上海市浦东新区2021-2022学年高二上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2022-02-14 类型：期末考试

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一、填空题

1. 已知定直线 $a$ ，定点 $A \notin a$ ，则直线 $a$ 与点A确定的平面有个（请填写个数）.

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2. 已知球 $O$ 的半径为1，则球 $O$ 的表面积为.

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3. 在装有4个红球和2个白球的盒子中，任意取一球，则事件“取出的球是白球”为事件（填“必然”、“随机”或“不可能”）.

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4. 已知随机事件A和B不可能同时发生，若 $P (A ∪ B) = 0.9$ ， $P (A) = 0.3$ ，则 $P (B) =$ .

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5. 我国高铁发展迅速，技术先进.经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为.

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6. “若直线 $l ⊥$ 平面 $α$ ，则直线 $l$ 与平面 $α$ 内无数条直线垂直”是命题.（请用“真”，“假”填空）

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7. 已知正三棱锥 $O - A B C$ 的底面边长为4，高为2，则此三棱锥的体积为

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8. 2021年7月24日，在东京奥运会女子10米气步枪决赛中，中国选手杨倩以251.8环的总成绩夺得金牌，为中国代表团摘得本届奥运会首金．已知杨倩其中5次射击命中的环数如下：10.8，10.6，10.6，10.7，9.8，则这组数据的方差为．

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9. 作直线 $a 、 b$ 和平面 $α$ ，则下列小组内两个事件互为对立事件的有组（请填写个数）
A组：“ $a / / b$ ”和“ $a ⊥ b$ ”；
B组：“ $a 、 b$ 为异面直线”和“ $a ⊥ b$ ”；
C组：“ $a / / α$ 或 $a \subset α$ ”和“ $a$ 与 $α$ 相交”.

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10. 已知随机事件 $A 、 B$ 发生的概率满足 $P (A ∪ B) = 0.9$ ，小华猜测事件 $\bar{A} ∩ \bar{B}$ 会发生，小明猜测事件 $\bar{A} ∩ \bar{B}$ 不会发生；则以下判断中正确的是.（请填写序号）
①小华一定猜错；
②小华和小明猜对的可能性一样大；
③小明猜对的可能性更大；
④无法判断小华和小明谁猜对的可能性更大.

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11. 已知棱长为4的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ，动点M在正方体表面上，且满足 $M A = M C_{1}$ ，则以下结论中正确的是：（请填写序号）
①满足条件的点M有且只有6个；
②满足条件的点M都在同一个平面上；
③点M的轨迹长度为 $12 \sqrt{2}$ .

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12. 如图，在 $R t △ A B C$ 中，已知 $B C = 4 ， A C = 3$ ， D是斜边AB上任意一点（不含端点）沿直线CD将 $△ A B C$ 折成直二面角 $B - C D - A$ ，当 $A D =$ 时，折叠后A､B两点间的距离最小.

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二、单选题

13. 下列调查方式合适的是（）

A、为了了解一批炮弹的杀伤半径，采用普查的方式 B、为了了解一批玉米种子的发芽率，采用普查的方式 C、为了了解一条河流的水质，采用抽查的方式 D、为了了解一个寝室的学生（共5个人）每周体育锻炼的时间，采用抽查的方式

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14. 如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角（）

A、相等 B、互补 C、相等或互补 D、互余

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15. 军训时，甲､乙两名同学进行射击比赛，共比赛10场，每场比赛各射击四次，且用每场击中环数之和作为该场比赛的成绩.数学老师将甲､乙两名同学的10场比赛成绩绘成如图所示的茎叶图，并给出下列三个结论：

（1）甲的成绩的极差是29；（2）乙的成绩的众数是21；（3）乙的成绩的中位数是18.

则这三个结论中，错误结论的个数为（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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16. 投壶是我国古代的一种娱乐活动，比赛投中得分情况分“有初”，“贯耳”，“散射”，“双耳”，“依竿”五种，其中“有初”算“两筹”，“贯耳”算“四筹”，“散射”算“五筹”，“双耳”算“六筹”.“依竿”算“十筹”，三场比赛得筹数最多者获胜.假设甲投中“有初”的概率为 $\frac{1}{3}$ ，投中“贯耳”的概率为 $\frac{1}{4}$ ，投中“散射”的概率为 $\frac{1}{6}$ ，投中“双耳”的概率为 $\frac{1}{9}$ ，投中“依竿”的概率为 $\frac{1}{18}$ ，未投中（0筹）的概率为 $\frac{1}{12}$ .乙的投掷水平与甲相同，且甲､乙投掷相互独立.比赛第一场，两人平局；第二场甲投中“有初”，乙投中“双耳”，则三场比赛结束时，甲获胜的概率为（）

