方程 $f (x) = l o g_{\frac{1}{2}} x + λ$ 在 $x \in [2 ， 4]$ 上有实数解，求实数 $λ$ 的取值范围；

(3)、若 $x_{i} (i = 0 ， 1 ， 2 ， \cdot \cdot \cdot ， 2021)$ 将区间 $[1 ， 3]$ 划分成2021个小区间，且满足 $1 = x_{0} < x_{1} < x_{2} < \cdot \cdot \cdot < x_{2021} = 3$ ，使得和式 $| f (x_{1}) - f (x_{0}) | + | f (x_{2}) - f (x_{1}) | + | f (x_{3}) - f (x_{2}) | + \cdot \cdot \cdot + | f (x_{2021}) - f (x_{2020}) | \leq M$ 恒成立，试求出实数 $M$ 的最小值并说明理由.

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$f (1) < 0$	$f (1.5) > 0$
$f (1.25) < 0$	$f (1.375) > 0$
$f (1.3125) < 0$	$f (1.34375) > 0$

x(天)	10	14	18	22	26	30
$C (x)$ (元)	131	135	139	143	139	135