湖北省部分市州2022届高三上学期数学元月期末联考试卷

试卷更新日期：2022-02-14 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $M = {x | e^{x - 1} > 1} ， N = {x | x^{2} - 2 x < 0}$ ，则 $M ∪ N =$ （）

A、 $(0 ， 1)$ B、 $(1 ， 2)$ C、 $(0 ， + \infty)$ D、 $(2 ， + \infty)$

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2. 已知复数 $z_{1} = 1 - i ， z_{2} = i$ ，则复数 $\frac{z_{1}}{z_{2}}$ 的共轭复数的模为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、2 D、 $\sqrt{2}$

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3. 假期里，有4名同学去社区做文明实践活动，根据需要，要安排这4名同学去甲、乙两个文明实践站，每个实践站至少去1名同学，则不同的安排方法共有（）

A、20种 B、14种 C、12种 D、10种

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4. 在 $△ A B C$ 中， $\vec{A B} \cdot \vec{A C} = 9 ， A B = 3$ ，点E满足 $\vec{A E} = 2 \vec{E C}$ ，则 $\vec{A B} \cdot \vec{B E} =$ （）

A、-6 B、-3 C、3 D、6

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5. 若点 $M (s i n \frac{5 π}{6} ， c o s \frac{5 π}{6})$ 在角 $α$ 的终边上，则 $c o s 2 α =$ （）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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6. 已知 $F_{1}$ 是双曲线 $E ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左焦点， $O$ 为坐标原点，过 $F_{1}$ 且倾斜角为30º的直线 $l$ 与双曲线 $E$ 的渐近线 $y = - \frac{b}{a} x$ 交于 $A$ 点，若 $| F_{1} A | = b$ ，则双曲线 $E$ 的离心率为（）

A、2 B、 $\sqrt{3}$ C、 $\sqrt{2}$ D、 $\frac{2}{3} \sqrt{3}$

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7. 广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互纠在一起，因而被习称为“阴阳鱼太极图”如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”整个图形是一个圆形区域 $x^{2} + y^{2} \leq 4$ ．其中黑色阴影区域在y轴左侧部分的边界为一个半圆．已知符号函数 $s g n (x) = {\begin{array}{l} 1 ， x > 0 \\ 0 ， x = 0 \\ - 1 ， x < 0 \end{array}$ ，则当 $x^{2} + y^{2} \leq 4$ 时，下列不等式能表示图中阴影部分的是（）

A、 $x (x^{2} + (y - s g n (x))^{2} - 1) \leq 0$ B、 $y ((x - s g n (y))^{2} + y^{2} - 1) \leq 0$ C、 $x (x^{2} + (y - s g n (x))^{2} - 1) \geq 0$ D、 $y ((x - s g n (y))^{2} + y^{2} - 1) \geq 0$

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8. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足： $\frac{{(a_{n + 1} - 1)}^{2}}{a_{n + 1}} = \frac{{(a_{n} + 1)}^{2}}{a_{n}} (n \in N^{*})$ ，则下列说法正确的是（）

A、若 $a_{n} > 1$ ，则数列 ${a_{n}}$ 是单调递减数列 B、若 $0 < a_{n} < 1$ ，则数列 ${a_{n}}$ 是单调递增数列 C、 $a_{1} = 2$ 时， $a_{n + 1} + \frac{1}{a_{n + 1}} > 2 + 4 n$ D、 $a_{1} = \frac{1}{2}$ 时， $a_{n + 1} + \frac{1}{a_{n + 1}} < 2 + 4 n$

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二、多选题

9. 某工厂研究某种产品的产量x（单位：吨）与需求某种材料y（单位：吨）之间的相关关系，在生产过程中收集了4组数据如表所示

x

3

4

6

7

y

2.5

3

4

5.9

根据表中的数据可得回归直线方程 $\hat{y} = 0.7 x + a$ ，则以下正确的是（）

A、变量x与y正相关 B、y与x的相关系数 $r < 0$ C、 $a = 0.35$ D、产量为8吨时预测所需材料约为5.95吨

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10. 已知函数 $f (x) = 2 (s i n x + | s i n x |) c o s x$ ，给出下列四个命题，其中正确的是（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ B、 $f (x)$ 的图象关于点 $(\frac{π}{2} ， 0)$ 中心对称 C、 $f (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{4} ， \frac{π}{4}]$ 上单调递增 D、 $f (x)$ 的值域为 $[- 2 ， 2]$

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11. 如图所示，在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = A D_{1}$ ，点E是棱 $C D$ 上的一个动点，给出下列命题，其中真命题的是（）

A、三棱锥 $B - A E C_{1}$ 的体积恒为定值 B、存在唯一的点E，使得截面 $△ A E C_{1}$ 的周长取得最小值 C、不存在点E，使得 $B D_{1} ⊥$ 平面 $A E C_{1}$ D、若点E满足 $C E > D E$ ，则在棱 $D D_{1}$ 上存在相应的点G，使得 $A_{1} G$ ∥平面 $A E C_{1}$

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12. 已知函数 $f (x) = (x^{2} + 1) l n x - m (x^{2} - 1)$ ，则下列结论正确的是（）