A、 $\frac{1}{24}$ B、 $\frac{5}{108}$ C、 $\frac{5}{72}$ D、 $\frac{7}{216}$

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三、解答题

17. 独立地重复抛掷硬币2次，若每次抛掷硬币正面朝上和反面朝上的概率都是0.5，回答以下两个问题：

(1)、现将“独立地重复抛掷硬币2次”作为一次试验，若用 $H$ 、 $T$ 分别表示正面朝上和反面朝上，例如用 $H T$ 表示某次试验的结果是第一次正面朝上，第二次反面朝上，请用符号 $H$ 、 $T$ 写出“独立地重复抛掷硬币2次”的样本空间 $Ω$ ；

(2)、已知在某次试验中第一次抛掷的结果是正面朝上；某同学说“第二次抛掷硬币正面朝上的可能性小于反面朝上的可能性”请问该同学的表述是否正确？（不需要写出理由）

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18. 已知某圆柱底面半径和母线长都是3.

(1)、求出该圆柱的表面积和体积；

(2)、若圆锥与该圆柱底面半径､高都相等，求圆锥的侧面积.

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19. 如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中.

(1)、求异面直线 $A_{1} B$ 和 $C C_{1}$ 所成的角的余弦值；

(2)、求证：直线 $A_{1} B / /$ 平面 $D C C_{1} D_{1}$ .

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20. 2020年1月8日，在“不忘初心､牢记使命”主题教育总结大会上，习总书记指出：“要把学习贯彻党的创新理论作为思想武装的重中之重，同学习党史､新中国史､改革开放史､社会主义发展史结合起来.”为了提高思想认识，某校开展了“学史明鉴､牢记使命”知识竞赛活动，从950名参赛的学生中随机选取100人的成绩作为样本，得到如图所示的频率分布直方图.

(1)、现将全体参赛学生成绩编号为001--950，使用附图提供的“随机数表”从第二行的第三个数开始从左往右抽，请写出前3个被抽到样本编号；

(2)、求频率分布直方图中 $α$ 的值，并估计该校此次参赛学生成绩的平均分 $\bar{x}$ （同一组数据用该组区间的中点值代表）.
附图：
$\begin{array}{l} 59226000 & 49840128 & 66175168 & 39682927 & 43772366 & 27096623 \\ 92580956 & 43890890 & 46482834 & 59743458 & 29778149 & 64608925 \\ 91685307 & 17337298 & 29849526 & 37515923 & 03886191 & 14679054 \\ 49040040 & 36160806 & 55336993 & 30357068 & 45717397 & 18435701 \\ \dots \dots \end{array}$

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21. 材料1：三棱锥有4个顶点，6条棱，4个面；正方体有8个顶点，12条棱，6个面；三棱柱有个6顶点，9条棱，5个面；...，通过观察发现：这些几何体的顶点数､棱数及面数都满足简单的规律： $4 + 4 - 6 = 8 + 6 - 12 = 6 + 5 - 9 = 2$ ；在此基础上瑞士数学家欧拉证明了对于任意简单多面体，其顶点数､棱数及面数都满足多面体欧拉公式.所谓简单多面体指的是同胚于球面的多面体（同胚可以简单理解为如果在一个多面体内部吹气，它能膨胀变为一个球，那么可以认为它与球同胚）.正多面体是指多面体的各个面都是全等的正多边形，并且各个多面角（多面角是指有公共端点且两两不共线的 $n (n \geq 3)$ 条射线，以及相邻两条射线间的平面部分所组成的图形，例如日常生活中我们看到的墙角就是一个特殊的三面角）都是全等的多面角.例如，正四面体的四个面都是全等的三角形，每个顶点有一个三面角，共有四个三面角，可以完全重合，也就是说它们是全等的.正四面体､正六面体､正八面体､正十二面体､正二十面体分别如图所示.我们可以看到，正多面体每个顶点处有相同数量的棱相交，每一条棱处有两个面相交.
材料2：1996年诺贝尔化学奖授予对发现C₆₀有重大贡献的三位科学家，C₆₀是由60个C原子构成的分子，它是形如足球的多面体，这个多面体有60个顶点，以每一个顶点为端点都有三条棱，面的形状只有五边形和六边形；

(1)、阅读上述材料，请用数学符号表示简单多面体的顶点数､棱数及面数，并用相应的数学符号写出多面体欧拉公式（不需要证明）；

(2)、请结合上述材料，在下面两个问题中选择一个回答，并写出解答过程.）问题1：请问C₆₀的分子结构模型中，有几个五边形？问题2：简单多面体中是否存在正十六面体？如果存在请作出它的大致图形并指出面的形状；如果不存在，请说明理由.

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