A、当 $m = 0$ 时，曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线方程为 $y = 2 x$ B、当 $m \leq 1$ 时， $f (x)$ 在定义域内为增函数 C、当 $m > 1$ 时， $f (x)$ 既存在极大值又存在极小值 D、当 $m > 1$ 时， $f (x)$ 恰有3个零点 $x_{1} ， x_{2} ， x_{3}$ ，且 $x_{1} x_{2} x_{3} = 1$

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三、填空题

13. 已知函数 $f (x) = l g (x^{2} - 2 x - 8)$ 的单调递增区间为 $(a ， + \infty)$ ，则 $a =$ ．

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14. 已知一个圆台的上、下底面半径之比为1：2，母线长为 $2 \sqrt{2}$ ，其母线与底面所成的角为45º，则这个圆台的体积为．

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15. 斜率为k的直线l与椭圆 $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{8} = 1$ 相交于A，B两点，点 $M (1 ， 1)$ 为线段 $A B$ 的中点，则 $k =$ ．

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16. 已知函数 $f (x) = | l n (x + 1) | ， x_{1} < 0 ， x_{2} > 0$ ，函数 $f (x)$ 的图象在点 $A (x_{1} ， f (x_{1}))$ 和点 $B (x_{2} ， f (x_{2}))$ 的两条切线互相垂直，且分别交 $x$ 轴于 $M ， N$ 两点，则 $\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}} =$ ， $\frac{| A M |}{| B N |}$ 的取值范围是．

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四、解答题

17. 在 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足 $s i n^{2} B + s i n^{2} C - s i n B s i n C = s i n^{2} A$ ．

(1)、求角A；

(2)、如图，若 $b = c$ ，点D是 $△ A B C$ 外一点， $D A = 3 ， D C = \sqrt{3}$ ，设 $∠ A D C = θ$ ，求平面四边形ABCD面积的最大值及相应的 $θ$ 值．

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18. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 的公比为q，前n项和为 $S_{n}$ ， $a_{n} > 0$ ， $3 a_{2} + 2 a_{3} = a_{4}$ ， $S_{5} = 13 a_{3} + 4$ ．

(1)、求a_n；

(2)、记数列 ${a_{n}}$ 中不超过正整数m的项的个数为 $b_{m}$ ，求数列 ${b_{m}}$ 的前100项和 $T_{100}$ ．

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19. 由文化和旅游部会同国家体育总局共同编制的《滑雪旅游度假地等级划分》（以下简称《标准》）日前发布实施．《标准》的发布得到旅游业界的广泛关注，将有力推动我国冰雪旅游高质量发展，助力北京2022年冬奥会举办．为推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动．促销期间滑雪场的收费标准是：
滑雪时间x小时
$x \leq 1$
$1 < x \leq 2$
$2 < x \leq 3$
收费标准
免费
80元/人
120元/人
不足1小时的部分按1小时计算．有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过1小时离开的概率分别为 $\frac{1}{4}$ ， $\frac{1}{6}$ ；1小时以上且不超过2小时离开的概率分别为 $\frac{1}{2}$ ， $\frac{2}{3}$ ，两人滑雪时间都不会超过3小时．

(1)、求甲、乙两人所付的滑雪费用相同的概率；

(2)、设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量X，求N的分布列和期望（结果用分数表示）．

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20. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面ABCD为直角梯形， $A D ∥ B C$ ， $∠ A B C = 90 °$ ， $B C = A B = \frac{1}{2} A D$ ， $P A = P D = 3$ ， Q为AD的中点．

(1)、求证： $A D ⊥ P C$ ；

(2)、若平面 $P A D ⊥$ 底面ABCD，点E在棱 $P C$ 上， $P E = 2 E C$ ，且二面角 $E - B Q - C$ 的大小为 $45 °$ ，求四棱锥 $P - A B C D$ 的体积．

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21. 已知点 $F (0 ， 1)$ 为抛物线 $x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 的焦点，如图，过点 $F$ 的直线交抛物线于 $A ， B$ 两点（点 $A$ 在 $y$ 轴右侧），点 $C$ 在抛物线上，直线 $A C$ 交 $y$ 轴的正半轴于点 $D$ 且 $| A F | = | D F |$ ，设直线 $l$ 与抛物线相切于点 $B$ ，直线 $l$ 与 $y$ 轴相交于点 $E$ ．

(1)、设点 $A (x_{1} ， y_{1})$ ， $B (x_{2} ， y_{2})$ ；
①求证： $x_{1} x_{2} = - 4$ ；
②求证：直线 $A C$ 与 $l$ 平行；

(2)、求使 $△ A E B$ 面积取最小值时点 $A$ 的坐标．

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22. 已知函数 $f (x) = e^{- x} (x + 1)$ ．

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、设 $t_{1} ， t_{2}$ 为两个不等的正数，且 $t_{2} l n t_{1} - t_{1} l n t_{2} = t_{1} - t_{2}$ （ $t_{1} < t_{2}$ ），若不等式 $l n t_{1} + λ l n t_{2} > 0$ 恒成立，求实数 $λ$ 的取值范围．

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滑雪时间x小时	$x \leq 1$	$1 < x \leq 2$	$2 < x \leq 3$
收费标准	免费	80元/人	120元/人

x	3	4	6	7
y	2.5	3	4	5.9